Programma dettagliato - Corso di Studi in Matematica

Corso di Laurea in Matematica - Anno accademico 2011-2012Insegnamento di: Equazioni differenzialiDocenti: Vivina Barutello, Paolo CaldiroliTesti di riferimento• Dispense delle lezioni• L.C. Evans: Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics, vol. 19, AMS(2002)• F. John, Partial differential equations, Springer (1975)• Y. Pinchover, J. Rubinstein: An introduction to partial differential equations, CambridgeUniversity Press (2005)• S. Salsa: Equazioni a derivate parziali, Springer (2010)Altri testi di consultazione• E. DiBenedetto: Partial differential equations, Brikhäuser (1995)• G. Folland: Introduction to Partial differential equations (second edition), PrincetonUniversity Press (1995)• W. Strauss: Partial differential equations, an Introduction, John Wiley & Sons (1992)• S. Salsa, G. Verzini: Equazioni a derivate parziali. Complementi ed Esercizi, Springer(2005)Programma dettagliato0. IntroduzioneOperatori differenziali fondamentali: gradiente, divergenza, laplaciano. Introduzione egiustificazione dell'equazione di Poisson e di Laplace e dei relativi problemi di Dirichletnell'ambito del problema generale dell'elettrostatica e di quello delle superfici minimali nonparametriche.I. Funzioni armonicheDefinizione ed esempi elementari. Funzioni armoniche in due variabili e funzioni olomorfe.Nozioni di media superficiale e media volumetrica. Caratterizzazione delle funzioni armonichemediante la proprietà della media. Regolarità delle funzioni armoniche. Teorema di Liouville.Principio del massimo.2. Equazione di PoissonSoluzione fondamentale dell'operatore di Laplace. Identità di Stokes. Soluzione dell'equazionedi Poisson su tutto lo spazio con dato regolare, a supporto compatto, espressa in formaintegrale. Esistenza e unicità per un problema ai limiti per l'equazione di Poisson su tutto lospazio in dimensione n≥3.4. Problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson. Estensioni armoniche.Unicità della soluzione del problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson via principio delmassimo. Riduzione al problema dell'estensione armonica. Estensioni armoniche sul disco

idimensionale (rappresentazione in serie di Fourier). Nozione di funzione di Green perl'operatore armonico su dominio limitato con condizione di Dirichlet al bordo. Rappresentazioneintegrale dell'estensione armonica. Calcolo della funzione di Green per la palla unitaria n-dimensionale. Estensioni armoniche sulla palla n-dimensionale (formula integrale di Poisson).Principio di Dirichlet.5. Equazione del caloreCostruzione dell'equazione del calore come modello descrittivo di un fenomeno diffusivo conflusso controgradiente. Soluzione fondamentale e sue proprietà. Problema di Cauchy perl'equazione del calore omogenea su tutto lo spazio: esistenza di una soluzione espressa in formaintegrale. Regolarità, limitatezza e decadimento della soluzione, conservazione della massatotale. Esempi: soluzione dell'equazione del calore 1-dimensionale con condizione iniziale diHeaviside e con condizione iniziale esponenziale. Principio del massimo per l'equazione delcalore. Unicità della soluzione limitata per il problema di Cauchy su tutto lo spazio via principiodel massimo. Esempio di non unicità di Tychonoff. Costruzione della soluzione del problemamisto di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore 1-dimensionale con condizioni nulle agliestremi (metodo di separazione delle variabili). Unicità della soluzione del problema misto diCauchy-Dirichlet per l'equazione del calore su dominio limitato regolare via metodo dell'energia.Unicità "retrograda" della soluzione del problema per l'equazione del calore su dominio limitatocon condizioni di Dirichlet al bordo via metodo dell'energia.6. Equazioni del primo ordineCostruzione delle equazioni di trasporto come modelli descrittivi di fenomeni diffusivi conflusso lineare o non lineare. Formula della soluzione del problema di Cauchy per equazionilineari. Equazioni quasilineari: caratterizzazione geometrica del grafico di una soluzione. Ilgrafico di una soluzione è unione di curve caratteristiche. Il metodo delle caratteristiche per larisoluzione di equazioni quasilineari del primo ordine. Teorema di esistenza locale. Significatodel coefficiente a come velocità di propagazione nel caso di equazioni omogenee. Leggi diconservazione scalari unidimensionali. Esempio: equazione di Burgers. Rappresentazioneimplicita della soluzione (locale) del problema iniziale. Condizioni necessarie e/o sufficienti perl'esistenza della soluzione del problema di Cauchy.Definizione di tempo di shock.Soluzioni deboli. Una soluzione (forte) per il problema di Cauchy risolve l'identità integrale.Definizione di soluzione debole. Una soluzione debole è una soluzione classica laddove è C^1.La condizione di Rankine-Hugoniot.Modello per il traffico automobilistico su un'arteria rettilinea. Analisi di due situazioni: coda chesi allunga col passare del tempo (soluzione con onda di shock); «verde al semaforo»,costruzione dell'onda di rarefazione.7. Equazione delle ondeCostruzione dell'equazione delle onde come modello per descrivere le piccole vibrazionitrasversali di una corda perfettamente flessibile. Condizioni iniziali e al contorno.Equazione monodimensionale. Il problema di Cauchy globale: la formula di d'Alambert.Commenti alla formula, domini di influenza e di dipendenza.Il problema di Cauchy-Dirichlet: soluzione con il metodo di separazione delle variabili (solo

