Integrali indefiniti - slides1

Integrali indefinitiIntroduzioneLo svolgimento di molti fenomeni è descritto da una funzione y = y (x)e lo studio di quella funzione consente di capire le modalità con cui il fenomeno avviene.punto di vista descrittivo e non predittivo:si presuppone la conoscenza della funzione rappresentativa y (x)e non ci si occupa di come determinarla.La previsione di un fenomeno si basa invece su leggi che consentano di determinare lafunzione che lo rappresenterà (funzione incognita).equazioni in cui l’incognita è una funzionee che variano da contesto a contesto.Per i significati applicativi della derivata (su cui torneremo), si tratta tipicamente diequazioni che coinvolgono le derivate della funzione incognita (equazioni dierenziali).

4 Se una funzione ha primitiva F , ha anche primitive non della forma F + c con ccostante? NO, due primitive qualsiasi di una stessa funzione dieriscono per una costante.Vale infatti il seguente:Lemma. Se F e G sono primitive di f su un intervallo I, allora esiste c R tale cheG (x) =F (x)+c per ogni x I.Dimostrazione. Se F e G sono primitive di f su I, allora x I si haddx (F (x) G (x)) = F (x) G (x) =f (x) f (x) =0equindiF (x) G (x) ècostantesuI (teorema di caratterizzazione delle costanti).Unendo i due lemmi precedenti, si ottiene l’importante risultato seguente:se non è vuoto (ad esempio se f è continua), l’insieme delle primitive di unafunzione f è interamente individuato da un suo qualsiasi elemento F :le altre primitive di f sono tutte e sole le funzioni della forma F + c con ccostante reale arbitraria.Tale insieme si chiama integrale indefinito di f (funzione integranda) e si denota conf (x) dx(leggi “integrale di f (x) in dx”).

Dunque, sottintendendo un qualche intervallo di riferimento, si ponef (x) dx := {primitive di f} = {F (x)+c : F è una primitiva di f, c R} .risult.precedenteCon abuso di notazione, si usa poi confondere l’insieme f (x) dx con il suo genericoelemento, scrivendo brevementef (x) dx = F (x)+c dove F èunaqualsiasiprimitivadif e c R.Pertanto il simbolo f (x) dx viene anche interpretato come la generica primitiva di f.L’integrazione indefinita è “l’operazione inversa” della derivazione nel senso seguente:F (x)ddx F (x) dx F (x)+c e f (x) dx F (x)+cddx f (x) .Più precisamente:• se F è una funzione derivabile su un intervallo, allora dF(x) dx = F (x)+cdx• se f è una funzione che ammette primitive su un intervallo, alloradf (x) dx = f (x) .dx

Calcolo di integrali indefinitiSi sviluppa sulla base del fatto che: ogni formula di derivazione è anche una formula diintegrazione (basta leggerla a ritroso).1 Integrali elementari: sono la rilettura di derivate notevoli.F (x) F (x)1 0x 1x +1 x +1log |x|1xe x e xF (x) dx = F (x)+c0 dx = c (1+c = cost.arbitraria) x1x 1 dx = x + c1x dx = x+1 +1 + c 1 xdx =log|x| + cxe x dx = e x + cxse = 111x 1F (x)sin x cos xtan xarctan xarcsin xsinh xcosh xF (x)cos xsin x1cos 2 x11+x 2 11 x2cosh xsinh xF (x) dx = F (x)+ccos xdx=sinx + cx 1x sin xdx= cos x + c11x dx =tanx + ccos 2 x 111+x dx = arctan x + c x 2 11x dx =arcsinx + c1 x2 1cosh xdx=sinhx + csinh xdx=coshx + cx 1x 12 Regolediintegrazioneindefinita: sono la rilettura delle regole di derivazione, mafanno passare da integrali ad altri, non sempre semplici da calcolare.