SOLUZIONE NUMERICA DI PROBLEMI DI FLUSSO DI FLUIDI CON ...

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Ing. Nicola Forgione per un metodo iterativo quale quello CG il residuo numerico all’iterazione interna k-esima può essere stimato come: e i ⎛ ⎜ ⎝ µ ( A) −1⎞ ⎟ µ ( A) + 1 ⎠ 2k −1 i i = A r r < r0 dove µ (A) è il condition number (cioè il rapporto tra l’autovalore massimo e quello minimo) della matrice A. E’ ovvio che il miglior condition number per la convergenza del metodo si ha quando µ (A) è piccolo e vicino a 1. Dall’altro lato se µ (A) è grande, il metodo iterativo potrebbe o convergere molto lentamente o addirittura divergere a causa del round-off error. L’obiettivo del precondizionamento è quello di convertire il sistema lineare originario in un sistema equivalente ma meglio condizionato. Questo consiste nel trovare −1 una matrice reale C tale che µ ( C A) < µ ( A) . In questo modo il nuovo sistema lineare: C Aφ = C −1 −1 b ha migliori caratteristiche di convergenza e di stabilità. E’ ovvio che la matrice C deve essere scelta con molta attenzione: essa dovrebbe essere vicina ad A ma facile da invertire in modo da evitare un aumento del costo computazionale. 24
Ing. Nicola Forgione 6. Criteri di convergenza Durante il processo iterativo è necessario tenere sotto controllo la dinamicità di convergenza dell’algoritmo di risoluzione. Idealmente bisognerebbe interrompere le iterazioni quando l’errore i = i e φ −φ scende al di sotto di un certo valore di soglia. Il problema è che risulta difficile stimare direttamente e i per cui si usa spesso il residuo r i i = Aφ − b che è molto facilmente computabile. Essendo l’errore ed il residuo legati fra di loro mediante la seguente relazione: e i = A −1 r i che implica: e i ≤ A −1 r i un criterio di fermata del tipo i r ≤ ε garantisce che sia −1 e i ≤ ε A . Ancora una volta il problema maggiore è il calcolo della norma della matrice −1 A . Ci sono molti modi per giudicare la bontà di convergenza, ma il metodo più comune è quello di controllare ad ogni iterazione interna i residui definiti come: R φ = ∑ aφ , P P −∑aφ , nb φφ , nb − all C. V . φ b (44) nb φ Generalmente, il criterio di convergenza viene applicato ai residui adimensionalizzati. L’adimensionalizzazione può essere effettuata in differenti modi. Ad esempio nel FLUENT si adotta la seguente espressione: ∑ aφ , P φP −∑aφ , nb φnb − all C. V . nb ∑ aφ , P φP ∗ Rφ = (45) all C. V . mentre in altri lavori [6,10] i residui vengono adimensionalizzati sulla base della seguente grandezza: risultando: R ( R R ) b φ , φ , = max ref φ , ref φ (46) all iterations R ∗ φ = ∑ aφ , P φP −∑aφ , nb φnb − all C. V . nb R φ , ref b φ (47) 25
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