SOLUZIONE NUMERICA DI PROBLEMI DI FLUSSO DI FLUIDI CON ...

Ing. Nicola Forgione
dove i flussi convettivi F valgono:
F
w
( ) ˆ ˆ
∫
ρ vφ
j o n dA = Fn
φn
− Fs
φs
(16)
S
= ( ρ u) ∆yP
; Fe
= ( ρ u) ∆yP
; Fs
= ( ρ v) ∆xP
; Fn
( v) ∆xP
w
e
s
= ρ (17)
Per calcolare i termini convettivi risulta necessario conoscere il valore assunto dalla
variabile φ sulle facce del volume di controllo in termini dei valori di φ valutati nei
centri dei volumi di controllo. Possono essere ottenuti differenti schemi numerici a
seconda di come la variabile φ viene valutata sul contorno del volume di controllo [4].
Per lo schema “upwind” (del primo ordine), il valore di φ sulla periferia di ogni
volume di controllo è stimato usando il valore nodale più vicino che viene visto dal
nodo P sopravento. Con tale schema al valore di φ e è assegnato il valore di φ P se il
flusso convettivo F e è positivo, mentre è assegnato il valore φ E, se F e è negativo.
Questo può essere riassunto come:
F φ = F , 0 φ − − F , 0 φ
(18)
e
e
e
P
e
E
n
dove l’operatore
a , b restituisce il valore più grande tra a e b.
Oltre allo schema “upwind”, esistono anche altri schemi del primo ordine per
l’interpolazione della variabile φ sulla frontiera dei volumi di controllo. Tra questi
ricordiamo lo schema alle differenze centrali
φP
+ φE
φe
= (19)
2
Lo schema alle differenze centrali pur essendo più accurato dello schema upwind non
consente di realizzare modelli numerici veloci e stabili. E’ per questo motivo che esso
viene usato solo per flussi a bassa velocità mentre per quelli ad alta velocità si usa lo
schema upwind.
Uno schema che sfrutta i vantaggi sia dello schema upwind che di quello alle
differenze centrali è il cosiddetto schema ibrido per il quale si pone:
⎧Fe
φe
⎪
⎨
Fe
φe
⎪⎩
=
=
Fe
, 0 φP
− − F
Fe
φP
Fe
φE
+
2 2
e
, 0
φ
E
se Pe
se Pe
cell
cell
≥ 2
< 2
(20)
dove Pe cell è il numero di Peclet della cella definito come:
F
Pe cell
≡ (21)
D
14