Influenza dello strain-rate sul comportamento meccanico dei ...

INDICE 

Influenza dello strain-rate sul 

comportamento meccanico dei materiali strutturali 

Indice 

INTRODUZIONE 4 

EFFETTI DELLA VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE SUL 

COMPORTAMENTO MECCANICO DEI MATERIALI STRUTTURALI 7 

1.1 IL CALCESTRUZZO 10 

1.1.1 EFFETTI SUL COMPORTAMENTO MECCANICO DEL CALCESTRUZZO 10 

1.1.2 FATTORI CHE INFLUENZANO IL COMPORTAMENTO DINAMICO DEL 

CALCESTRUZZO 13 

1.1.3 COMPORTAMENTO DINAMICO DEI CALCESTRUZZI FIBRO-RINFORZATI SFRC 19 

1.1.4 VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE 19 

APPENDICE 1.A - CONFRONTO TRA DUE CALCESTRUZZI DI UGUALE RESISTENZA 

CONFEZIONATI IN MODO DIVERSO 24 

1.2 I METALLI 27 

1.2.1 EFFETTI SUL COMPORTAMENTO MECCANICO DEI MATERIALI METALLICI 27 

1.2.2 FATTORI CHE INFLUENZANO IL COMPORTAMENTO DINAMICO DEI MATERIALI 

METALLICI 34 

1.3 I MATERIALI POLIMERICI FIBRORINFORZATI: GLI FRP 40 

1.3.1 EFFETTI SUL COMPORTAMENTO MECCANICO DEGLI FRP 40 

1.3.2 FATTORI CHE INFLUENZANO IL COMPORTAMENTO DINAMICO DEGLI FRP 45 

METODOLOGIE SPERIMENTALI PER LA MISURA DELLE 

CARATTERISTICHE TENSO-DEFORMATIVE DEI MATERIALI 

SOTTOPOSTI A REGIMI DINAMICI 48 

2.1 LA SPLIT HOPKINSON PRESSURE BAR 49 

2.1.1 ASPETTI TEORICI ALLA BASE DEL FUNZIONAMENTO DELLA BARRA DI 

HOPKINSON 50 

2.1.2 LA JRC UNIVERSAL MODIFIED HOPKINSON BAR (MHB) PER PROVE AD ALTE 

VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE 53 

2.1.3 SET-UP PER ESPERIMENTI SU PROVINI DI CALCESTRUZZO E DI ACCIAIO 57 

2.2 LA DROP-WEIGHT IMPACT MACHINE 63 

2.3 LA HYDRO-PNEUMATIC MACHINE 65 

1

INDICE 

INTERPRETAZIONE ANALITICA DELLA SENSIBILITÀ ALLA 

VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE DEI MATERIALI STRUTTURALI 68 

3.1 LO STRAIN-RATE NEI LEGAMI COSTITUTIVI SPERIMENTALI 69 

3.1.1 MODELLO DI COWPER-SYMOND 69 

3.1.2 MODELLO DI JONES 70 

3.1.3 MODELLO DI JOHNSON & COOK 71 

3.1.4 CONFRONTO TRA I MODELLI COSTITUTIVI DI COWPER-SYMONDS, JONES E 

JOHNSON & COOK 72 

3.2 LO STRAIN-RATE NEI LEGAMI COSTITUTIVI DEL SOFTWARE LS-DYNA 73 

3.2.1 ELASTIC-PLASTIC WITH KINEMATIC HARDENING (MAT 003) 76 

3.2.2 ELASTIC-PLASTIC WITH TERMAL SOFTENING (MAT 011) 76 

3.2.3 JOHNSON & COOK PLASTICITY MODEL (MAT 015) 76 

3.2.4 PSEUDO TENSOR CONCRETE/GEOLOGICAL MODEL (MAT 016) 77 

3.2.5 POWER LAW ISOTROPIC PLASTICITY (MAT 018) 80 

3.2.6 STRAIN-RATE DEPENDENT ISOSTROPIC PLASTICITY (MAT 019) 80 

3.2.7 PIECEWISE LINEAR ISOTROPIC PLASTICITY (MAT 024) 80 

3.2.8 KINEMATIC/ISOTROPIC ELASTIC-PLASTIC GREEN-NAGHDI RATE (MAT 035) 82 

3.2.9 USER DEFINED MATERIAL MODEL (MAT 041-050) 82 

3.2.10 STRAIN-RATE SENSITIVE POWER-LAW PLASTICITY (MAT 064) 82 

3.2.11 MODIFIED ZERILLI AND ARMSTRONG (MAT 065) 83 

3.2.12 CONCRETE DAMAGE MODEL (MAT 072) 83 

3.2.13 PLASTIC WITH DAMAGE (MAT 081) 84 

3.2.14 MECHANICAL THRESHOLD STRESS MODEL (MAT 088) 84 

L’INFLUENZA DELLA VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE NELLE 

NORMATIVE TECNICHE 85 

4.1 LO STRAIN-RATE NELLE NORME TECNICHE PER LE COSTRUZIONI 86 

4.2 LO STRAIN-RATE NEL CEB – FIP MODEL CODE 1990 88 

4.3 LO STRAIN-RATE NEL TM 5-1300 92 

INFLUENZA DELLA VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE SUL LEGAME 

M - χ PER SEZIONI IN CALCESTRUZZO ARMATO 97 

5.1 IL LEGAME M-χ IN CONDIZIONI QUASI-STATICHE 99 

5.2.1 LEGAME M-χ AL VARIARE DELLA VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE PER RAPPORTO 

DI SFORZO ASSIALE COSTANTE 111 

5.2.2 ENERGIA SPECIFICA AL CRESCERE DELLA VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE PER 

RAPPORTO DI SFORZO ASSIALE COSTANTE 115 

5.2.3 LEGAME M-χ PER TRE DIVERSI VALORI DEL RAPPORTO DI SFORZO ASSIALE A 

VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE COSTANTE 116 

5.2.4 ENERGIA SPECIFICA PER TRE DIVERSI VALORI DEL RAPPORTO DI SFORZO 

ASSIALE A VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE COSTANTE 121 

5.2.5 TABELLE RIEPILOGATIVE DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE 125 

CONCLUSIONI 129 

2

INDICE 

RINGRAZIAMENTI 133 

BIBLIOGRAFIA 134 

SITOGRAFIA 137 

INDICE DELLE FIGURE 138 

INDICE DELLE TABELLE 142 

3

INTRODUZIONE 

Introduzione 

Il XX secolo è stato indelebilmente segnato da conflitti dalle straordinarie 

proporzioni e dall’innaturale barbarie che hanno fatto crescere nella coscienza 

dell’uomo civile l’inestricabile ossimoro tra desiderio di pace e bisogno di 

protezione. Dopo le grandi guerre, infatti, se in un senso la civiltà si impegnava a 

costruire basi solide e durature per una pace universale nell’altro le potenze, 

assetate di nuovi domini materiali, davano vita a tacite battaglie che localmente 

sconvolgevano gli equilibri solidali. In questo scenario instabile, senza prospettive 

certe, il mondo dell’ingegneria strutturale ha sviluppato un approccio progettuale 

per la protezione degli edifici nei confronti di carichi accidentali con alte velocità 

di applicazione, basato sull’indagine sperimentale derivante da prove su strutture 

in scala reale. Nei primi anni del XXI secolo, però, l’assottigliamento dei già 

precari equilibri, che con fatica le civiltà del globo avevano costruito nel tempo, 

ha fatto sì che questo tipo di progettazione risultasse antieconomica. Infatti, alle 

grandi guerre, è successo il terrorismo e la sua inaudita logica del terrore che ha 

spostato la sensibilità degli obiettivi dagli edifici militari verso quelli civili. È la 

fase in cui la civiltà ha perso fiducia in se stessa, in cui il mondo non ha paura più 

del futuro ma del presente, in cui una borsa dimenticata fa scattare allarmismi 

spesso insensati ed esagerati. In una civiltà che attraversa questo momento storico 

il senso di protezione diventa fondamentale e, quindi, la logica della sensibilità 

dell’obiettivo perde significato rendendo ogni struttura, militare o civile che sia, 

vulnerabile e quindi da proteggere. Da 50 anni, ormai, in cui sono stati mossi i 

primi passi in questo senso, sospinti da eventi quali la guerra fredda, il Vietnam, 

4

INTRODUZIONE 

la crisi in Medio-Oriente, il terrorismo internazionale, la ricerca prima e la 

progettazione poi hanno cominciato ad orientare gli sforzi verso la conoscenza 

della risposta dinamica dei materiali. Agli aspetti bellici poi, sono andati 

affiancandosi i sempre crescenti interessi di ampi settori industriali che hanno 

cominciato a concentrare la loro attenzione e, conseguentemente, importanti sforzi 

economici nello sviluppo della conoscenza del comportamento dinamico di 

materiali e strutture. Grande importanza, quindi, hanno assunto anche gli impatti 

di veicoli con strutture, gli urti tra veicoli (ad es. tutte le tematiche crash), la 

sicurezza industriale (come la mitigazione dei rischi derivanti da esplosioni in 

cabine di trasformazione, in impianti chimici, ecc). Importante risultato è stato la 

presa d’atto che molti materiali di interesse nel campo dell’ingegneria civile quali 

il calcestruzzo, l’acciaio o ancora i compositi fibro-rinforzati esibiscono 

comportamenti meccanici fortemente influenzati dalla dinamicità della causa 

sollecitante. Ancora più importante però è il fatto che la differenza di risposta non 

riguarda esclusivamente la resistenza del materiale, ma interessa la risposta 

meccanica ed il meccanismo di rottura dello stesso che ne risultano 

profondamente mutati. 

Questo lavoro si divide sostanzialmente in due parti fondamentali: una riguardante 

lo stato dell’arte sulla sensibilità alla velocità di deformazione dei materiali 

strutturali di interesse per l’ingegneria civile (calcestruzzo, acciaio e compositi 

fibro-rinforzati); l’altra, invece, propone un avanzamento di natura teoricosperimentale 

concentrando l’attenzione sugli effetti dello strain-rate sul legame 

M-χ di una sezione in calcestruzzo armato. 

Nel primo capitolo saranno affrontati gli effetti che la velocità di deformazione 

provoca nella risposta meccanica dei materiali strutturali ed i fattori intrinseci da 

cui questa viene influenzata. 

Nel secondo capitolo l’attenzione si porterà sulle metodologie sperimentali di 

indagine della sensibilità allo strain-rate concentrandosi sulle apparecchiature 

tecnologiche che permettono alla ricerca l’avanzamento e la convalida delle teorie 

dinamiche sul comportamento dei materiali. 

5

INTRODUZIONE 

Nel terzo capitolo saranno analizzati i legami costitutivi empirici più importanti e 

più diffusi nella pratica sperimentale e, successivamente, saranno illustrate le 

leggi costitutive con cui il software LS-Dyna, codice di calcolo per le analisi 

dinamiche, modella i materiali strutturali. 

Nel quarto capitolo, invece, si esamineranno i testi normativi e le istruzioni 

tecniche di riferimento per la progettazione dinamica delle strutture evidenziando 

il modo con cui ciascuno di essi porta in conto gli effetti dello strain-rate nelle 

analisi dinamiche. 

Nel quinto capitolo, infine, si implementeranno analisi numerico-sperimentali tese 

alla costruzione dei legami M-χ per una sezione tipo in calcestruzzo armato 

ordinario portando in conto gli effetti della sensibilità alla velocità di 

deformazione dei materiali costituenti. Le analisi saranno condotte secondo due 

variabili principali quali: la velocità di deformazione e la pre-sollecitazione assiale 

derivante dalla configurazione statica in cui il generico elemento è inserito. 

A chiusura di questo elaborato di tesi saranno tratte le conclusioni del lavoro 

svolto cercando di evidenziare con la massima chiarezza e praticità di 

consultazione gli aspetti fondamentali dei risultati a cui si perverrà. 

6

Cap. I – EFFETTI DELLA VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE SUL 

COMPORTAMENTO MECCANICO DEI MATERIALI STRUTTURALI 

Capitolo I 

Effetti della velocità di deformazione sul comportamento 

meccanico dei materiali strutturali 

I carichi impulsivi, come impatti o esplosioni, che inducono alte velocità di 

deformazione nei materiali, sono eventi che raramente possono avvenire durante 

la vita utile delle strutture. Tipico esempio di sollecitazioni impulsive sono le 

collisioni tra veicoli, navi o aeromobili con ponti, banchine, edifici o 

sovrastrutture, esplosioni nelle vicinanze o all’interno delle strutture, gli effetti 

delle schegge o delle onde scaturite dall’esplosione di ordigni. 

Durante l’applicazione di questi carichi dinamici, alle strutture sono imposti 

elevati strain-rate racchiusi in un intervallo che può essere anche molto ampio. 

Tipicamente si spazia da velocità di deformazione dell’ordine di ~10 -2 s -1 per i 

terremoti a strain-rate di ~10 2 s -1 che si realizzano per forti esplosioni. Quindi, 

diventa sempre più necessario che gli effetti della sensibilità alla velocità di 

deformazione nella risposta meccanica dei materiali siano considerati per 

prevedere in modo realistico la risposta strutturale [1]. 

7



Strain-rate 

Cases of loading 

aircraft “landing” 

creep 

traffic 

earthquake blast and hard impact 

quasi-static testing gas explosions pile driving 

10 -8 10 -6 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 

10 -7 

very low strain-rates low strain-rates medium strain-rates high strain-rates 

s -1 

Figura 1. 1 - Strain-rate relativi alle differenti condizioni di carico 

Quando una struttura viene sottoposta ad un’azione impulsiva, l’energia trasmessa 

non agisce immediatamente in tutte gli elementi costituenti la struttura. Infatti, le 

deformazioni e, quindi, le tensioni, generate dal carico accidentale si propagano 

attraverso la struttura sottoforma di disturbo come onde di tensione e 

deformazione. Questa costituisce la differenza più importante tra i cosiddetti 

carichi quasi-statici e quelli impulsivi. Come risultato, il comportamento delle 

strutture differisce notevolmente se i carichi sono dinamici anziché statici. Infatti, 

per esempio, per il calcestruzzo, in caso di basse velocità di deformazione, il 

processo di apertura e allargamento delle fessure si origina da micro- e macrodifetti 

esistenti. Ciò avviene poiché tale processo si svolge in un intervallo di 

tempo abbastanza ampio da permettere la scelta dei percorsi caratterizzati dalla 

minima energia di frattura richiesta, cioè intorno agli aggregati e nelle zone più 

fragili della matrice legante. A causa del basso livello globale di tensione ed al 

rilassamento del materiale, l’estensione delle micro-fessure ad altre aree con 

resistenza maggiore è piuttosto limitata. In condizioni di carichi impulsivi di 

trazione molta più energia viene introdotta all’interno della struttura in tempi 

ristretti e le fessure apertesi in un punto sono costrette a svilupparsi lungo il 

percorso più breve caratterizzato da più alta resistenza, attraversando l’aggregato 

stesso e le zone in cui la matrice legante è più forte. L’incremento globale delle 

tensioni di trazioni in maniera molto rapida causa, quindi, l’estensione del 

8



fenomeno di fessurazione anche in altre aree, senza che, in tempi di apertura delle 

fessure così brevi, si possa sviluppare il rilassamento. 

