studio di funzioni / esercizi proposti - Corso di Studi in Matematica

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2 M.GUIDA, S.ROLANDO b) Determinare massimi e minimi locali e assoluti di f. Detto˜f il prolungamento per continuità di f, determinare massimi e minimi locali e assoluti di ˜f. c) Disegnare un grafico qualitativo di f. 5. Si consideri la funzione f(x) = e−x 5 |x| − 2 . a) Determinarne dominio ed eventuali asintoti. b) Studiarne il segno. c) Determinarne gli eventuali punti di non derivabilità e trovarne tutti i punti di massimo e di minimo relativo, indicando gli intervalli di monotonia della funzione. d) Disegnarne un grafico qualitativo. 6. Si consideri la funzione f(x) =1+ ex x − 2 . a) Verificare graficamente che f si annulla in un solo punto α ∈ (0, 1). b) Disegnare un grafico qualitativo della funzione f. c) Disegnare un grafico qualitativo della funzione g(x) =logf(x). 7. Per le seguenti funzioni, determinare dominio, eventuali simmetrie e asintoti, eventuali punti di discontinuità e di non derivabilità, intervalli di monotonia, estremi locali e globali, tracciandone poi un grafico qualitativo: a) f (x) = e x − 1 2 − e x b) f (x) = 3x 1 1 − 2x e− x 2 1 c) f (x) = arctan x − 2 − log |x − 2| 8. Studiare le seguenti funzioni, determinandone anche intervalli di concavità e convessità ed eventuali punti di flesso: a) f (x) = x2 +log|x +1| 2 b) f (x) =log|x| + |x| + x 3 c) f (x) =x +log x 2 +1 sin (2x) d) f (x) =cosx − 2 9. Sfruttandone le simmetrie, studiare le seguenti funzioni: |x| − x2 a) f (x) = x 2 − 9 b) f (x) =xe 1 log|x| c) f (x) =|x +1| e − 1 (x+1) 2
STUDIO DI FUNZIONI 3 ALTRE SOLUZIONI. Non sono riportati i risultati che si possono facilmente controllare tramite il sito www.wolframalpha.com, o che sono impliciti nelle richieste del testo. 1. a) lim f (x) = 5 x→−∞ 3 , lim f (x) =±∞, lim x→(log 3) ± x =log3asintoto verticale completo. b) lim f (x) = −∞, lim x→0 + orizzontale destro. x→+∞ f (x) =+∞; y = 5 3 asintoto orizzontale sinistro, f (x) = log5; x = 0 asintoto verticale destro, y = log5 asintoto x→+∞ c) lim f (x) =+∞, lim f (x) =±∞, lim f (x) = 1 x→−∞ x→(−3/2) ± x→+∞ 2 ; y = x − 2 asintoto obliquo sinistro, x = − 3 2 asintoto verticale completo, y = 1 2 asintoto orizzontale destro. d) lim f (x) =+∞; y = −x + 1 x→±∞ 2 asintoto obliquo sinistro, y = x − 1 2 asintoto obliquo destro. e) lim f (x) =e, lim f (x) =+∞, lim x→±∞ x→(−1) − x = −1 asintoto verticale sinistro. f (x) =1; y = e asintoto orizzontale completo, x→0 +
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