studio di funzioni / esercizi proposti - Corso di Studi in Matematica

ANALISI MATEMATICA I - A.A. 2011/2012
STUDIO DI FUNZIONI / ESERCIZI PROPOSTI
L’asterisco contrassegna gli esercizi più difficili.
Asintoti
1. Determinare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni:
a) f (x) = e2x − 5
e x − 3
b) f (x) =log 5e 2x − 4e x − 1 − 2x
c) f (x) = x2 − (x +1)|x − 2|
2x +3
d) f (x) = √ x 2 − x +2
e) f (x) = 1+ 1 x
x
Studi di funzione
1. Siano
f (x) = arctan e x e g (x) =|x| +arctane x .
a) Determinare dominio, eventuali asintoti e intervalli di monotonia di f edisegnarneungrafico
qualitativo.
b) Determinare dominio ed eventuali asintoti di g.
c) Determinare eventuali punti di non derivabilità, di massimo e di minimo (locali e globali) di g
e determinare im g.
d) Disegnare un grafico qualitativo di g.
2. Si consideri la funzione
f (x) =log(x − 2) + log (x +2)− 4 x 2 − 4.
a) Determinarne dominio, limiti agli estremi ed eventuali asintoti.
b) Determinarne intervalli di monotonia ed eventuali punti di estremo, relativo e assoluto.
c) Disegnarne un grafico qualitativo.
3. Si consideri la funzione
f(x) =
2x 2 + 1 3
2
e
−x 2 .
3
a) Determinarne dominio ed eventuali asintoti.
b) Determinarne massimi e minimi locali e assoluti e calcolare im f.
c) Disegnarne un grafico qualitativo.
d) Determinare il numero delle soluzioni dell’equazione f(x) =k, alvariaredik ∈ R.
4. Si consideri la funzione
1
f(x) =
log |1 − x| .
a) Determinarne dominio, eventuali punti di discontinuità, comportamento agli estremi del dominio
e eventuali asintoti. Dimostrare che f è prolungabile per continità in x =1.
1

2 M.GUIDA, S.ROLANDO
b) Determinare massimi e minimi locali e assoluti di f. Detto˜f il prolungamento per continuità
di f, determinare massimi e minimi locali e assoluti di ˜f.
c) Disegnare un grafico qualitativo di f.
5. Si consideri la funzione
f(x) =
e−x
5 |x| − 2 .
a) Determinarne dominio ed eventuali asintoti.
b) Studiarne il segno.
c) Determinarne gli eventuali punti di non derivabilità e trovarne tutti i punti di massimo e di
minimo relativo, indicando gli intervalli di monotonia della funzione.
d) Disegnarne un grafico qualitativo.
6. Si consideri la funzione
f(x) =1+
ex
x − 2 .
a) Verificare graficamente che f si annulla in un solo punto α ∈ (0, 1).
b) Disegnare un grafico qualitativo della funzione f.
c) Disegnare un grafico qualitativo della funzione g(x) =logf(x).
7. Per le seguenti funzioni, determinare dominio, eventuali simmetrie e asintoti, eventuali punti di
discontinuità e di non derivabilità, intervalli di monotonia, estremi locali e globali, tracciandone poi
un grafico qualitativo:
a) f (x) =
e x − 1
2 − e x
b) f (x) = 3x 1
1 − 2x e− x 2
1
c) f (x) = arctan
x − 2 − log |x − 2|
8. Studiare le seguenti funzioni, determinandone anche intervalli di concavità e convessità ed eventuali
punti di flesso:
a) f (x) = x2
+log|x +1|
2
b) f (x) =log|x| + |x| + x 3
c) f (x) =x +log x 2 +1
sin (2x)
d) f (x) =cosx −
2
9. Sfruttandone le simmetrie, studiare le seguenti funzioni:
|x| − x2
a) f (x) =
x 2 − 9
b) f (x) =xe 1
log|x|
c) f (x) =|x +1| e − 1
(x+1) 2

STUDIO DI FUNZIONI 3
ALTRE SOLUZIONI.
Non sono riportati i risultati che si possono facilmente controllare tramite il sito www.wolframalpha.com,
o che sono impliciti nelle richieste del testo.
1. a) lim f (x) = 5
x→−∞ 3 , lim f (x) =±∞, lim
x→(log 3) ±
x =log3asintoto verticale completo.
b) lim f (x) = −∞, lim
x→0 +
orizzontale destro.
x→+∞ f (x) =+∞; y = 5 3
asintoto orizzontale sinistro,
f (x) = log5; x = 0 asintoto verticale destro, y = log5 asintoto
x→+∞
c) lim f (x) =+∞, lim f (x) =±∞, lim f (x) = 1
x→−∞ x→(−3/2) ± x→+∞ 2
; y = x − 2 asintoto obliquo sinistro,
x = − 3 2 asintoto verticale completo, y = 1 2
asintoto orizzontale destro.
d) lim f (x) =+∞; y = −x + 1
x→±∞ 2 asintoto obliquo sinistro, y = x − 1 2
asintoto obliquo destro.
e) lim f (x) =e, lim f (x) =+∞, lim
x→±∞ x→(−1) −
x = −1 asintoto verticale sinistro.
f (x) =1; y = e asintoto orizzontale completo,
x→0 +