Nel processo progettuale occorre conoscere le caratteristiche dei materiali ed il 

loro conseguente comportamento meccanico per un intervallo di velocità di 

deformazioni ampio, in particolare la stima eseguita con gli strumenti a 

disposizione (un codice informatico per esempio) bisogna che sia ratificata 

secondo gli stessi strain-rate. 

Tra i parametri meccanici che è importante conoscere ci sono: la resistenza a 

trazione, la deformazione ultima, il diagramma costitutivo tensioni-deformazioni, 

le caratteristiche di frattura del materiale. 

In passato nell’analisi strutturale la resistenza a trazione del calcestruzzo è stata 

trascurata ma, indirettamente, la risposta meccanica ne risultava migliorata perché 

questa influenzava positivamente la resistenza a fessurazione, le proprietà a 

flessione delle barre di rinforzo ed il comportamento sotto sollecitazione di taglio. 

In particolare, quando le strutture vengono impattate, queste sono prima soggette 

ad un’onda di compressione che può essere spesso riflessa negli elementi 

strutturali come un’onda di trazione, causa più importante della rottura del 

calcestruzzo. 

In generale, le onde di tensioni che si propagano all’interno della struttura 

modificano la risposta meccanica dei materiali ad elevati strain-rate innescando 

un cambiamento della microstruttura che differisce così da quella che si avrebbe 

con velocità di deformazione quasi-statiche. Questi cambiamenti nella microstruttura 

possono causare una variazione del legame costitutivo tensionedeformazione 

del materiale ad elevati strain-rate rispetto a quello in condizioni 

quasi-statiche. 

9



1.1 Il calcestruzzo 

1.1.1 Effetti sul comportamento meccanico del calcestruzzo 

In letteratura e dalle attività sperimentali, che vengono condotte su elementi in 

calcestruzzo, si evince la forte dipendenza delle proprietà di questo materiale dalla 

velocità di deformazione (strain-rate) dello stesso o, in maniera equivalente, dalla 

velocità di applicazione del carico. 

La conoscenza del comportamento del calcestruzzo sottoposto a tali azioni veloci 

è di grande importanza per l’ingegneria moderna perché consente di valutare il 

comportamento di strutture civili da progettare o da ristrutturare. 

Dai dati sperimentali oggi a disposizione si nota a riguardo, in trazione e 

compressione: 

• un incremento della resistenza ultima (ultimate stress) [4]; 

• un incremento della deformazione ultima, seppur in maniera meno marcata 

della resistenza (ultimate strain) [4]; 

• un incremento del modulo elastico dell’ordine di qualche unità percentuale 

(Young’s modulus) [2]; 

Figura 1. 2 - Incremento del modulo elastico del calcestruzzo in compressione in funzione della 

velocità di deformazione 

10



Figura 1. 3 - Differenza curva teorica/curva sperimentale della risposta del calcestruzzo in 

trazione 

• un’evoluzione del quadro fessurativo non concentrato su di un unico 

meccanismo locale ma esteso a tutto il provino con microfratture che si 

innescano contemporaneamente in diverse zone [3]; 

95 

95 

89 

92 

92 

89 

89 

89 

83 

86 

92 

89 

92 

95 

86 

95 

Figura 1. 4 – Isocrone di fessurazione in condizioni di alta velocità di deformazione 

• un miglioramento del comportamento del materiale sia in trazione ed in 

compressione che in stati tensionali indotti da flessione [4][5]; 

11



Figura 1. 5 - a) Comportamento del calcestruzzo in trazione per elevate velocità di deformazione 

Figura 1. 6 - b) Comportamento del calcestruzzo in compressione per elevate velocità di 

deformazione 

Figura 1. 7 - c) Comportamento del calcestruzzo in flessione per elevate velocità di deformazione 

12



1.1.2 Fattori che influenzano il comportamento dinamico del calcestruzzo 

Individuati gli effetti che la dinamicità dei fenomeni provoca sul calcestruzzo, 

risulta ancora più importante studiare i fattori intrinseci ed estrinseci che 

influenzano la risposta del materiale. 

I fattori di seguito riportati influenzano il calcestruzzo indipendentemente dal 

confezionamento dello stesso, avvenuto in tutti i test in ugual modo, per 

rispondere alle comuni necessità di lavorabilità, presa, ritiro e indurimento che 

questo materiale presenta in cantiere. 

• Assortimento granulometrico degli aggregati lapidei [6] 

In condizioni quasi-statiche la fessurazione prima ed il collasso poi del provino 

avvengono per fratture localizzate all’interfaccia tra la matrice cementizia e la 

superficie degli aggregati. Quando la velocità di deformazione aumenta, le fratture 

non seguono le superfici preferenziali di interfaccia ma interessano l’aggregato 

stesso che è chiamato in causa a reagire con la propria resistenza; questo 

fenomeno sembra essere tanto più vero quanto più la pezzatura degli aggregati si 

mantiene intorno a valori relativamente piccoli (dell’ordine dei 5 mm) e, in 

generale, il contributo all’aumento di resistenza globale del provino diminuisce 

all’aumentare della granulometria degli inerti (10 e 25 mm). 

13



max. dynamic tensile strength / max. static tensile strength 

5 

4 

3 

2 

1 

5 mm (cube 60 mm side) 




0 

10 -7 10 -5 0.001 0.1 10 

STRAIN RATE [ s -1 ] 

Figura 1. 8 - Massima tensione di trazione per calcestruzzi con aggregati diversi in funzione dello 

strain-rate 

• Grado di saturazione [7] 

Altra variabile che caratterizza la risposta dinamica del calcestruzzo è il grado di 

saturazione del materiale. Per indagare l’influenza di questo parametro sono stati 

confezionati dei campioni di calcestruzzo che vengono lasciati a maturare tutti 

nelle stesse condizioni per un tempo T 1 , dopodichè vengono assoggettati a 

differenti condizioni di umidità relativa e temperatura (curing) in cui, a seconda 

del condizionamento, differenziano le proprietà meccaniche finali: infatti, provini 

completamente saturi (stagionati immersi in acqua quindi R.H. 100%), presentano 

una risposta migliore rispetto a provini in condizioni standard (20° C e 50% R.H.) 

o completamente asciutti (R.H. 0% con condizionamento a 50° C). 

Non sono, quindi, il rapporto a/c o l’acqua di lavorabilità ad influire sulla risposta 

dinamica del provino perché il confezionamento del calcestruzzo avviene in tutti i 

casi allo stesso modo; la causa di questo miglioramento del comportamento sotto 

elevate velocità di deformazione è da ricercare, allora, nel fatto che i pori del 

calcestruzzo, essendo totalmente/parzialmente saturi di acqua oppure del tutto 

riempiti di aria, contrastano, in maniera rispettivamente sempre meno marcata, la 

trazione del provino a causa della depressione che si viene a creare all’interno dei 

pori dissipando energia per mezzo dell’attrito interno (viscosità). 

14



10 

9 

0% 

50% 

100% 

R.H. (dried specimens) 

R.H. 

R.H. (wet specimens) 

8 

STRESS [MPa] 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

10 -7 10 -5 0.001 0.1 10 

STRAIN RATE [ s -1 ] 

Figura 1. 9 - Massima tensione di trazione per calcestruzzi con diverso contenuto d'acqua in 

funzione dello strain-rate 

C’è da dire però, che se dal punto di vista dinamico l’acqua libera contenuta 

all’interno dei pori migliora la risposta a sollecitazioni applicate velocemente, in 

condizioni quasi-statiche il comportamento risulta influenzato in maniera 

negativa. Infatti, come si nota dalla figura di seguito riportata, nell’intervallo di 

velocità di deformazione 10 -6 ÷10 -2 s -1 , l’energia specifica di frattura subisce un 

calo iniziale prima di risentire degli effetti benefici dello strain-rate [8]. 

Questo tipo di risposta in termini di energia di frattura, è del tutto assente o 

quantomeno trascurabile nel caso di provino asciutto, ed è imputabile al 

meccanismo fisico di migrazione della miscela acqua-vapore acqueo dai micropori 

verso le fessure. Infatti, la miscela bifase, trovandosi in equilibrio all’interno 

dei micro-pori, stabilisce una tensione superficiale dovuta alla capillarità dei meati 

che imprime al calcestruzzo una pre-sollecitazione di trazione. Se la velocità di 

deformazione è sufficientemente bassa da permettere, durante la formazione delle 

prime fessure, la migrazione della miscela bifase, questa durante il suo percorso 

verso l’esterno del provino imprime una pressione sulle pareti dei canalicoli 

abbattendo l’energia di frattura. Se, invece, la velocità di deformazione è elevata 

la miscela, essendo dotata di massa e quindi di una certa inerzia, non riesce a 

fuoriuscire dai micro-pori: quindi il provino saturo esibisce dapprima un 

comportamento simile a quello asciutto e poi, per velocità sempre più spinte, 

15



partecipando anche l’acqua libera al meccanismo di dissipazione dell’energia di 

deformazione, la risposta meccanica registra un miglioramento significativo. 

Il meccanismo di dissipazione dell’energia di deformazione ad elevato strain-rate, 

che l’acqua innesca durante il processo di fessurazione, è ben interpretato 

dall’effetto Stefan, per il quale un liquido con viscosità η, interposto tra due lastre 

perfettamente piane poste a piccola distanza l’una dall’altra, oppone una certa 

resistenza alla separazione delle due superfici [8]. 

Figura 1. 10 - Andamento dell’energia di frattura per calcestruzzi con diverso contenuto d’acqua 

in funzione dello strain-rate 

Un’ulteriore interpretazione della sensibilità da parte del calcestruzzo nei 

confronti della velocità di deformazioni in funzione della presenza di acqua libera 

nei pori può essere proposta a partire dalla teoria della propagazione delle onde 

elastiche [7]. Infatti, se in condizioni quasi-statiche il principale meccanismo di 

rottura del materiale è rappresentato dall’evoluzione del processo di fessurazione, 

ad elevati strain-rate la propagazione delle onde elastiche rappresenta l’unica 

strada per interpretare correttamente il fenomeno. 

Nelle prove condotte ad alte velocità di deformazioni con la barra di Hopkinson il 

parametro che governa la trasmissione dell’onda è l’impedenza acustica dei 

materiali a contatto e le espressioni delle onde incidente, trasmessa e riflessa, 

dopo alcuni passaggi matematici, acquistano la seguente forma: 

16



A1, ρ1, c1 

A2, ρ2, c2 

σ I , u I σ R , u R 

σ T , u T 

Figura 1. 11 - Rappresentazione schematica della propagazione dell’onda elastica per due generici 

corpi a contatto 

σ 

σ 

T 

R 

= 

= 

2A1ρ 

2c2 

σ 

I 

Aρ 

c + A ρ c 

1 1 1 2 2 2 

A2ρ 

2c2 − A1ρ 

1c1σ 

I 

Aρ 

c + A ρ c 

1 1 1 2 2 2 

(1) 

(2) 

dove 

σ 

I 

è la tensione provocata dall’onda incidente; 

σ 

T 

è la tensione provocata dall’onda trasmessa; 

σ 

R 

è la tensione provocata dall’onda riflessa; 

A 

ρ 

c 

è la superficie della sezione trasversale; 

è la densità del materiale; 

è la velocità del suono nel mezzo; 

1 e 2 sono i pedici che identificano i due materiali a contatto. 

Dall’analisi di queste due relazioni, valide globalmente per l’intero sistema di 

prova e localmente per sezioni adiacenti in ciascun materiale, si può notare come 

l’onda incidente, arrivata sulla superficie di un vuoto la cui densità è 

approssimabile a zero (ρ 2 =0), viene totalmente riflessa. Ciò provoca un 

incremento locale di tensione che porta il provino a rottura per valori prossimi a 

quelli in condizioni quasi-statiche. Se, invece, i vuoti sono riempiti di acqua 

(introdotta nella fase di curing) l’equazione (1) è diversa da zero e, per gli usuali 

valori di densità e velocità di propagazione del suono nel liquido, è una quantità 

non trascurabile. 

17



10 

satured concrete 

20° - 50 % R.H. cured concrete 

50° C dried concrete 

8 

STRESS [MPa] 

6 

4 

2 

0 

0 5 10 -5 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 

TIME [s] 

Figura 1. 12 – Curva di risposta tempo-tensione durante la prova dinamica su calcestruzzi con 

diverso contenuto d’acqua 

• Grado di costipamento 

In virtù di quanto detto sopra, una migliore costipazione del calcestruzzo 

ridurrebbe la concentrazione e la dimensione dei pori all’interno dello stesso 

migliorandone il comportamento sotto azioni dinamiche. Questo concetto può 

essere portato in conto attraverso la densità relativa di impacchettamento, cioè, il 

rapporto tra la densità effettiva degli aggregati e quella corrispondente al massimo 

impacchettamento 

g . infatti, quando questo rapporto tende a 1, è minore la 

g * 

possibilità che si creino micro-pori perché lo spazio contenuto all’interno della 

struttura di aggregati è tutto riempito dalla fase legante [2]. 

• Quantità di silicati di calcio idrati e rapporto a/c [2] 

Altro parametro individuato da studi sperimentali condotti in Francia, è la quantità 

di silicati di calcio idrati espressa in kN/m 3 . L’influenza di questo parametro può 

essere spiegata dal particolare processo chimico che subiscono i silicati di calcio 

di cui è formato la polvere di cemento durante le reazioni di idratazione. Ciò 

18



influisce, seppur indirettamente, sul rapporto a/c perché le reazioni di idratazione 

tendono a svilupparsi sempre di più in caso di aggiunta di acqua in quantità non 

stechiometriche. 

1.1.3 Comportamento dinamico dei calcestruzzi fibro-rinforzati SFRC 

Per la loro crescente diffusione all’interno della gamma di materiali strutturali 

dell’ingegneria civile risulta doveroso porre l’attenzione sui calcestruzzi di ultima 

tecnologia nati dall’accoppiamento con fibre di rinforzo di diversa natura. 

In particolare, gli SFRC (steel fibre reinforced concrete) sono universalmente 

riconosciuti tra i calcestruzzi ad alta resistenza come i più applicati per le loro 

qualità e caratteristiche. Dal punto di vista dinamico, gli SFRC esibiscono una 

certa sensibilità alla velocità di deformazione seppur in maniera meno marcata dei 

conglomerati cementizi ordinari con miglioramenti funzione della quantità ed 

orientamento delle fibre metalliche. Proprio per il carattere di avanguardia sia 

della tematica della sensibilità dei materiali alla velocità di deformazione che della 

tecnologia delle fibre di rinforzo possono essere prospettati nuovi studi mirati alla 

conoscenza di questi particolari conglomerati dalla grande resistenza e dalle 

innumerevoli capacità di progetto. 

1.1.4 Velocità di deformazione 

L’incremento delle proprietà meccaniche, dal punto di vista quantitativo viene 

computato mediante un coefficiente denominato DIF: dynamic increase factor 

dato dal rapporto tra le tensioni dinamica e statica 

d 

DIF = 

σ σ s 

dove 

σ 

d 

è la tensione dinamica; 

σ 

s 

è la tensione statica; 

19



i cui valori sono frutto delle numerose attività sperimentali già condotte 

sull’argomento. 

