Integrali indefiniti - slides1

4 Se una funzione ha primitiva F , ha anche primitive non della forma F + c con ccostante? NO, due primitive qualsiasi di una stessa funzione dieriscono per una costante.Vale infatti il seguente:Lemma. Se F e G sono primitive di f su un intervallo I, allora esiste c R tale cheG (x) =F (x)+c per ogni x I.Dimostrazione. Se F e G sono primitive di f su I, allora x I si haddx (F (x) G (x)) = F (x) G (x) =f (x) f (x) =0equindiF (x) G (x) ècostantesuI (teorema di caratterizzazione delle costanti).Unendo i due lemmi precedenti, si ottiene l’importante risultato seguente:se non è vuoto (ad esempio se f è continua), l’insieme delle primitive di unafunzione f è interamente individuato da un suo qualsiasi elemento F :le altre primitive di f sono tutte e sole le funzioni della forma F + c con ccostante reale arbitraria.Tale insieme si chiama integrale indefinito di f (funzione integranda) e si denota conf (x) dx(leggi “integrale di f (x) in dx”).