enunciato). Costruzione ella soluzione tramite la formula di d'Alambert. Legame tra i duemetodi.Equazione delle onde in dimensione 3. Costruzione della soluzione con il metodo dellearmoniche sferiche, equazione di Eulero-Poisson-Darboux (senza dimostrazione) e formula diKirchhoff. Domini di dipendenza e di influenza.TEOREMI CON DIMOSTRAZIONE RICHIESTA PER L'ESAMEEquazioni di Laplace e Poisson1) Deduzione dell'equazione delle superfici minimali2) Relazione tra funzioni armoniche in due variabili e funzioni olomorfe3) Proprietà delle funzioni definite come medie superficiale e volumetrica4) Caratterizzazione delle funzioni armoniche mediante la proprietà della media5) Principio del massimo - versione integrale6) Principio del massimo - versione differenziale7) Regolarità delle funzioni armoniche8) Teorema di Liouville9) Costruzione della soluzione fondamentale del laplaciano10) Identità di Stokes11) Soluzione dell'equazione di Poisson con dato C2 a supporto compatto12) Esistenza e unicità della soluzione del problema ai limiti su tutto Rn con n≥3 per l'equazionedi Poisson13) Unicità della soluzione del problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson14) Estensione armonica sul disco bidimensionale in forma di serie di Fourier15) Formula di rappresentazione integrale per l'eventuale soluzione del problema dell'estensionearmonica su un dominio che ammetta funzione di Green16) Formula di Poisson per l'estensione armonica sulla palla unitaria n-dimensionale17) Principio di DirichletEquazione del calore18) Comportamento della soluzione fondamentale dell'equazione del calore per t che tende a 019) Soluzione del problema di Cauchy omogeneo su tutto lo spazio20) Calcolo della soluzione del problema di Cauchy omogeneo per alcuni dati iniziali particolari(Heaviside, esponenziale)21) Principio del massimo22) Unicità di soluzioni limitate per il problema di Cauchy omogeneo su tutto lo spazio23) Unicità della soluzione per il problema di Cauchy-Dirichlet su dominio limitato (metododell'energia)24) Unicità "retrograda"25) Soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet su un intervallo (rappresentazione in serie diFourier)Equazioni del prim'ordine26) Formula risolutiva per il problema di Cauchy nel caso di equazioni lineari27) Caratterizzazione geometrica delle superfici caratteristiche

28) Condizione necessaria sulle superfici caratteristiche (ogni superficie caratteristica è unionedi curve caratteristiche)29) Esistenza locale della soluzione del problema di Cauchy nel caso di equazioni quasilineari30) Formula per la soluzione (in forma implicita) del problema di Cauchy per una legge diconservazione scalare 1-dimensionale.31) Condizione sufficiente per l'esistenza di una soluzione del problema di Cauchy.32) Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di una soluzione del problema di Cauchy.33) Identità integrale soddisfatta da una soluzione per il problema di Cauchy.34) Una soluzione debole è una soluzione classica laddove è C^1.35) Due modelli per il traffico automobilistico su un'arteria rettilinea: onda di shock ecostruzione dell'onda di rarefazione.Equazione delle onde36) La formula di d'Alambert. Commenti alla formula.37) Costruzione della soluzione per il problema di Cauchy-Dirichlet tramite la formula did'Alambert.38) Costruzione della soluzione per l'equazione delle onde tridimensionale con il metodo dellearmoniche sferiche, equazione di Eulero-Poisson-Darboux (senza dimostrazione) e formula diKirchhoff.