Riferendoci al caso del calcestruzzo, infatti, facendo variare l’assortimento 

granulometrico della miscela cementizia o i valori del condizionamento termico 

ed igrometrico (curing) si ottengono coefficienti diversi tra loro anche di qualche 

unità ma tutti contenuti all’interno dello stesso ordine di grandezza. 

Al variare della pezzatura di aggregati utilizzati, facendo riferimento a tre diametri 

significativi 5-10-25 mm ed a tre possibili velocità di deformazione corrispondenti 

a sollecitazioni di interesse ingegneristico, si ottengono, in trazione e 

compressione, i seguenti risultati [4]: 

Max aggreg. 

5 mm 

Compressione 

Trazione 

Sollecitazione Strain-rate Resistenza DIF 

tipo [s -1 ] [MPa] [#] 

Quasi-statica 10 -6 60.50 1 

Soft-impact 1 99.60 1.65 

Hard-impact 10 139.80 2.31 



Hard-impact 10 11.80 3.97 

Tabella 1. 1 - DIF per calcestruzzo con max aggregati di 5 mm 

20



Max aggreg. 

10 mm 

Compressione 


tipo [s -1 ] [MPa] [#] 


Soft-impact 1 101.60 1.64 

Hard-impact 10 143.80 2.32 

Trazione 



Hard-impact 10 10.50 2.91 


Max aggreg. 

25 mm 

Compressione 

Trazione 


tipo [s -1 ] [MPa] [#] 



Hard-impact 10 99.60 1.78 



Hard-impact 10 7.99 2.59 


Per quanto riguarda le condizioni di stagionatura riferendosi alle tre condizioni 

ipotizzate nella pratica sperimentale asciutto - R.H. 50 % - saturo ed a tre possibili 

velocità di deformazione, si ottiene in trazione [6]: 

21



Provino 


asciutto tipo [s -1 ] [MPa] [#] 

Trazione 




Tabella 1. 4 - DIF per calcestruzzo asciutto 

Provino 


R.H. 50% tipo [s -1 ] [MPa] [#] 

Trazione 




Tabella 1. 5 - DIF per calcestruzzo con R.H. 50% 

Provino 


saturo tipo [s -1 ] [MPa] [#] 

Trazione 




Tabella 1. 6 - DIF per calcestruzzo saturo 

In conclusione si può asserire che il coefficiente di incremento dinamico dipende 

oltre che dalla velocità di deformazione (in maniera crescente) anche dalle 

caratteristiche del provino di calcestruzzo (stagionatura e assortimento 

granulometrico) e dal tipo di sollecitazione (trazione e compressione, con valori 

più bassi nel secondo caso). 

22



Particolare aspetto, però, del fattore di incremento dinamico DIF e la non-linearità 

che lo caratterizza indipendentemente da qualsiasi variabile intrinseca del 

materiale: infatti, l’andamento di questo coefficiente amplificativo in funzione 

della velocità di deformazione ha un aspetto bi-lineare nel piano logaritmico ε& - 

DIF con cambio di pendenza situato in prossimità dei 30 s -1 [10]. 

La non-linearità del DIF rende, quindi, indispensabili le attività sperimentali 

orientate allo studio del comportamento dinamico dei materiali per una 

conoscenza più accurata della reale risposta meccanica sotto azioni con elevato 

strain-rate non altrimenti ricostruibile se non utilizzando relazioni sperimentali 

affette da una naturale approssimazione dei risultati [10]. 

23



Appendice 1.a - Confronto tra due calcestruzzi di uguale resistenza 

confezionati in modo diverso 

Un esempio lampante di quanto possa essere importante lo studio del 

comportamento del calcestruzzo sottoposto ad azioni con elevate velocità di 

applicazione può essere il confronto tra due tipi di miscele cementizie diverse che 

hanno uguale resistenza in condizioni quasi-statiche, ma che esibiscono 

comportamenti diversi in condizioni di elevate velocità di deformazione. 

Per eseguire il calcolo adottiamo il metodo del Faury perché meglio risponde alle 

nostre esigenze permettendo di utilizzare assortimenti granulometrico che si 

discostano dalla curva di riferimento o curva ideale di distribuzione degli inerti. 

Esempio numerico: 

I componenti base nelle due diverse miscele sono gli stessi così da concentrare 

l’attenzione sulla variabile sotto esame: 

• R bk 25 MPa; 

• ρ=30 mm; 

• D MAX =25 mm; 

• inerti a spigoli arrotondati; 

• consistenza ferma del calcestruzzo e pistonatura accurata in fase di getto; 

• sabbia caratterizzata dalla seguente distribuzione: 

Diametro del vaglio φ 

% in peso del passante 

[mm] [%] 

0.1 2 % 

0.4 35 % 

1.6 75 % 

6.3 92 % 

12.5 100 % 

Tabella 1. 7 - Assortimento granulometrico della sabbia utilizzata per confezionare i due 

conglomerati cementizi 

24



I) miscela con inerti grossi 

Dall’analisi granulometrica degli aggregati grossi la percentuale in peso del 

passante al vaglio φ risulta: 



[mm] [%] 

1.6 8 % 

6.3 16 % 

12.5 42 % 

25.0 100 % 

Tabella 1. 8 - Assortimento granulometrico degli aggregati utilizzati per confezionare il 

calcestruzzo con inerti grossi 

II) miscela con inerti fini 

Nel caso, invece, di un assortimento di aggregati più fini la percentuale in peso del 

passante al vaglio φ risulta 



[mm] [%] 

1.6 4 % 

6.3 63 % 

12.5 96 % 

25.0 100 % 

Tabella 1. 9 - Assortimento granulometrico degli aggregati utilizzati per confezionare il 

calcestruzzo con inerti fini 

Le due miscele così confezionate esibiscono lo stesso comportamento in termini 

di resistenza in condizioni quasi-statiche con un valore ultimo pari proprio al dato 

di progetto: 25 MPa. 

Non è così per le risposte a sollecitazioni applicate con alte velocità di 

deformazione perché, in questo caso, il DIF che compete alle due miscele è 

25



sensibilmente diverso variando in questo modo il comportamento dei due 

calcestruzzi. 

Se, ad esempio, paragonassimo il comportamento in compressione e trazione di 

due provini confezionati con le due miscele diverse sottoponendoli a condizioni di 

impatto ed esplosione otterremmo: 

Compressione 

Trazione 

Provino con Provino con 

aggregati grossi aggregati fini 

(tipo A) 

(TIPO B) 

Resistenza di progetto 

cond. quasi-statica (MPa) 

25 25 

DIF impatto 1.51 1.64 

Resistenza ipotizzata 

cond. impatto (MPa) 

37.75 41.00 

DIF esplosione 1.78 2.32 


cond. esplosione (MPa) 

44.50 58.00 

Resistenza di progetto 

cond. quasi-statica (MPa) 

1.94 1.94 

DIF impatto 1.70 2.09 


cond. impatto (MPa) 

3.30 4.05 

DIF esplosione 2.55 3.93 


cond. esplosione (MPa) 

4.95 7.62 

Differenza % 

rispetto al tipo A 

9 % 

30 % 

23 % 

54 % 

Tabella 1. 10 – Incremento percentuale di resistenza a compressione e trazione tra i due provini 

con aggregati diversi 

26



1.2 I metalli 

1.2.1 Effetti sul comportamento meccanico dei materiali metallici 

Così come accade per il calcestruzzo, anche le proprietà dei metalli mostrano una 

sensibilità alla velocità di deformazione da cui risultano positivamente influenzate 

al crescere della stessa. I miglioramenti delle caratteristiche meccaniche però, in 

questo caso, sono di diversa natura essendo totalmente differenti dal punto di vista 

chimico-strutturale i due materiali. Infatti, mentre nel caso del calcestruzzo la 

sensibilità alla velocità di deformazione è da imputare soprattutto alla variazione 

dello sviluppo del processo fessurativo se sottoposto ad azioni veloci, nel caso 

dell’acciaio il ruolo più importante è rappresentato dalle dislocazioni e dalla loro 

evoluzione durante il percorso deformativo ad elevato strain-rate. Proprio a causa 

della forte dipendenza del comportamento meccanico a scala macroscopica 

(dell’ordine del cm) dai processi che si sviluppano a scala meso- e microscopica 

(dell’ordine rispettivamente del mm e del μm), non possono essere trascurati gli 

elementi cardini alla base della teoria dei metalli. 

Lo studio dei materiali metallici è strutturato su diverse fasi corrispondenti ai 

distinti livelli di osservazione; a scala nanoscopica i metalli si presentano come 

atomi fortemente legati dal punto di vista chimico e molto vicini gli uni agli altri a 

formare “pacchetti” di diversa forma e disposizione interna. E sono proprio queste 

ultime caratteristiche che forniscono il “grado di impacchettamento” del materiale 

cioè la misura di quanto gli atomi sono costipati all’interno del reticolo cristallino 

delineando già il comportamento finale del metallo a scala reale. 

Passando ad un livello visivo più alto, i pacchetti si uniscono formando dei “fogli” 

piani che, sovrapponendosi, cominciano a dare forma a quello che poi sarà il 

risultato finale a scala macroscopica, un unico elemento solido dotato di spessore. 

È a questo punto, a scala microscopica, che difetti di assemblaggio dei fogli 

originano le cosiddette “dislocazioni”, piccolissime imperfezioni geometriche che 

però hanno un grande peso nella determinazione delle proprietà meccaniche finali 

27



del metallo. Le dislocazioni possono essere di diverso tipo a seconda che siano 

contenute nel singolo piano o che, al contrario, interessino più piani adiacenti: 

rispettivamente si hanno le dislocazioni “a spigolo” (o edge dislocation) e le 

dislocazioni “a vite” (anche dette screw dislocation). Un’importante caratteristica 

di queste imperfezioni se sottoposte ad azioni deformative è la loro relativa libertà 

di movimento all’interno del materiale che determina a scala macroscopica una 

maggiore o minore rigidezza del metallo. In aggiunta, per livelli deformativi spinti 

in campo plastico, la nascita di nuove imperfezioni dell’uno o dell’altro tipo, 

rispettivamente a causa di rottura totale o parziale dei fogli metallici, ed il loro 

scorrimento all’interno degli stessi, determina le caratteristiche di duttilità di 

questi materiali. 

A livello mesoscopico, a seguito dei processi termici a cui i metalli sono 

sottoposti nella fase di forgiatura o nei vari trattamenti (processing) tesi a definire 

le caratteristiche di qualità del metallo, le dislocazioni presenti si muovono 

raggruppandosi all’interno del materiale e dando vita ad una “trama di grani” di 

diversa dimensione, forma ed orientazione. Di riflesso, come le dislocazioni, così 

anche i grani contribuiscono alla determinazione delle proprietà meccaniche del 

metallo influenzando oltre che la rigidezza e la duttilità, anche le proprietà 

elettroniche e magnetiche. 

La combinazione di tutto quanto avviene alle diverse scale di visione si riflette in 

quello che è il comportamento finale del materiale a scala macroscopica con le sue 

caratteristiche meccaniche ed il suo comportamento rispetto alle azioni statiche o 

dinamiche. 

Gli effetti positivi che si risentono sulla risposta meccanica dei metalli sottoposti 

ad azioni applicate con elevate velocità di deformazione sono principalmente: 

• un incremento della tensione di snervamento (yield stress); 

• un incremento della tensione di rottura (ultimate stress); 

• un incremento della deformazione in condizioni di rottura (ultimate strain) 

[12]; 

• un incremento della deformazione uniforme [12]; 

• un incremento della duttilità del materiale. 

28



Figura 1. 13 - Evoluzione del legame costitutivo dell’acciaio in funzione dello strain-rate 

Rimane invece inalterata, a differenza di quanto avveniva per il calcestruzzo, la 

rigidezza elastica del materiale che non risente della sensibilità alla velocità di 

deformazione: questa indifferenza può essere soprattutto imputata al fatto che il 

comportamento elastico del metallo è da attribuire alla densità di dislocazioni 

presenti o, a scala mesoscopica, alla dimensione e forma dei grani che 

costituiscono la trama del materiale, fattori indipendenti dallo strain-rate [11]. 

La velocità di deformazione, invece, influenza solo il prolungamento della fase 

elastica, dovuto ad una maggiore apertura delle dislocazioni presenti, e per quanto 

riguarda il ramo plastico, il ritardo dello sviluppo di nuovi difetti all’interno del 

metallo: in alcun modo influisce la risposta elastica in termini di rigidezza del 

materiale. 

Inoltre, non possono essere trascurati due ulteriori importanti fenomeni che 

condizionano la risposta meccanica dei provini metallici ad elevati strain-rate: 

• l’effetto Joule; 

• la corrispondenza tra curva sforzo-deformazione ingegneristici e reali. 

Infatti, la lettura dei dati a valle dell’attività sperimentale, senza opportuni 

interventi correttivi che tengono conto di questi effetti, potrebbe dare adito a 

conclusioni erronee sull’effettivo comportamento dei materiali ad elevati strainrate. 

29



Il primo dei due consiste nel fatto che durante i test, se la velocità di deformazione 

è sensibilmente elevata (dell’ordine di 10 2÷3 s -1 ), il provino subisce una 

trasformazione non isoterma a causa della trasformazione dell’energia meccanica 

in flussi di calore. Per questo motivo, il legame costitutivo presenta due distinti 

valori di snervamento che si susseguono dopo la caduta di tensione provocata dal 

decadimento delle caratteristiche meccaniche. 

Figura 1. 14 - Tensione di snervamento dell’acciaio con effetto Joule 

Ciò è dovuto al fatto che all’interno del campione, la grande quantità di energia 

sviluppata, provoca un innalzamento della temperatura (effetto Joule) che porta al 

peggioramento delle caratteristiche meccaniche ed, in alcuni casi, fino al 

“rammollimento” del materiale. Quindi, nel caso in cui non fossimo interessati 

alla reale risposta del materiale con annessi gli effetti provocati dal riscaldamento 

del provino, ma lo studio fosse orientato alla conoscenza dei meccanismi alla base 

della risposta meccanica del metallo dovremmo operare una correzione dei 

risultati sperimentali rendendo il modello teorico indipendente dalla temperatura. 

La revisione in tal senso viene effettuata in due stadi: dapprima identificando la 

relazione che intercorre tra velocità di deformazione, temperatura e tensioni nel 

provino mediante un’analisi termica a differenti temperature di prova e poi 

calibrando un modello analitico (usando il legame costitutivo di Johnson & Cook) 

che possa descrivere l’andamento della risposta meccanica del metallo [11]. 

30



Figura 1. 15 - Correzione della tensione di snervamento dell’acciaio dall’effetto Joule 

L’altro aspetto da non trascurare per la corretta interpretazione della sensibilità 

allo strain-rate è l’evoluzione del processo deformativo ed il fenomeno della 

strizione che, pur presentandosi in modo relativamente diffuso nel provino, 

presenta diverse velocità di assottigliamento con un massimo nella parte centrale. 

Questi due aspetti fanno si che il diagramma delle effettive tensioni nel provino 

sia sensibilmente diverso rispetto a quello senza correzioni restituito dalle prove: 

infatti, se come risultato dei test si ottengono curve decrescenti dopo il picco di 

snervamento, apportando le dovute correzioni alla reale superficie resistente 

durante tutto il processo, il legame costitutivo riacquista la forma tipica incrudente 

con ramo plastico crescente [13]. 

