SVILUPPI DI TAYLOR E MACLAURIN / ESERCIZI PROPOSTI

ANALISI MATEMATICA I - A.A. 2011/2012
SVILUPPI DI TAYLOR E MACLAURIN / ESERCIZI PROPOSTI
L’asterisco contrassegna gli esercizi più difficili.
1. Calcolare lo sviluppo di MacLaurin di ordine 4 delle funzioni
a) f (x) =log 1 − 6x 2 ......................................... f (x) =−6x 2 − 18x 4 + o x 4
b) g (x) =− 2
1+2x 2 ......................................... g (x) =−2+4x 2 − 8x 4 + o x 4
c) h (x) =sin 2 x − 1 2 e−2x2 ................................... h (x) =− 1 2 +2x2 − 4 3 x4 + o x 4
quindi calcolare il limite
f (x)+g (x)+h (x)+5/2
lim
x→0 x 6 − x 4 .
............................................................................................
82
3
2. Calcolare lo sviluppo di MacLaurin di ordine 8 della funzione
f (x) =
e x2 − 1 − x 2 1 −
1 − x 2
e determinare la parte principale p (x) di f (x) rispetto a x per x → 0.
...................................................... f (x) = 1 4 x6 + 7 48 x8 + o x 8 ,p(x) = 1 4 x6
3. Determinare la parte principale p (x) rispetto a x per x → 0 della funzione
1
f (x) =
1 − 2x 2 − √
sin2 2x − 1
e calcolare quindi il limite
lim
x→0
f (x)
tan(x 4 ) − 2x 6 .
............................................................
p (x) = 16 3 x4 f(x)
, lim
x→0 tan(x 4 )−2x
= 16
6 3
4. Calcolare lo sviluppo di MacLaurin di ordine 4 delle seguenti funzioni:
a) f (x) =xe x−x2 + 5 6 x4 ........................................ f (x) =x + x 2 − 1 2 x3 + o x 4
b) f (x) = √ cosh x........................................... f (x) =1+ 1 4 x2 − 1
96 x4 + o x 4
c) f (x) =log 1 − sin 2 x ......................................... f (x) =−x 2 − 1 6 x4 + o x 4
d) h (x) =cos(log(1+x)) ............................. f (x) =1− 1 2 x2 + 1 2 x3 − 5
12 x4 + o x 4
5. Determinare la parte principale p (x) rispetto a x per x → 0 della funzione
f (x) = sin (sin x) − x cos x.
................................................................................... p (x) = 1 6 x3
6. Calcolare la derivata quarta in x =0della funzione
f (x) = e −x2 − log 1+sinh 4 x
1 − x2 .
.................................................................................. f (4) (0) = −3
7. Calcolare i seguenti limiti:
1

2 M.GUIDA, S.ROLANDO
e x2 − cos x − 3 2
a) lim
x2
x→0 x 4 ..................................................................
11
24
e x − 1+log(1− x)
b) lim
...............................................................
− 1
x→0 tan x − x
2
log (1 + sin 2x)+1− √ 1+4x
c) lim
x→0 x 3 .....................................................
− 8 3
sin 2 x +2log(cosx)
d) lim
x→0 cosh (x 2 ................................................................[−1]
) − 1
8. Determinare ordine di infinitesimo e parte principale rispetto a 1 per x → +∞ delle seguenti
x
funzioni:
a) f (x) =e x 1 − e
sin x 1 ................................................................. 3,
1
6x
3
b) f (x) =e − 8 4
x 2 +cosh − 2.......................................................
x
128
4,
3x 4
9. Calcolare il seguente limite:
lim x − x 2 log 1+sin 1
x→+∞
x
............................................................................................. 1
2
10. Sia
f (x) =cos2x + x log (1 − 2x) .
a) Scrivere lo sviluppo di MacLaurin di ordine 4 di f .... f (x) =1− 4x 2 − 2x 3 − 2x 4 + o x 4
b) Verificare che x 0 =0è punto critico per f, determinare le derivate di f fino all’ordine 4 in x 0
e stabilire la natura di x 0
..... f (0) = 0, f (0) = −8, f (0) = −12, f (4) (0) = −48, x 0 è punto di massimo relativo
f (x) − 1
c) Calcolare il limite lim
x→0 tan 2 ........................................................ [−4]
x
11. Sia
f (x) = 3√ sin x +sinh3x.
1+x
2
a) Scrivere lo sviluppo di MacLaurin di ordine 3 di f................ f (x) =4x +4x 3 + o x 3
b) Trovare l’equazione della retta tangente al grafico di f in x 0 =0e stabilire se x 0 è punto di
flesso ...............................................[y =4x, x 0 è punto di flesso ascendente]
c) Determinare la parte principale di f rispetto a x per x → 0..............................[4x]
12. Sia
f (x) =3xe 5x2 +2sinx log (1 + 3x) − 3xe 2x .
a) Scrivere lo sviluppo di MacLaurin di ordine 4 di f.................... f (x) =13x 4 + o x 4
b) Determinare la parte principale di f rispetto a x per x → 0 ........................... 13x 4
c) Calcolare f (0) ..........................................................................[0]
d) Stabilire la natura del punto critico x 0 =0................... [x 0 è punto di minimo relativo]
f (x)
e) Calcolare il limite lim
x→0 sinh 2 (5x 2 ) − x 4 +3x ...........................................
13
7 24
13. Scrivere lo sviluppo di Taylor di ordine 3 delle seguenti funzioni nel punto base x 0 indicato:
a) f (x) =e sin x ,x 0 = π ...................... f (x) =1− (x − π)+ 1 2 (x − π)2 + o
(x − π) 3

SVILUPPI DI TAYLOR 3
b*) f (x) =log(5− 2x)+ 2x 2 − 8x +9
x−2 1
− 1, x 0 =2... f (x) =− 10 3 (x − 2)3 + o
(x − 2) 3
14. Sia f derivabile 6 volte in x 0 =3. Sapendo che
f (x) =4− 1 2 (x − 3)5 +2(x − 3) 6 + o
(x − 3) 6 x→3 ,
calcolare f (x 0 ) e stabilire la natura del punto critico x 0 .
..............................[f (x 0 )=4,x 0 èpuntodiflesso discendente a tangente orizzontale]
15. Sia f derivabile 4 volte in x 0 =0. Sapendo che
f (x) =−2x + x 4 + o x 4 x→0 ,
calcolare la retta tangente al grafico di f in x 0 e stabilire se x 0 è un punto di flesso per f.
..............................................................[y = −2x, x 0 non è punto di flesso]
16. Sia f derivabile 5 volte in x 0 =0. Sapendo che
f (x) =7− 3x 4 +2x 5 + o x 5 , x→0
calcolare f (5) (0) e stabilire la natura del punto critico x 0 .
................................................. f (5) (0) = 240, x 0 è punto di massimo relativo