studio di funzioni / esercizi proposti - Corso di Studi in Matematica

2 M.GUIDA, S.ROLANDO
b) Determinare massimi e minimi locali e assoluti di f. Detto˜f il prolungamento per continuità
di f, determinare massimi e minimi locali e assoluti di ˜f.
c) Disegnare un grafico qualitativo di f.
5. Si consideri la funzione
f(x) =
e−x
5 |x| − 2 .
a) Determinarne dominio ed eventuali asintoti.
b) Studiarne il segno.
c) Determinarne gli eventuali punti di non derivabilità e trovarne tutti i punti di massimo e di
minimo relativo, indicando gli intervalli di monotonia della funzione.
d) Disegnarne un grafico qualitativo.
6. Si consideri la funzione
f(x) =1+
ex
x − 2 .
a) Verificare graficamente che f si annulla in un solo punto α ∈ (0, 1).
b) Disegnare un grafico qualitativo della funzione f.
c) Disegnare un grafico qualitativo della funzione g(x) =logf(x).
7. Per le seguenti funzioni, determinare dominio, eventuali simmetrie e asintoti, eventuali punti di
discontinuità e di non derivabilità, intervalli di monotonia, estremi locali e globali, tracciandone poi
un grafico qualitativo:
a) f (x) =
e x − 1
2 − e x
b) f (x) = 3x 1
1 − 2x e− x 2
1
c) f (x) = arctan
x − 2 − log |x − 2|
8. Studiare le seguenti funzioni, determinandone anche intervalli di concavità e convessità ed eventuali
punti di flesso:
a) f (x) = x2
+log|x +1|
2
b) f (x) =log|x| + |x| + x 3
c) f (x) =x +log x 2 +1
sin (2x)
d) f (x) =cosx −
2
9. Sfruttandone le simmetrie, studiare le seguenti funzioni:
|x| − x2
a) f (x) =
x 2 − 9
b) f (x) =xe 1
log|x|
c) f (x) =|x +1| e − 1
(x+1) 2