La corrispondenza tra valori ingegneristici e valori reali della curva tensionideformazioni 

si esplica secondo le seguenti relazioni 

• la true-stress è definita come 

F 

σ = 

A 

(1) 

dove F è la forza agente; 

A è la sezione istantanea sollecitata; 

31



• la true-strain, prima che nel provino incorra la strizione, è data da 

⎛ 

ln L ⎞ 

ε = ⎜ ⎟ 

⎝L 0 ⎠ 

(2) 

dove L è la lunghezza istantanea anche detta gauge length; 

è la lunghezza iniziale del provino; 

L 0 

• la engineering stress, invece. è definita come 

F 

s = (3) 

A 

dove A 0 è la sezione iniziale del provino; 

• la engineering strain, infine, è data dalla relazione 

ΔL 

e = (4) 

L 

dove ΔL è la variazione di lunghezza del provino pari a L-L 0 . 

0 

0 

Fintanto che la deformazione del provino è uniforme lungo la gauge length, la 

true-stress e la true-strain corrispondono ai valori ingegneristici di tensione e 

deformazione. Si possono allora ricavare le relazioni che legano i valori reali ed 

ingegneristici: 

imponendo, infatti, che la trasformazione sia isocora si ha che 

per cui 

e quindi esplicitando L 

riscrivendo la (1) come 

L0⋅ A0 

= L⋅ A (5) 

A0 

A 

L 

= (6) 

L 

0 

0 

A0 L0 

+ ΔL 

= = 1+ e (7) 

A L 

F A0 F A0 

σ = ⋅ = ⋅ 

A A A A 

0 0 

ed inserendo al suo interno la (3) e la (7) si arriva a 

( 1 e) 

σ = s + (8) 

32



Infine, sostituendo la (7) nella (2) si ottiene 

( e) 

ε = ln 1+ (9) 

La (8) e la (9) restano valide nell’intervallo di processo in cui la deformazione 

resta uniforme distribuita lungo tutto il provino. Quando comincia la strizione per 

la true-stress continua a valere la (1) mentre per calcolare la true-strain deve 

essere misurata l’area della sezione alla base dell’assottigliamento tranne che nel 

caso in cui, noti L ed L 0 durante tutto il processo, la strizione è posizionata al 

centro di esse. 

Infine, essendo la (5) valida anche nella gauge section la true-strain potrebbe 

essere calcolata dalla relazione 

⎛ 

ε ln A ⎞ 

= ⎜ ⎟ (10) 

⎝ A0 

⎠ 

dove A è l’area della sezione alla base della strizione. 

Figura 1. 16 - Differenza tra le curve σ-ε ed s-e per un acciaio da carpenteria 

33



1.2.2 Fattori che influenzano il comportamento dinamico dei materiali 

metallici 

I fattori che influenzano il comportamento dei materiali metallici ad alta velocità 

di deformazione e che, quindi, determinano risposte meccaniche diverse a seconda 

del metallo considerato sono molteplici e possono essere individuati 

ordinatamente facendo riferimento ai differenti cicli di produzione a cui sono 

sottoposti. In questa sede si tratteranno solo i metalli di interesse per l’ingegneria 

civile e, quindi, saranno analizzati quelli derivanti dalla trasformazione dei 

minerali di ferro: ferro, acciaio e ghisa. 

Partendo dal processo di trasformazione degli ossidi di ferro (magnetite ed 

ematite) il primo importante fattore da considerare è la presenza di elementi 

diversi che, costituendo delle impurezze all’interno dei minerali di base, si 

inseriscono nella struttura cristallina modificano le proprietà meccaniche dei 

metalli ferrosi. Gli elementi che possono inizialmente far parte della struttura di 

questi materiali sono: il carbonio C, il silicio Si, il manganese Mn, il fosforo P e 

lo zolfo S. Anche altri elementi possono trovarsi all’interno dei metalli ferrosi per 

aggiunta di rottami d’acciaio, alluminio e calce che, a vario titolo, intervengono 

per “purificare” il materiale da tenori troppo elevati degli elementi inizialmente 

presenti. 

Esaminando i vari casi possiamo dire che il crescente tenore di carbonio aumenta 

la sensibilità e quindi le prestazioni ad elevati strain-rate ostacolando la 

formazione di nuove dislocazioni o la loro ridistribuzione [14]. 

Ordinatamente sono riportate le scansioni effettuate al microscopio elettronico di 

acciai con basso, medio ed alto tenore di carbonio a seguito di due prove con 

diverse velocità di deformazione rispettivamente di 1.1·10 3 e 5.5·10 3 s -1 . Come si 

può notare, la crescente percentuale di carbonio ostacola sempre più la formazione 

di trame articolate di difetti dando luogo, a rottura, ad accumuli di difetti poco 

sviluppati e quindi grani di grosse dimensioni. 

34



Figura 1. 17 - Fotografia al microscopio elettronico di un acciaio con basso tenore di carbonio 

(low carbon steel) 

Figura 1. 18 - Fotografia al microscopio elettronico di un acciaio con medio tenore di carbonio 

(medium carbon steel) 

Figura 1. 19 - Fotografia al microscopio elettronico di un acciaio con alto tenore di carbonio 

(high carbon steel) 

Acciai legati con atomi di silicio e manganese per basse velocità di deformazioni 

registrano un miglioramento delle caratteristiche meccaniche effetto però che non 

si mantiene costante anche per alti valori di strain-rate. Infatti, la presenza di 

questi atomi fa sì che aumenti la sensibilità nei confronti della temperatura e che, 

quindi, per strain-rate elevati, la sensibilità alla velocità di deformazione si 

riduca. Un ulteriore peggioramento si può notare in termini di duttilità del 

materiale con allungamenti che, nel caso quasi-statico, possono spingersi sino al 

35



60÷70 % ma che, per elevati strain-rate, regrediscono a valori più contenuti 

dell’ordine del 45÷50 % [15]. 

Figura 1. 20 - Diagramma sforzo-deformazione per un acciaio con precipitazioni di Si e Mn per 

differenti strain-rates 

Per gli acciai prodotti con l’aggiunta di atomi di nichel, rame ed alluminio 

possiamo introdurre un discorso più ampio per cui se da un lato la sensibilità alla 

velocità di deformazione è molto meno pronunciata rispetto ad un acciaio senza 

precipitazioni, dall’altro tale perdita di sensibilità è compensata dall’aumento 

della capacità duttile di qualche unità percentuale [16]. 

Figura 1. 21 - Diagramma true stress-strain per un acciaio con precipitazioni di Ni, Cu e Al per 

differenti strain-rates 

36



Prova a sostegno della scarsa variabilità della risposta meccanica allo strain-rate 

per acciai con la presenza di tali precipitazioni è rappresentata dall’analisi 

comparativa al microscopio elettronico delle superfici di rottura del metallo per 

due diverse velocità di deformazione (rispettivamente 1 s -1 e 7.18·10 2 s -1 ). Si nota, 

infatti, per le diverse velocità di deformazione, che la struttura rimane 

sostanzialmente invariata sia dal punto di vista della densità superficiale delle 

rugosità sia per quel che riguarda la loro altezza. 

Figura 1. 22 - Fotografia al microscopio elettronico della superficie di frattura di un acciaio con 

precipitazioni di Ni, Cu e Al in condizione quasi-statiche e per elevato strain-rate 

Altro importantissimo fattore che influenza la sensibilità alla velocità di 

deformazione è il particolare processo di produzione seguito dall’acciaio/ghisa. In 

particolare risulta rilevante la fase di raffreddamento che l’austenite (prima forma 

del metallo ferroso dopo la fusione dei minerali) subisce e che determina la 

trasformazione in martensite (attraverso velocità di raffreddamento superiore al 

limite critico) o perlite (composto stabile di ferrite-cementite ottenuto con 

modeste velocità di raffreddamento). Nel caso della martensite il “congelamento” 

della struttura austenitica e, quindi, il mancato sviluppo e/o movimento delle 

dislocazioni, determina la qualità di durezza superficiale ma, allo stesso tempo, 

fragilità e scarsa tenacia. La perlite, invece, rappresenta un compromesso tra 

proprietà elastiche e resistenza meccanica in quanto, durante la fase di 

raffreddamento eseguita a modeste velocità, si creano le condizioni favorevoli per 

la nascita e l’organizzazione delle dislocazioni. Le conseguenze per la sensibilità 

alla velocità di deformazione delle due diverse strutture dovrebbero portare nel 

37



primo caso ad un miglioramento contenuto in fase elastica, ma una buona crescita 

delle capacità duttile ed incrudente. Al contrario, per il secondo caso il 

miglioramento più significativo sarebbe ipotizzabile per la fase elastica mentre, in 

campo plastico la struttura più ordinata dà luogo a minori ostacoli per lo sviluppo 

di una trama ordinata. 

Infine, ruolo altrettanto importante è rivestito dai trattamenti termici di ricottura, 

normalizzazione, tempra e rinvenimento a cui il metallo, con la voluta percentuale 

di ciascun elemento, spesso viene sottoposto per migliorare una o più 

caratteristiche meccaniche. 

Nel caso della tempra, spesso accompagnata anche dal rinvenimento (processo di 

bonifica) accade che, a seguito del trattamento termico subito, l’acciaio presenti 

una grana più fine. Ciò, ad elevate velocità di deformazione, prolunga la risposta 

elastica ritardando lo sviluppo di nuove dislocazioni e migliora il ramo plastico 

evitando l’allineamento dei difetti. Facilmente, dalle scansioni effettuate con il 

microscopio elettronico, si può notare che se per la prova monotona quasi-statica 

la dispersione delle dislocazioni si presenta abbastanza regolare e strutturata 

secondo una trama con un orientamento preferenziale, nel caso di strain-rate 

elevato i difetti presenti amplificano le loro dimensioni ma non si riesce ad 

individuare una trama regolare delle dislocazioni [17]. 

È infatti presente un minor numero di piani di scorrimento probabilmente già 

esistente prima della prova e, si intravedono piccoli difetti che tuttavia non 

riescono a determinare nuovi piani di scorrimento. 

Figura 1. 23 - Fotografia al microscopio elettronico della superficie di frattura in condizione 

quasi-statiche per un acciaio temprato 

38



Figura 1. 24 - Fotografia al microscopio elettronico della superficie di frattura ad elevata velocità 

di deformazione per un acciaio temprato 

Come l’acciaio così anche la ghisa gode della positiva sensibilità allo strain-rate 

esibendo, per velocità di deformazione crescenti, resistenze sempre maggiori. 

L’alta percentuale di carbonio inglobata all’interno della struttura, però fa si che la 

duttilità si riduca e la rottura rimanga di tipo fragile [18]. 

Figura 1. 25 - Legame costitutivo della ghisa per diverse velocità di deformazione 

39



1.3 I materiali polimerici fibrorinforzati: gli FRP 

1.3.1 Effetti sul comportamento meccanico degli FRP 

Lo sviluppo della tecnologia dei polimeri, orientato alla produzione di materiali da 

applicare nel campo delle strutture, ha fatto si che negli ultimi decenni gli FRP 

(fiber reinforced polymer) abbiano conquistato una posizione di interesse 

all’interno dei materiali usati nell’ingegneria civile. Si è venuto così a creare una 

vasta gamma di materiali caratterizzata dalla grande versatilità capaci di adattarsi 

a molte situazioni progettuali. In questo contesto poi, la crescente attenzione 

dell’ingegneria civile verso lo studio del comportamento dei materiali sottoposti 

ad azioni dinamiche ha fatto sì che anche i compositi fibro-rinforzati siano stati 

oggetto d’indagine. La natura composita ed i vari sistemi di applicazione di questo 

tipo di materiali hanno indirizzato la ricerca verso lo studio distinto del 

comportamento dei singoli componenti, per capire l’influenza di ognuno 

all’interno del comportamento globale del sistema FRP. In questo senso, 

numerose sono le attività sperimentali condotte per studiare il comportamento 

della resina e del composito nella sua interezza, scarsi risultati, invece, si sono 

avuti nell’indagine della risposta delle sole fibre a causa delle difficoltà tecniche 

nell’effettuare i test. 

Possiamo allora distinguere gli effetti che lo strain-rate provoca nei confronti 

della resina e del materiale composito nel seguente modo: 

per la resina (epossidica) in compressione, a seconda delle condizioni di 

polimerizzazione (a caldo o a freddo) si ottiene [19]: 

• un miglioramento della rigidezza elastica (Young’s modulus); 

• un consistente miglioramento del limite elastico; 

• per strain-rate dell’ordine di 1500÷2000 s -1 , una lieve riduzione della 

capacità duttile del provino; 

• anomalia di forma a rottura. 

40



Figura 1. 26 - Anomalia di forma in condizioni di rottura della resina epossidica in compressione 

Figura 1. 27 - Legami sforzo-deformazioni in compressione dell’adesivo epossidica polimerizzato 

a caldo e a freddo 

Analizzando le curve di risposta del materiale, concentrandosi in particolar modo 

sul solo tratto plastico, si può osservare che essi differiscono per un fattore di 

scala legato alle diverse velocità di deformazione. 

Figura 1. 28 - Ramo plastico dei legami tensione-deformazione in compressione con strain-rate 

per l’adesivo epossidica polimerizzato a caldo e a freddo 

Ponendo, quindi, 

σ 

DIF = 

σ 

dynamic 

static 

41



possiamo diagrammare il fattore di incremento dinamico in funzione dello strainrate 

Figura 1. 29 - Coefficiente di incremento dinamico della tensione in compressione per la resina 

epossidica 

in trazione, invece, si osserva [19]: 

• un incremento della resistenza ultima (ultimate stress); 

• il cambiamento della modalità di rottura da duttile a fragile; 

• un lieve miglioramento della rigidezza elastica (Young’s modulus) 

Figura 1. 30 - Legami sforzo-deformazione in trazione con strain-rate dell’adesivo epossidico 

Anche in questo caso possiamo relazionare le tensioni di rottura ottenute per 

elevati strain-rate a quelle del caso statico ottenendo il coefficiente di incremento 

dinamico in trazione 

42



Figura 1. 31 - Coefficiente di incremento dinamico della tensione in trazione per l’adesivo 

epossidico 

Per il sistema composito FRP, infine, sia in trazione che in compressione con 

fibre orientate nella direzione dell’azione esterna, si nota [20] [21]: 

• un miglioramento della resistenza ultima; 

• un incremento della rigidezza elastica; 

• una riduzione della deformazione di rottura. 

Figura 1. 32 - Risposta meccanica in compressione del sistema composito con fibre orientate nella 

direzione dell’azione sollecitante 

43



Figura 1. 33 - Risposta meccanica in trazione del sistema composito con fibre orientate nella 

direzione dell’azione sollecitante 

per trazione e compressione, invece, con direzione deviata rispetto 

all’orientamento delle fibre [22]: 

• un miglioramento della resistenza ultima; 

• una diminuzione della capacità deformativa. 

44



1.3.2 Fattori che influenzano il comportamento dinamico degli FRP 

Per quanto riguarda lo studio dei fattori che influenzano il comportamento dei 

sistemi FRP, un discorso esauriente potrebbe essere fatto solo se si disponesse dei 

dati relativi alla sensibilità alla velocità di deformazione di ciascuno dei suoi 

componenti. Con i risultati a disposizione, però, può comunque essere formulata 

un’ipotesi coerente che spiega bene il comportamento finale del sistema 

composito. 

All’interno del complesso FRP le fibre hanno il compito di assorbire e, quindi, 

contrastare le sollecitazioni imposte ed hanno un meccanismo di rottura basato sul 

collasso dei legami chimici che tengono uniti gli atomi del materiale. Alla resina, 

invece, è affidato il compito di distribuire alle fibre i carichi rendendole solidali e 

costituendo un sistema meccanicamente omogeneo dal punto di vista 

macroscopico. 

Associando a queste osservazioni i risultati dei dati condotti sulla resina e sul 

composito FRP si può ipotizzare che la sensibilità alla velocità di deformazione 

del sistema sia imputabile al solo comportamento della resina ai diversi strainrate. 

Questo perché anche nelle prove con direzione di trazione diversa 

dall’orientamento delle fibre, laddove cioè le fibre giocano un ruolo marginale, si 

può comunque notare un miglioramento della risposta meccanica. 

Le resine universalmente usate sono quelle epossidiche ed appartengono alla 

categoria dei polimeri cioè materiali formati a livello microscopico da catene di 

molecole costituite da un gruppo di base ripetuto. A seconda del processo di 

polimerizzazione, condotto “a caldo” o “a freddo”, questi materiali subiscono 

cambiamenti a livello microscopico. Nel primo caso, la struttura più ordinata 

determina un comportamento migliore al crescere dello strain-rate. Infatti, anche 

in questo caso, come già accadeva per il calcestruzzo e per i metalli, la rottura si 

origina dall’evoluzione di imperfezioni strutturali già esistenti che sono molto più 

numerose nelle resine prodotte attraverso il processo di polimerizzazioni a freddo; 

per questo motivo, nelle risposte meccaniche sopra illustrate, il comportamento 

45



delle resine con polimerizzazione a freddo restituiva risultati più scadenti rispetto 

a quelle con polimerizzazione a caldo. 

Altro punto su cui focalizzare l’attenzione è la riduzione della tensione di rottura 

che si registra nei sistemi compositi. Apparentemente risulta strano questo 

fenomeno perché, se la sensibilità alla velocità di deformazione è imputabile alla 

matrice resinosa ed il processo di crisi delle fibre si origina per rottura del legame 

chimico interno, la deformazione ultima dovrebbe rimanere la stessa. Se, però, 

inquadriamo bene il problema, ragionando in termini di sistema composito e 

quindi di ruoli dei singoli componenti, possiamo spiegare questa apparente 

incongruenza. Infatti, la rottura attivata a livelli di deformazione più bassi 

potrebbe essere la conseguenza del fatto che, nel trasferire gli sforzi alle fibre 

mettendole in compartecipazione, la resina non riesce ad assolvere la sua funzione 

completamente a causa dei tempi brevissimi in cui il processo avviene. Il risultato, 

quindi, è quello di avere zone di concentrazione delle tensioni in cui la crisi si 

sviluppa prima senza che le altre fibre più lontane possano intervenire nel 

meccanismo. 

Nell’intento di portare a termine un discorso esaustivo, però, non si può 

prescindere dall’investigare in tutte le direzioni e sotto tutti gli aspetti possibili 

ciascun elemento alla base dei sistemi FRP. È per questo motivo che per 

convalidare le supposizioni formulate sarebbero necessarie attività sperimentali in 

questo senso soprattutto mirate allo studio del comportamento delle fibre di 

rinforzo. A tal proposito, in attesa di campagne di prova con l’ intento di accertare 

l’insensibilità allo strain-rate per le fibre, possiamo gettare le base analitiche a 

sostegno della sperimentazione proponendo un semplice modello che metta in 

relazione il DIF della deformazione ultima del sistema FRP con i parametri 

meccanici della resina e del composito. 

La rigidezza del sistema può essere calcolata con la media pesata delle rigidezze 

dei singoli elementi: 

46



Er 

r 

⋅ A+ Ef 

f⋅A 

Ec = = Err+ Ef 

f (1) 

A 

dove E è il modulo di Young 

r ed f sono le percentuali di area rispettivamente della resina e delle fibre 

A è l’area totale del composito 

con i pedici c, r ed f si indicano rispettivamente i termini riferiti al 

composito, alla resina ed alle fibre. 

La resistenza statica e dinamica del composito è data (i termini dinamici sono 

contraddistinti dall’apice): 

( ) ε ( ) 

f = f + f = ε E r⋅ A+ E f ⋅ A = A E r+ E f (2) 

c r f u r f u r f 

( ) ε ( ) 

f ' = f ' + f ' = ε' E' r⋅ A+ E f ⋅ A = ' A E' 

r+ E f (3) 

c r f u r f u r f 

nell’ipotesi che le fibre non siano sensibili allo strain-rate. 

Se rapportiamo la resistenza dinamica a quella statica otteniamo il DIF del 

sistema: 

( ' ) 

( E f ) 

f ' ε ' 

u 

A E 

c r 

r+ Ef f ε ' ⎛ 

u 

E' 

r 

r Ef 

f ⎞ 

DIF = = = ⎜ + ⎟ 

fc εuA Err+ ε 

f 

u ⎝ Ec Ec 

⎠ 

ed esprimendo il secondo termine in parentesi mediante la (1) si ha: 

ε' 

⎛ 

u 

E' 

r 

r Err⎞ ε' 

⎡ ⎛ 

u 

E' 

r 

r− 

Err⎞⎤ 

DIF = ⎜ + 1− ⎟= ⎢1+ 

r ⎜ ⎟⎥ 

εu ⎝ Ec Ec ⎠ εu ⎣ ⎝ Ec 

⎠⎦ 

A questo punto non resta che attendere di validare questa espressione attraverso il 

confronto con i dati ottenuti dalle attività sperimentali. 

(4) 

(5) 

47

Cap. II – METODOLOGIE SPERIMENTALI PER LA MISURA DELLE CARATTERISTICHE 

TENSO-DEFORMATIVE DEI MATERIALI SOTTOPOSTI A REGIMI DINAMICI 

Capitolo II 

Metodologie sperimentali per la misura delle 

caratteristiche tenso-deformative dei materiali sottoposti 

a regimi dinamici 

Ogni regime di velocità di deformazione ha delle sue criticità che devono essere 

rispettate specie nell’attrezzatura sperimentale che si adotta. Nello schema 

seguente sono riportate le criticità e le tecniche sperimentali idonee alla misura nei 

diversi intervalli di velocità. 


Intervallo di 

strain-rate 

[s -1 ] 

Criticità 

Basso 10 -7 ÷ 10 -4 - allineamento del sistema 

- rigidità della macchina 

Medio 10 -4 ÷ 100 

- inerzia 

- effetti delle vibrazioni 

Tecnica sperimentale 

macchina universale 

macchina 

idro-pneumatica 

Alto > 100 - propagazione delle onde Hopkinson bar 

Tabella 2. 1 - Schema delle metodologie di indagine per i diversi strain-rate con indicazioni sulle 

tecniche sperimentali utilizzate e le relative criticità 

48



2.1 La Split Hopkinson Pressure Bar 

La tecnica della Barra di Hopkinson (Hopkinson bar technique) è scientificamente 

riconosciuta quale metodo di prova più idoneo per la misura delle proprietà 

meccaniche dei materiali con l’utilizzo della propagazione delle onde. Con essa si 

generano carichi impulsivi controllati che provocano la propagazione di onde 

piane elastiche di pressione nel materiale oggetto della prova. 

La versione tradizionale della barra di Hopkinson risale ai pionieristici lavori di 

ricerca condotti nel 1914 da Bertram Hopkinson (figlio di John Hopkinson, che fu 

il primo negli ultimi anni dell’800 a verificare sperimentalmente l’incremento di 

resistenza dei materiali soggetti ad impatto), nel 1948 da R. M. Davis, nel 1949 da 

H. Kolsky e più recentemente da U.S. Lindholm. 

Figura 2. 1 - Schema della barra di Hopkinson classica per prove di compressione 

Figura 2. 2 - SHPB della University of California San Diego 

49



La barra di Hopkinson classica consiste praticamente nella generazione di onde di 

tensione (di compressione o di trazione) provocate dall’impatto di un proiettile 

lanciato su una barra solitamente di sezione trasversale circolare chiamata input 

bar o barra incidente, la quale trasferisce l’impulso al provino inserito tra la input 

bar ed un’altra barra detta output bar o barra di trasmissione; durante il test, il 

provino si deforma plasticamente fino a rottura mentre le barre, incidente e di 

trasmissione, rimangono in campo elastico. 

Il proiettile viene generalmente sparato per mezzo di un piccolo apparato 

pneumatico a gas. 

Quando il proiettile impatta la barra incidente viene generato un impulso di 

compressione di ampiezza costante all’estremo della barra incidente e del 

proiettile. L’onda elastica piana di compressione incidente si propaga lungo 

l‘input bar, raggiunge l’interfaccia barra-provino e carica dinamicamente 

quest’ultimo. 

Il risultato dell’interazione tra onda incidente e provino è governata dalle 

rispettive impedenze acustiche dipendenti dal materiale e dalle sezioni. Parte 

dell'onda viene riflessa, parte, invece, continua a viaggiare nel provino e nella 

barra di trasmissione. 

2.1.1 Aspetti teorici alla base del funzionamento della Barra di Hopkinson 

Il rispetto delle seguenti ipotesi di base sono necessarie nel permettere 

misurazioni accurate delle proprietà meccaniche dinamiche dei materiali 

attraverso la barra di Hopkinson: 

• il diametro delle barre deve essere piccolo rispetto alla lunghezza 

dell’impulso in modo che la trasmissione delle onde avvenga senza alcuna 

dispersione (le barre rimangono sempre in campo elastico); 

• la lunghezza del provino deve essere piccola in modo che il tempo 

impiegato dall’onda per propagarsi al suo interno è trascurabile rispetto 

alla durata totale del test. Questa condizione permette all’interno del 

50



provino le riflessioni necessarie per raggiungere una distribuzione 

omogenea delle tensioni e delle deformazioni in tutta la lunghezza del 

provino, il che significa anche condizioni di equilibrio delle forze agenti 

sulle estremità del provino. 

Rispettando le due condizioni sopraccitate e rimanendo le due barre in campo 

elastico, può essere applicata la teoria della propagazione delle onde elastiche al 

sistema input bar-provino-output bar. In questo modo si possono ottenere le tre 

relazioni che permettono di calcolare la tensione, la deformazione e lo strain-rate 

nel materiale del provino in funzione del tempo misurando in maniera diretta 

l’impulso incidente, riflesso e trasmesso di ampiezza rispettivamente ε I , ε R ed ε T . 

Si consideri la seguente figura che rappresenta il sistema input bar-provino-output 

bar 

Input strain-gage measuring: ε I and ε R 

Input bar 

1 2 

L 

v 2 

v 1 

specimen 

Output bar 

Output strain-gage measuring: ε T 

A 0 , ρ 0 , C 0 

A , ρ , C 

Figura 2. 3 - Schema del provino inserito tra la barra incidente e riflettente per una prova con la 

barra di Hopkinson 

• dalla teoria della propagazione delle onde uni-dimensionali si ha 

dove σ è la tensione; 

ρ 

v 

C 

è la densità del materiale; 

σ = ρvC (1) 

è la velocità della particella; 

è la velocità del suono nel mezzo; 

• l’equazione costitutiva del materiale in campo elastico è 

σ = ε E (2) 

51



• essendo poi 

C 

= (3) 

ρ 

2 E 

• sostituendo la (1) nella (2) si ottiene 

v 

= Cε (4) 

• da questa relazione, misurando l’ε I e l’ε T è possibile calcolare la velocità 

dell’impulso alle due estremità del provino 

interfaccia 1 → v1 = C0ε 

I 

(per t=0) 

interfaccia 2 → v2 = C0εT 

per t>0 la velocità all’interfaccia 1 decresce perché parte dell’onda incidente 

viene riflessa; così si ha 

interfaccia 1 → v C ( ε ε ) 

= − (per t>0) (6) 

1 0 I R 

• la velocità di deformazione può essere espressa come 

dε 

dt 

( ) − ( ) 

v t v t 

L 

• sostituendo la (5) e la (6) nella (7) 

1 2 

& = = 

(7) 

ε 

( ε − ε ) − ( ε ) 

dε 

C C C 

& = = = ( I () t − 

R() t − 

T () t ) (8) 

dt L L 

0 I R 0 T 0 

ε ε ε ε 

• da cui si può calcolare facilmente la deformazione del materiale 

integrando rispetto all’intervallo di tempo [0;t] 

C 

L 

() () () 

t 

0 

ε = ⎡εI −εR −εT 

0 ⎣ 

∫ t t t ⎤⎦ 

dt (9) 

• per ottenere la tensione agente nel provino si impone l’equilibrio delle 

forze agenti all’interfacce per cui si ha 

σ 

• le due forze si calcolano come 

( ) − ( ) 

F t F t 

2A 

1 2 

= (10) 

interfaccia 1 → F = A E ( ε + ε ) 

1 0 0 I R 

interfaccia 2 → F = A E ( ε ) 

2 0 0 T 

(5) 

(11) 

52



• da cui sostituendo la (11) nella (10) si ottiene 

AE 

= ( + + ) (12) 

2A 

0 0 

σ εI εR εT 

• sussistendo l’equilibrio nel provino risulta ε 

I 

+ εR = εT 

per cui 

AE 

σ () t 

A 

2C 

t 

0 

ε =− εR 

() tdt 

L 

∫ (14) 

0 

0 0 

= εT 

(13) 

2C0 

& ε =− εR 

() t (15) 

L 

che sono le formule utilizzate per la costruzione dei legami costitutivi dei 

materiali soggetti ad alte velocità di deformazione. 

2.1.2 La JRC Universal Modified Hopkinson Bar (MHB) per prove ad alte 

velocità di deformazione 

La barra di Hopkinson classica è stata usata principalmente per prove di 

compressione ad elevata velocità di deformazione soprattutto per piccoli provini 

di metallo. 

Una versione innovativa della barra di Hopkinson è stata sviluppata presso il Joint 

Research Center (sito di Ispra) della Commissione Europea, in modo da poter 

essere usata l’esecuzione di prove di trazione, compressione e taglio su provini 

polimerici o di metallo sia a temperatura ambiente che per valori molto bassi o 

estremamente elevati. Questo tipo di apparecchiatura permettere di eseguire prove 

negli intervalli di velocità di deformazione che vanno da 100 a 2000 s -1 

(estendibili a 50 s -1 per il limite inferiore e fino a 50000 s -1 per sollecitazione di 

taglio). Quattro esemplari di MHB sono installate nel laboratorio DynaMat 

dell’University of Applied Sciences of Southern Switzerland di Lugano. 

53



Figura 2. 4 - Esemplari di MHB del laboratorio DynaMat dell’University of Applied Scienses of 

Southern Switzerland 

Lo sviluppo della MHB è stato necessario per disporre di un’unica macchina 

capace di lavorare in trazione, compressione e taglio, generando onde di lunga 

durata indispensabili per condurre test intorno ai 100 s -1 imponendo grandi 

deformazioni prima della rottura del provino in metallo duttile. Infatti, per 

esempio possiamo considerare il caso di un test dinamico a strain-rate di 100 s -1 

per un provino con deformazione a rottura del 50% in cui la durata dell’onda deve 

essere di 5 ms per deformare il provino prima della rottura. 

Usando la barra di Hopkinson classica equipaggiata per test dinamici sarebbe 

necessario lanciare un proiettile lungo più di 10 m per ottenere un’onda di durata 

pari a qualche ms, compito difficile in particolar modo per la realizzazione 

dell’impatto piano tra il proiettile e la input bar. Quest’ultima, infatti, costituisce 

una condizione assolutamente necessaria per generare onde piane elastiche di 

tensione necessarie per la corretta analisi dei dati della barra di Hopkinson 

attraverso la più importante teoria della propagazione delle onde elastiche piane. 

Lo schema della MHB in trazione è 

54



Figura 2. 5 - Modified Hopkinson bar per prove di trazione 

La MHB consiste in una barra pretesa (che sostituisce il proiettile utilizzato nella 

versione classica della Hopkinson bar) che costituisce un’appendice solidale della 

input bar, seguita dall’output bar e dal provino inserito tra le due. 

Il funzionamento della MHB è basato sull’accumulo di un certo quantitativo di 

energia meccanica elastica nella barra di pretensione. La barra pretesa è bloccata 

per mezzo di un sistema di blocco mentre l’altro estremo è collegato ad un 

attuatore idraulico per la messa in tensione. 

Una volta immagazzinata l’energia meccanica lungo la barra pretesa ed inserito il 

provino tra le due barre incidente e trasmittente, il meccanismo di blocco viene 

sganciato mediante la rottura fragile di un elemento, a questo punto si ha la 

generazione di due contemporanee onde elastiche piane: 

• un’onda di compressione che si propaga, alla rottura del pezzo fragile, dal 

sistema di blocco verso la sinistra della barra pretesa scaricandola; 

• un’altra onda, ma di trazione, si propaga dal sistema di blocco lungo la 

input bar, il provino e l’output bar portando il provino a rottura. 

La durata dell’impulso che carica il provino corrisponde al valore del tempo che 

l’onda di scarico impiega per coprire la distanza tra la sezione libera della barra e 

l’attuatore idraulico e ritornare indietro; l’ampiezza dell’impulso di tensione 

generato è pari alla metà del valore stabilito della pretensione statica nella barra 

realizzata a mezzo dell’attuatore idraulico. 

Usando una barra pretesa di 6 m di lunghezza è possibile generare onde di 

trazione di lunghezza 2.5 ms permettendo la deformazione fino alla rottura di un 

provino in materiale molto duttile sotto elevati strain-rate. In questo caso è 

necessario utilizzare una barra trasmittente di lunghezza corrispondente a quella 

55



pretesa per riuscire a leggere deformazioni del provino senza il disturbo provocato 

dalla sovrapposizione dell’onda riflessa dalla barra finale che potrebbe rendere 

molto complicata l’analisi dei dati registrati nel corso della prova. 

Il meccanismo di blocco permette di ottenere una rampa di salita del carico molto 

rapida dell’ordine dei 30 μs assicurando così che la propagazione dell’onda di 

tensione nel provino posto innanzi alla barra incidente sia piana ed elastica senza 

componenti di flessione. 

Infine, il diametro piccolo (circa 10 mm) rispetto alla lunghezza delle onde 

generate che sono dell’ordine di qualche metro, realizza le condizioni per la 

propagazione senza dispersione né assorbimento, lungo le barre incidente e 

trasmittente, alla velocità C 0 . 

Sulle barre incidente e di trasmissione, ad una certa distanza dal provino, vengono 

applicati degli estensimetrici elettrici a resistenza in semi-conduttori per registrare 

le deformazioni ε I provocate dall’impulso incidente, le deformazioni ε R causate da 

una parte dell’onda incidente riflessa all’interfaccia input bar-provino, le 

deformazioni ε T provocata dall’aliquota di onda incidente che viene sopportata dal 

provino e, quindi, trasmessa nell’output bar. 

Nella figura successiva vengono mostrati i dati di una prova dinamica di trazione 

realizzata con la MHB in cui è possibile osservare che: 

• il chiaro andamento delle onde incidente, riflessa e trasmessa; 

• il preciso piccolo intervallo dell’onda incidente dell’ordine dei 30 μs; 

• l’ampiezza costante dell’onda incidente; 

• la caratteristica similitudine tra dati dell’onda trasmessa con la relazione 

tensione-tempo registrata mediante un convenzionale test di trazione. 

56



1.4 10 4 0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 

1.2 10 4 

input 

output 

Pulse [N] 

1 10 4 

8000 

6000 

4000 

2000 

0 

incident pulse 

reflected pulse 

transmitted pulse 

-2000 

Time [s] 

Figura 2. 6 - Registrazione delle onde incidente, riflessa e trasmessa misurate sull’input ed output 

bar durante una prova con la barra di Hopkinson modificata 

2.1.3 Set-up per esperimenti su provini di calcestruzzo e di acciaio 

Per determinare le proprietà meccaniche del calcestruzzo e dell’acciaio sotto 

carichi con elevata velocità di applicazione si usano tre differenti configurazioni 

della modified Hopkinson bar: la prima è costituita da barre con diametro 

dell’ordine dei 10 mm ed è stata utilizzata per prove dinamiche di campioni 

d’acciaio, le altre due vengono, invece, usate per testare provini di calcestruzzo 

rispettivamente di 20 e 60 mm. 

Set-up per provini di acciaio 

Il sistema consiste in due barre cilindriche di acciaio ad alta resistenza aventi 

diametro di 10 mm e lunghezza di 9 e 6 m rispettivamente per la barra incidente e 

trasmittente. Il provino metallico di diametro pari a 3 mm viene sagomato con le 

estremità filettate e poi avvitato tra le due barre provviste di controfilettatura 

57



Figura 2. 7 - Provino metallico sagomato ed avvitato tra le due barre incidente e di trasmissione 

per una prova con la barra di Hopkinson modificata 

Le due barre vengono strumentate mediante strain-gage in materiale semiconduttore 

che misurano le onde incidente, riflessa e trasmessa agenti nella 

sezione trasversale del provino. Come barra di pretensione viene utilizzata una 

parte della barra di input. 

La prova con la MHB si articola in due fasi descritte di seguito: 

• per prima cosa per mezzo dell’attuatore idraulico, con capacità massima di 

carico pari a 600 kN, viene messa in trazione la parte pretesa (6 m) della 

barra incidente del diametro di 10 mm; la pretensione accumulata nella 

barra viene trattenuta a mezzo di un sistema di blocco; 

• come seconda operazione, viene rotto il bullone fragile del sistema di 

blocco rilasciando un impulso meccanico di trazione della durata di 2.4 ms 

con velocità di carico lineare nell’intervallo di tempo, che si propaga lungo 

le barre incidente e trasmittente portando a rottura il provino metallico. 

58



Figura 2. 8 - Set-up della barra di Hopkinson modificata per test su provini metallici 

59



Set-up per il provino di calcestruzzo con diametro di 60 mm 

Il sistema consiste in due barre circolari di alluminio aventi lunghezza pari a 3 m e 

diametro di 60 mm in cui il provino di calcestruzzo è inserito ed incollato con una 

resina epossidica (resistenza a trazione > 30 MPa). In questo caso, il provino di 

calcestruzzo ha lo stesso diametro delle barre le quali vengono strumentate 

mediante l’applicazione di strain-gage in materiale semi-conduttore così da 

ottenere le necessarie misurazioni delle onde incidente, riflessa e trasmessa agenti 

nella sezione trasversale del provino. 

Il test con la MHB viene condotto come segue: 

• per prima cosa con l’attuatore idraulico, con massima capacità di carico di 

1 MN, viene caricata una barra di acciaio maraging ad alta resistenza della 

lunghezza di 3 m e del diametro di 35.8 mm; la pretensione accumulata 

nella barra è stata trattenuta da un dispositivo di blocco; 

• seconda operazione è quella di rompere il bullone fragile del dispositivo di 

blocco così da generare un impulso di tensione meccanica della durata di 

1200 ms con velocità di carico lineare durante questo brevissimo tempo, 

che si propaga lungo la barra incidente e trasmittente riportando la frattura 

del provino in calcestruzzo. 

Figura 2. 9 - Set-up della barra di Hopkinson modificata per test su provini in calcestruzzo 

1. attuatore idraulico; 2. barra d’acciaio ad alta resistenza per l’accumulo dell’energia (3 m); 

3. dispositivo di blocco; 4. barra incidente; 5. strain-gage per la misurazione dell’onda incidente e 

riflessa; 6. provino; 7. strain-gage per misurare l’onda trasmessa; 8. barra di trasmissione 

60



L’alluminio viene scelto come materiale per le barre incidente e trasmittente a 

causa della sua impedenza acustica, non molto lontana da quella del calcestruzzo. 

La lunghezza della barra incidente e trasmittente connesse al provino sono tali che 

la riflessione dell’onda dall’estremo più lontano non raggiunge il provino prima 

della rottura permettendo la raccolta dei dati senza interferenze. 

Il provino di calcestruzzo viene anch’esso strumentato mediante uno strain-gage 

utilizzato per misurare ed analizzare gli effetti della propagazione dell’onda al suo 

interno. 

Figura 2. 10 - Provino in calcestruzzo con strain-gage applicato pronto per una prova con la barra 

di Hopkinson modificata 

Prima della prova le superfici del calcestruzzo vengono levigate al fine di 

permettere un corretta applicazione alle barre di input e output. 

Set-up per il provino in calcestruzzo con diametro di 20 mm 

Il sistema consiste in due barre cilindriche di alluminio di diametro pari a 20 mm 

di lunghezza 3 e 6 m rispettivamente per la barra incidente e trasmittente. Il 

provino in calcestruzzo, dello stesso diametro delle barre, viene incollato tra di 

esse a mezzo di una resina epossidica (resistenza a trazione > 30 MPa). Le barre 

di input ed output vengono strumentate mediante strain-gage in materiale semiconduttore 

che misurano le onde incidente, riflessa e trasmessa agenti nella 

61



sezione trasversale del provino. La barra pretesa è in acciaio ad alta resistenza ed è 

connessa saldamente alla barra incidente. 

La prova con la MHB viene condotta nel seguente modo: 

• per prima cosa, per mezzo dell’attuatore idraulico, con capacità massima 

di carico pari a 600 kN, viene messa in pretensione la barra di acciaio ad 

alta resistenza di lunghezza pari a 6 m e diametro di 12 mm; la pretensione 

immagazzinata nella barra viene trattenuta mediante un sistema di blocco; 

• successivamente, viene rotto il bullone fragile del sistema di blocco che 

sprigiona l’impulso meccanico di trazione della durata di 2.4 ms con 

velocità di carico lineare durante questo breve intervallo di tempo, che si 

propaga lungo le barre di input ed output portando a rottura il provino in 

calcestruzzo. 

62



2.2 La Drop-weight impact machine 

La Drop-weight Impact Machine è un’apparecchiatura dalle dimensioni rilevanti 

(anche se ne esistono versioni in scala ridotta che hanno però capacità limitate in 

termini quantità di energia trasmessa al provino) capace di simulare alte velocità 

di deformazioni sfruttando l’energia cinetica di caduta di una massa battente. La 

macchina nel suo complesso è alta 3.50 m, poggia su una base di forma quadrata 

in pianta in calcestruzzo armato alta 0.90 m e larga 1.50 m ed è munita di un ariete 

rigido del peso di circa 3.38 kN provvisto di sistema frenante pneumatico. 

Figura 2. 11 - Schema di funzionamento della drop-weight impact machine 

La Drop-weight Impact Machine è costituita dai seguenti componenti: 

• la base munita di due appoggi strumentati, su cui viene alloggiato il 

provino, capaci di registrare sia la reazione verticale che orizzontale in 

modo da avere un quadro statico completo del processo; 

• un ariete rigido provvisto di maglio la cui caduta da altezza nota, 

all’impatto con il provino da testare, trasferisce energia che lo deforma 

fino a portarlo a rottura; 

63



• le guide che permettono all’ariete di scorrere secondo la direzione 

verticale impedendo svergolamenti e strumentate con fotocellule in modo 

da registrare i parametri del moto di caduta; 

• gli accelerometri installati lungo la semilunghezza della trave a distanza 

nota che permettono di ricostruire la deformata ed il moto di 

deformazione del provino. 

Figura 2. 12 - Drop-weight impact machine 

di un laboratorio tedesco 

Figura 2. 13 - Versione di dimensioni 

ridotte di drop-weight impact machine 

Quando la prova ha inizio, l’ariete viene fatto cadere da altezza nota quindi il 

maglio impatta la trave e ne provoca la deformazione fino a rottura; durante 

l’esperimento le fotocellule registrano il moto di caduta, gli accelerometri leggono 

lo spostamento dei punti della trave su cui sono installati e, per interpolazione, 

ricostruiscono il processo di deformazione dell’intera trave, infine, questi dati, 

mediante il principio dei lavori virtuali, vengono elaborati per calcolare l’energia 

di frattura d la risposta meccanica dell’elemento [5]. 

64



Figura 2. 14 - Provino in calcestruzzo armato dopo il test con la drop-weight impact machine 

2.3 La Hydro-pneumatic Machine 

Per investigare circa il comportamento dei materiali in condizioni di strain-rate 

intermedi viene utilizzata un’apparecchiatura denominata Hydro-pneumatic 

Machine [23]. Essa è stata sviluppata e brevettata presso il JRC di Ispra ed è 

presente presso il laboratorio DynaMat di Lugano. 

Come si può vedere dalla foto di seguito riportata, si tratta di un macchina dalle 

dimensioni contenute con funzionamento di base idro-pneumatico e che permette 

di condurre test su provini di acciaio con velocità fino a 50 s -1 . 

Figura 2. 15 - Hydro-pneumatic machine per prove a media velocità di deformazione 

65



Il corpo macchina della hydro-pneumatic è formato da tre organi sostanzialmente: 

• un serbatoio cilindrico diviso da un pistone a perfetta tenuta in due camere 

l’una riempita di gas a pressioni elevate, l’altra contenente acqua che 

all’atto di dare inizio alla prova viene evacuata attraverso un orifizio 

calibrato a mezzo di un elettro-valvola rapida; 

• un’asta cilindrica collegata rigidamente al pistone in comunicazione con 

l’esterno della camera riempita di gas a mezzo di una guarnizione ermetica 

da un lato e dall’altro connesso al provino da testare; in prossimità 

dell’attacco pistone-provino una piastra solidale col pistone permette di 

registrare i movimenti di quest’ultimo attraverso un trasduttore di 

spostamento non a contatto; 

• una barra elastica di cui un estremo è incastrato rigidamente al supporto 

fisso della macchina e l’altro viene connesso al provino metallico; la 

funzione di questa barra strumentata per la lettura delle deformazioni a 

mezzo di uno strain-gage è quella di leggere durante la prova il carico 

sopportato dal campione testato. 

Il funzionamento della hydro-pneumatic machine consiste nell’imprimere con 

elevata velocità una forza al pistone provocando una differenza di pressione nel 

serbatoio cilindrico svuotando la camera riempita di acqua. 

Schematicamente può essere descritto come di seguito: 

• le due camere del serbatoio vengono riempite l’una di gas e l’altra di acqua 

stabilendo lo stesso valore di pressione e quindi senza che siano applicate 

delle forza sulle facce del pistone che resta in equilibrio; 

• il provino viene fissato tra le due barre, quella collegata al pistone e quella 

elastica fissa strumentata; 

• attivando l’elettro-valvola rapida che tappava la camera riempita d’acqua 

la si mette in comunicazione con l’esterno e la forza esercitata dalla 

pressione del gas sulla faccia del pistone prevale. Il pistone comincia così 

ad accelerare riducendo le dimensioni della camera colma di acqua e 

provocando, simultaneamente, la fuoriuscita a velocità costante del liquido 

attraverso l’orifizio calibrato e l’applicazione al provino di un carico con 

66



deformazioni che si evolvono a strain-rate costante. Il movimento del 

pistone a velocità costante e, quindi, la costanza della velocità di 

deformazione durante tutta la prova sono legati principalmente 

all’applicazione della forza esercitata dal gas sulla superficie del pistone in 

modo costante. In questo senso buoni risultati possono essere raggiunti 

limitando la variazione di volume della camera riempita di gas e quindi, 

conseguentemente contenendo la diminuzione di pressione al suo interno. 

Questo obiettivo può essere perseguito limitando l’escursione del pistone 

intorno a circa il 10% del volume della camera piena di gas; 

• il carico impresso al provino viene letto attraverso la barra dinamometrica 

elastica strumentata mentre l’allungamento viene registrato a mezzo del 

trasduttore di spostamento applicato sulla piastra collegata alla barra 

solidale con il pistone. 

Figura 2. 16 - Schema della hydro-pneumatic machine 

67

Cap. III – INTERPRETAZIONE ANALITICA DELLA SENSIBILITÀ ALLA 

VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE DEI MATERIALI STRUTTURALI 

Capitolo III 

Interpretazione analitica della sensibilità alla velocità di 

deformazione dei materiali strutturali 

Dal punto di vista computazionale nell’attività di progettazione, il miglioramento 

del comportamento meccanico dei materiali interessati dal fenomeno della 

sensibilità alla velocità di deformazione viene tenuto in conto inserendo 

all’interno delle relazioni costitutive dei fattori correttivi. 

Questi ultimi vengono espressi, in modo diverso, a seconda della teoria di base a 

cui ci si riferisce ed hanno espressioni più o meno complesse in funzione del 

numero di variabili da considerare per la corretta analisi del comportamento del 

materiale oggetto di studio. 

Nel seguito verrà fatta una panoramica dei legami costitutivi, frutto delle attività 

sperimentali, che contemplano la sensibilità alla velocità di deformazione e, 

successivamente, saranno illustrati, relativamente ai materiali oggetto di questo 

lavoro, le relazioni contenute all’interno del codice di calcolo LS-Dyna ed 

utilizzate dal programma per modellare il comportamento meccanico ad elevati 

strain-rate dei materiali. 

68



3.1 Lo strain-rate nei legami costitutivi sperimentali 

Lo sviluppo delle attività sperimentali e di conseguenza l’evoluzione delle 

conoscenze in materia di sensibilità alla velocità di deformazione ha consentito la 

formulazione di nuove principi che potessero interpretare questo fenomeno. Si è 

così assistito alla nascita talvolta di complesse teorie multi-disciplinari, talaltra di 

semplici equazioni che potessero assecondare i risultati sperimentali e permettere 

la formulazione di previsioni sul comportamento dei materiali. 

La rassegna che segue di interpretazioni matematiche della sensibilità alla velocità 

di deformazione non ha l’intento di compilare lo stato dell’arte di questo 

argomento bensì viene elaborata per illustrare senza alcun ordine temporale o di 

importanza quelle relazioni a cui maggiormente ci si riferisce per ipotizzare la 

risposta dinamica dei materiali da testare. 

3.1.1 Modello di Cowper-Symond 

[24] Il modello di Cowper-Symonds è un legame costitutivo di natura 

semiempirica ed è la relazione più nota ed utilizzata in virtù della sua semplicità 

di applicazione e della grande disponibilità di dati in letteratura. Il suo utilizzo 

presuppone la conoscenza di due parametri funzione del materiale e si presenta in 

due forme sostanzialmente identiche: 

⎛ σ ⎞ 

ln & ε = qln ⎜ − 1⎟+ 

ln D 

⎝σ 

0 ⎠ 

oppure, in maniera equivalente 

σ ⎛ & ε ⎞ 

= 1+ ⎜ ⎟ 

σ ⎝D 

⎠ 

dove σ 0 è la tensione di snervamento statica; 

σ è la tensione di snervamento dinamica; 

ε& è la velocità di deformazione; 

q e D sono due parametri funzione del materiale. 

0 

1 

q 

69



Per quanto riguarda la relazione di Cowper-Symonds ci sono due aspetti da 

mettere in evidenza: 

• il primo si riferisce ai parametri caratteristici del materiale ed in particolar 

modo il coefficiente D che risulta essere funzione del livello deformativo 

attinto dal provino. Per una corretta interpretazione dei dati, quindi, 

sarebbe necessario introdurre nella formula del legame costitutivo tale 

dipendenza. A questa soluzione si preferisce, però, una diversa opzione e 

cioè quella di calcolare questo parametro per diversi valori della tensione 

corrispondenti a stati di deformazione via via crescenti; 

• il secondo riguarda il modo di applicare il modello e vengono proposte due 

procedure differenti: 

o una che consiste nell’amplificare la sola tensione di snervamento e 

traslare tutti i punti del tratto plastico del legame costitutivi di una 

stessa quantità pari alla differenza tra il valore della tensione di 

snervamento statica e quella dinamica (modo I); 

o l’altra, invece, applica il modello costitutivo a tutti i punti della 

curva σ-ε nel tratto plastico (modo II). 

3.1.2 Modello di Jones 

I problemi di cui è affetto il modello di Cowper-Symonds vengono parzialmente 

risolti da quello di Jones ed in particolare per l’aspetto riguardante la dipendenza 

dallo stato deformativo del materiale [24]. 

L’espressione di questo tipo di legame è molto simile a quello di Cowper- 

Symonds ma prevede l’introduzione di un terzo parametro C caratteristico del 

materiale: 

σ ⎛ & ε ⎞ 

= 1+ ⎜ ⎟ 

σ ⎝B+ C⋅ε 

⎠ 

dove σ 0 è la tensione di snervamento statica; 

0 

1 

q 

σ 

è la tensione di snervamento dinamica; 

70




q, B e C sono tre parametri funzione del materiale. 

Per non aggravare l’onere computazionale, però, attestata la contenuta variabilità 

del parametro q, lo si mantiene costante durante tutta l’applicazione di questo tipo 

di legame. In letteratura, inoltre, dai numerosi dati disponibili si evince che non 

vengono apportati miglioramenti sostanziali rispetto al precedente modello anche 

perché il parametro B risulta molto prossimo al D della relazione di Cowper- 

Symonds ed il prodotto C·ε è spesso trascurabile. 

3.1.3 Modello di Johnson & Cook 

La legge costitutiva di Johnson & Cook fu proposta dagli autori nel 1983 con 

l’obiettivo di inglobare in un’unica relazione sia gli effetti della velocità di 

deformazione e dell’incrudimento che la dipendenza dalla temperatura [24]. 

Secondo questo modello l’espressione della tensione di snervamento dinamica si 

esprime come 

m 

n 

ε 

⎡ 

T 300 

⎤ 

σ ⎡A B( ε 

p ) 

⎤ 

⎡ ⎛ & ⎞⎤ 

⎛ − ⎞ 

= + ⋅ 1+ Cln ⋅⎢1−⎜ ⎥ 

⎣⎢ ⎦⎥ ⎢ ⎜ ⎟⎥ 

ε ⎜ 

0 ⎢ Tf 

− 300 ⎟ 

⎣ ⎝ & ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎥ 

⎣ 

⎦ 

dove A è il limite elastico del materiale; 

B e n sono costanti caratteristiche del tratto plastico e dell’incrudimento 

del materiale; 

C 

è una ulteriore costante che esprime la sensibilità alla velocità di 

deformazione rispetto al valore di riferimento ε& 0 

(suggerita dagli 

autori pari a 1 s -1 ); 

T è la temperatura ambiente in scala assoluta; 

T f è la temperatura di fusione del materiale in scala ssoluta; 

m è un parametro caratteristico del materiale. 

A questa forma bisogna però apportare delle modifiche di tipo analitico che 

riguardano l’insieme di definizione delle velocità di deformazione: infatti, per 

valori al di sotto di ε& 

0 

la relazione di Johnson & Cook restituisce valori al di sotto 

71



della tensione di snervamento statica e, per ε& estremamente bassi, dati addirittura 

negativi. 

Quindi, apportando le dovute correzioni, si ottiene che la relazione assume la 

seguente forma 

−1 

⎧ & ε ≤1 

s ⇒ σ = σ0 

⎪ m 

⎨ 1 

n 

ε 

⎡ ⎛ T 300 ⎞ ⎤ 

− 

ε 1 s σ ⎡A B( ε 

p ) 

⎤ 

⎡ ⎛ & ⎞⎤ 

− 

⎪ & > ⇒ = 1 Cln ⎢1 

⎥ 

⎢ 

+ ⋅ ⎢ + ⎜ ⎟⎥⋅ −⎜ ⎣ ⎥⎦ ε ⎜ 

0 ⎢ Tf 

− 300 ⎟ 

⎣ ⎝ & 

⎪ ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎥ 

⎩ 

⎣ ⎦ 

dove σ 

0 

è la tensione di snervamento statica. 

3.1.4 Confronto tra i modelli costitutivi di Cowper-Symonds, Jones e 

Johnson & Cook 

Tra i tre modelli appena descritti, il confronto più interessante che si evince da 

un’analisi comparata delle previsioni ottenute mediante questi legami costitutivi 

riguarda la legge di Cowper-Symonds e quella di Johnson & Cook. Il modello di 

Jones, invece, per la scarsa carica innovativa e la sostanziale similitudine con 

quello di Cowper-Symonds non risulta interessante [24]. 

Per quanto riguarda il confronto tra gli altri due, si può dire che a fronte di una 

maggiore semplicità ed una più rapida convergenza del modello di Johnson & 

Cook nello stabilire il valore dei parametri caratteristici dei materiali necessari 

all’utilizzo delle formule, il legame di Cowper-Symonds interpreta meglio i dati 

sperimentali specie per valori molto elevati della velocità di deformazione 

prossimi a 10 3 s -1 [18]. 

Lo svantaggio principale, però, del modello di Cowper-Symonds risiede nel fatto 

che, soprattutto nell’applicazione al caso dei materiali metallici, trascurare 

l’influenza della temperatura nell’evoluzione del processo dinamico non consente 

di interpretare correttamente tutti gli aspetti che concorrono nella realtà a definire 

la risposta meccanica del materiale. 

Ma, ciò nonostante, quello di Cowper-Symonds risulta il modello maggiormente 

applicato per la migliore corrispondenza tra dati analitici e risultati sperimentali. 

72



3.2 Lo strain-rate nei legami costitutivi del software LS- 

Dyna 

Il programma LS-Dyna si propone come software applicativo principe nel 

panorama dei codici di calcolo strutturale per le potenzialità offerte e per le 

innumerevoli opzioni di modellazione disponibili [25]. 

Tra queste, quella di maggior interesse per le analisi dinamiche, la possibilità di 

modellare le azioni e la risposta meccanica degli elementi in funzione diretta o 

indiretta del tempo. 

Più specificamente, di grande importanza risulta, per i nostri scopi, la possibilità 

di poter descrivere il comportamento costitutivo di un materiale in funzione della 

velocità di deformazione. Questa opzione è articolata dal programma 

fondamentalmente in tre diversi modi: 

1. attraverso l’assegnazione di fattori amplificativi derivanti da diverse teorie 

tipo quella di Cowper-Symonds oppure quella di Johnson & Cook; 

2. mediante l’inserimento della relazione che intercorre tra il DIF e la 

velocità di deformazione; 

3. per mezzo della specificazione della famiglia di curve tensionedeformazione 

parametriche secondo le velocità di deformazione. 

Nel primo, lo strain-rate entra in gioco una volta raggiunta la superficie di 

snervamento modificando l’espressione della tensione mediante un fattore 

amplificativo del tipo 

⎛ ε ⎞ 

1+ ⎜ 

& ⎟ 

⎝ C ⎠ 

dove ε& è la velocità di deformazione; 

C e p sono due costanti caratteristiche del materiale; 

o anche del tipo 

1+ 

C lnε& 

' 

1 

p 

73



dove 

p 

ε 

& ε ' = & 

& ε 

C 

0 

è la velocità di deformazione plastica rapportata alla velocità di 

deformazione iniziale; 

è una costante funzione del materiale. 

Nel secondo modo, invece, nella fase di input dei dati, si definiscono i fattori di 

scala amplificativi della tensione di snervamento in funzione della velocità di 

deformazione cosicché, durante l’analisi, il programma può attingere al valore 

corrispondente allo strain-rate del processo. 

Infine, ulteriore alternativa, è quella di specificare i legami costitutivi del 

materiale a diversi strain-rate così da formare una famiglia di curve 

tridimensionali nello spazio ( σ ε; 

& ε ) 

l’analisi. 

; a cui il programma fa riferimento durante 

Figura 3. 1 - Legame costitutivo plastico in funzione diε& nello spazio( σ , εε& , ) 

Al primo di questi tre modi di concepire il fenomeno, per completezza, possono 

essere talvolta aggiunte delle opzioni all’interno della sezione VP: Formulation 

for rate effects utilizzabili dal programma per meglio interpretare la modellazione 

che si sta effettuando dello strain-rate. Le opzioni attivabili dall’utente sono: 

• scale yield stress; 

• viscoplastic formulation; 

74



dove con la prima la tensione del materiale si ottiene semplicemente 

moltiplicando la tensione statica per il fattore correttivo derivante da una 

qualunque delle teorie di base proposte; con la seconda opzione, invece, la 

tensione dinamica è il risultato della somma di quella statica corrispondente e di 

un’aliquota della tensione di snervamento statica. 

Le due opzioni fanno si che, ipotizzando un materiale elasto-plastico incrudente 

sensibile allo strain-rate, il legame costitutivo dinamico sarebbe 

Viscoplastic Formulation 

Scale Yield Stress 

σr 

σ r 

σy = σy 

σ r 

σy 

σr 

σy 

ε y 

εr 

ε y 

ε r 

Figura 3. 2 - Formulation for rate effect - possibili applicazioni degli effetti dello strain-rate al 

ramo plastico di un legame costitutivo 

Questi tre modi di interpretare la dipendenza dallo strain-rate del materiale con le 

relative opzioni possibili fanno si che l’utente abbia, di volta in volta, a seconda 

del caso particolare che si trova a risolvere, l’opportunità di scegliere l’uno o 

l’altro strumento per meglio modellare il comportamento reale del materiale. 

Quanto di seguito riportato costituisce un’analisi dei legami costitutivi utilizzati 

dal software LS-Dyna tesa all’individuazione del modo con cui lo strain-rate 

viene portato in conto dal programma di calcolo e dei principali parametri che lo 

caratterizzano. 

A partire da quanto riportato nel manuale d’uso del software, l’analisi delle leggi 

costitutive disponibili nel database riguarderà esclusivamente quelli applicabili in 

caso di strain-rate. 

75



3.2.1 Elastic-Plastic with Kinematic Hardening (MAT 003) 

Questo modello è adatto a descrivere il comportamento di travi, piastre e/o 

elementi tozzi di materiale a legame plastico incrudente, sensibile oppure no allo 

velocità di deformazione. Lo strain-rate viene tenuto in conto mediante il modello 

teorico di Cowper and Symonds attraverso l’introduzione di un fattore 

amplificativo della tensione di snervamento del tipo 

⎛ ⎞ 

1+ ⎜ 

ε& ⎟ 

⎝ C ⎠ 


C e p sono due costanti caratteristiche del materiale. 

Al momento dell’inserimento dei dati nelle card del programma è anche possibile 

selezionare l’opzione Viscoplastic Formulation o Scale Yield Stress all’interno 

della sezione VP: Formulation for rate effects così da applicare in modo 

appropriato lo strain-rate alla parte plastica del legame costitutivo. 

1 

p 

3.2.2 Elastic-Plastic with Termal Softening (MAT 011) 

Questo legame si presta alla descrizione di elementi solidi che si deformano con 

strain-rate molto elevati (dell’ordine di 10 5 s -1 ) e la cui tensione di snervamento è 

funzione della temperatura o della pressione: infatti, risulta indispensabile per il 

corretto funzionamento del modello l’inserimento dell’equazione di stato del 

materiale. Gli effetti della velocità di deformazione vengono computati in campo 

plastico mediante un coefficiente 

dove 

ε& 

p 

( ε& T ) 

YT = f 

p, 

è la velocità di deformazione plastica; 

T 

è la temperatura a cui avviene il processo. 

3.2.3 Johnson & Cook Plasticity Model (MAT 015) 

Questo modello è usato per elementi solidi di materiale sensibile alle azioni 

dinamiche ed alla temperatura nel caso particolare in cui l’elevato strain-rate e 

76



l’incremento di temperatura adiabatica, dovuto al riscaldamento prodotto dalla 

deformazione plastica (effetto Joule), ne causano il rammollimento. Gli effetti 

della sensibilità alla velocità di deformazione sulla tensione di snervamento sono 

tenuti in conto mediante un fattore amplificativo del tipo 

1+ 

C lnε& 

' 

dove 

p 

ε 

& ε ' = & 

& ε 

C 

0 

è la velocità di deformazione plastica rapportata alla velocità di 

deformazione iniziale; 

è una costante funzione del materiale. 

Anche in questo caso è possibile nell’inserimento dei dati selezionare l’opzione 

Viscoplastic Formulation o Scale Yield Stress nella sezione VP: Formulation for 

rate effects così da specificare il comportamento plastico più appropriato per il 

materiale da modellare ad elevati strain-rate. 

In aggiunta, per una maggiore precisione della modellazione, possono essere 

utilizzate forme quadratiche del fattore amplificativo del tipo 

( ln & ε ') C ( ln & ) 2 

1+ 

C + ε 

1 2 

' 

oppure forme esponenziali, proposte da vari autori, tra cui quella di Cowper- 

Symond 

⎛ & ε ⎞ 

1+ ⎜ ⎟ 

⎝C 

⎠ 

1 

p 

o, ancora, ( ε& ') c 

3.2.4 Pseudo Tensor Concrete/Geological Model (MAT 016) 

Questo legame ben si presta a descrivere il comportamento di materiali, tipo i 

terreni o il calcestruzzo armato, sottoposti ad azioni dinamiche per i quali, essendo 

i parametri di resistenza funzione della pressione, è necessario introdurre 

l’equazione di stato a cui il programma fa’ riferimento durante l’analisi. 

A seconda del settaggio dei parametri di input del software, si può scegliere di 

utilizzare questo modello in due modi: come semplice relazione tra superficie di 

crisi e pressioni al contorno (adatto principalmente ai terreni) oppure, in maniera 

più elaborata, come legame doppio tra due diversi limiti di snervamento, riferiti a 

77



fasi diverse del materiale, ed il regime tensionale presente, con la possibilità di far 

migrare gli sforzi verso uno dei due (quindi adatto per il calcestruzzo armato). 

Nel primo modo viene adottato il criterio di crisi di Mohr-Coulomb con i limiti di 

Tresca quindi il calcolo viene condotto in termini di coesione ed angolo di attrito 

fino al limite elastico rappresentato dall’invariante 

come mostrato in figura. 

σ1 −σ 3 

2 

Figura 3. 3 - Superficie di crisi di Mohr-Coulomb con limiti di Tresca utilizzati dal MAT 016 

Nel secondo, invece, si hanno due curve che rappresentano la soglia di danno e la 

soglia di rottura, e la crisi del materiale avviene a seconda dello stato di 

sollecitazione (in termini di pressione esterna) passando attraverso una di queste 

superfici. 

78



Figura 3. 4 - Curve di danno e di rottura utilizzate dal modello MAT 016 

È possibile, inoltre, selezionare opzioni aggiuntive riguardanti la modellazione del 

calcestruzzo armato che tengono conto di relazione aggiuntive tra i parametri 

meccanici proprie di questo composito e dell’interazione delle diverse fasi una 

volta specificata la percentuale di rinforzo. Infatti, all’inserimento manuale di tutti 

i parametri caratteristici di questo modello da inserire nella card di input dei dati 

si può prediligere l’assegnazione della sola tensione di rottura del calcestruzzo 

non confinato f c lasciando al programma stesso il compito di derivare tutte le 

costanti da quest’unico valore. 

Per questo modello la dipendenza dallo strain-rate viene espressa in maniera 

diretta attraverso l’assegnazione di curve che esprimono la risposta del materiale 

in funzione della velocità di deformazione e la definizione dell’equazione di stato 

per cui i parametri dipendono direttamente dalla pressione a sua volta legata alla 

deformazione volumetrica. 

È questo il modo più corretto di trattare il fenomeno ma, al tempo stesso, 

costituisce un ulteriore difficoltà perché presuppone la conoscenza del legame che 

intercorre tra tensione e velocità di deformazione e dell’equazione di stato del 

materiale. 

79



3.2.5 Power Law Isotropic Plasticity (MAT 018) 

Questo legame interpreta il comportamento di un materiale elasto-plastico 

incrudente con strain-rate ed usa, per tener in conto di questo fenomeno, il fattore 

amplificativo proposta dalla teoria di Cowper and Symonds 

⎛ ⎞ 

1+ ⎜ 

ε& ⎟ 

⎝ C ⎠ 



1 

p 

3.2.6 Strain-rate Dependent Isostropic Plasticity (MAT 019) 

Questo modello ben interpreta il comportamento di materiali che sono interessati 

dallo strain-rate in ogni loro aspetto. Infatti, nella procedura di input dei dati 

viene richiesta l’immissione delle relazioni che intercorrono tra la tensione di 

plasticizzazione, quella di crisi secondo Von Mises, il modulo di Young ed il 

modulo tangente con la velocità di deformazione. Quindi, è adatto a tutti quei 

materiali con una spiccata sensibilità allo strain-rate delle caratteristiche 

meccaniche come avviene nel caso del calcestruzzo, dell’acciaio e dei componenti 

alla base dell’FRP. L’algoritmo di risoluzione si fonda su un semplice modello 

che, procedendo per step temporali fissati dall’utente, studia le interazioni tra le 

variabili meccaniche funzioni del tempo per mezzo della sensibilità alla velocità 

di deformazione escludendo dall’analisi gli elementi che, in quell’istante, hanno 

raggiunto la tensione di rottura. 


selezionare l’opzione Viscoplastic Formulation all’interno della sezione VP: 

Formulation for rate effects per meglio interpretare gli effetti dello strain-rate 

nella parte di legame costitutivo interessata. 

3.2.7 Piecewise Linear Isotropic Plasticity (MAT 024) 

Questo modello è adatto per materiali elasto-plastici con legame tensionideformazioni 

qualsiasi e dipendenza dallo strain-rate arbitraria. Il comportamento 

80



elasto-plastico viene tenuto in conto adottando una curva di risposta meccanica 

bilineare definita attraverso il modulo elastico ed il modulo tangente; per lo 

strain-rate, invece, si può scegliere una delle tre opzioni contemplate dal 

software. 

Se si utilizza il modello di Cowper-Symonds la tensione di snervamento viene 

amplificata mediante il coefficiente 

⎛ ⎞ 

1+ ⎜ 

ε& ⎟ 

⎝ C ⎠ 



Se viene selezionata l’opzione scale yield stress, si ha la possibilità di inserire 

nelle curve di carico un fattore di scala costante lungo tutto il tratto plastico che 

amplifica la resistenza del materiale dopo lo snervamento. 

Ulteriore possibilità è quella di immettere un’intera famiglia di legami plastici in 

funzione della velocità di deformazione come mostrato in figura, cosicché il 

programma adotti la legge appropriata per qualsiasi valore di strain-rate. 

1 

p 

Figura 3. 5 - legame costitutivo plastico tridimensionale secondo ε& 

Infine, è possibile scegliere l’opzione Viscoplastic Formulation così da 

interpretare in altro modo gli effetti che lo strain-rate ha sulla parte di legame 

costitutivo che segue lo snervamento. 

81



3.2.8 Kinematic/Isotropic Elastic-Plastic Green-Naghdi Rate (MAT 035) 

Questo modello è applicabile per elementi in muratura (brick elements) a 

comportamento elasto-plastico con dipendenza dalla velocità di deformazione per 

la quale si adotta la formulazione di Cowper-Symonds per mezzo del fattore 

⎛ ⎞ 

1+ ⎜ 

ε& ⎟ 

⎝ C ⎠ 



1 

p 

3.2.9 User Defined Material Model (MAT 041-050) 

All’interno del database del programma esiste una sezione composta da 10 

modelli dedicata alla personalizzazione delle caratteristiche dei materiali da 

modellare mediante la definizione di legami costitutivi con proprietà arbitrarie da 

parte dell’utente. 

3.2.10 Strain-rate Sensitive Power-law Plasticity (MAT 064) 

Questo legame è adatto per materiali elasto-plastici incrudenti sensibili allo strainrate; 

la dipendenza dalla velocità di deformazione viene tenuta in conto nel 

modello mediante una struttura del tipo (nel caso monodimensionale): 

σ = k ⋅ε 

⋅ & ε 

dove σ è la tensione del materiale; 

k è la costante elastica; 

ε è la deformazione plastica; 

ε& è la velocità di deformazione plastica normalizzata. 


selezionare l’opzione Viscoplastic Formulation all’interno della sezione VP: 

Formulation for rate effects. 

82



3.2.11 Modified Zerilli and Armstrong (MAT 065) 

Questo modello è applicabile nel caso di materiali sensibili alla velocità di 

deformazione ed ai gradienti termici. La dipendenza dallo strain-rate è tenuta in 

conto mediante la definizione nei dati di input di una velocità di normalizzazione 

ε& 

0 

e, nella formula della tensione del materiale adottata dal programma, attraverso 

il coefficiente amplificativo 

dove T è la temperatura; 

C 3 e C 4 

* ε 

& ε = & 

& ε 

0 

T 

e 

( − + ln( ε& ∗ )) 

C 3 C 4 

sono costanti del materiale; 

è la velocità di deformazione normalizzata. 

Anche per questo modello è possibile selezionare l’opzione Viscoplastic 

Formulation all’interno della sezione VP: Formulation for rate effects. 

3.2.12 Concrete Damage Model (MAT 072) 

Il Concrete damage model è un modello di legame costitutivo elaborato dal Prof. 

J. Malvar e si presenta come un’evoluzione del Pseudo tensor 

concrete/geological model (MAT 016). 

Questo legame si riferisce al calcestruzzo armato con barre di acciaio sottoposto a 

carichi impulsivi e permette di studiare il fenomeno dello strain-rate in maniera 

disaccoppiata per i due materiali di base. Infatti, nella fase di inserimento dei dati, 

per quanto riguarda la definizione dei parametri che tengono conto della 

sensibilità dei materiali alla velocità di deformazione, si deve specificare la 

relazione riferita al materiale principale (il calcestruzzo) ed al materiale di 

rinforzo (l’acciaio). Anche in questo caso, come per il MAT 016, è necessario 

introdurre l’equazione di stato, del tipo EOS 8 o 9 riportate nel manuale del 

programma, che fornisce il valore corrente della pressione come funzione della 

deformazione volumetrica. 

83



3.2.13 Plastic with Damage (MAT 081) 

Questo modello si applica per materiali a comportamento elasto-visco-plastico 

con un qualsiasi legame tensione-deformazione ed un’arbitraria dipendenza dalla 

velocità di deformazione. 

Lo strain-rate viene applicato in diversi modi: 

• attraverso il fattore amplificativo della formulazione di Cowper-Symonds 

⎛ ⎞ 

1+ ⎜ 

ε& ⎟ 

⎝ C ⎠ 


C e p sono due costanti caratteristiche del materiale; 

• oppure attraverso la definizione delle curve di carico in funzione del 

gradiente di deformazione così da amplificare la superficie di crisi secondo 

le due opzioni: scale yield stress oppure Viscoplastic Formilation. 

1 

p 

3.2.14 Mechanical Threshold Stress Model (MAT 088) 

Questo modello è basato sul concetto delle dislocazioni meccaniche riguardanti i 

materiali duttili quindi i metalli e si fonda su un teoria di stato interno chiamata 

MTS - Mechanical Threshold stress. La dipendenza dallo strain-rate non è 

direttamente esplicitata, ma è inglobata nel modello di base dal momento che le 

tensioni interne in questa teoria sono funzione diretta della velocità di 

deformazione oltre che della temperatura e delle caratteristiche meccaniche. 

84

Cap. IV – L’INFLUENZA DELLA VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE 

NELLE NORMATIVE TECNICHE 

Capitolo IV 

L’influenza della velocità di deformazione nelle 

normative tecniche 

Le attività dell’ingegneria strutturale sono legate inscindibilmente ai modelli che 

la teoria tecnica, nei vari secoli di evoluzione, ha creato per interpretare ciò che 

effettivamente accade nell’attività pratica. Semplici codificazioni della realtà o 

elaborate interpretazioni dei fenomeni, i modelli hanno accompagnato nel passato, 

e continuano tuttora a farlo, la pratica progettuale delle discipline tecniche 

confermati e rinnovati dalle evidenze sperimentali e dai risultati pratici. Ma la 

validazione dei modelli teorici, in quanto strumenti di base per la guida della 

progettazione, passa per un ulteriore indispensabile stadio: la contemplazione 

degli stessi da parte dei testi normativi. Questi ultimi, infatti, costituendo 

l’elemento cardine per la convivenza civile in ogni paese evoluto, si presentano 

come invalicabili limiti nell’identificare tutto quanto è permesso operare sul 

territorio. Per questo motivo lo stato dell’arte fin ora compiuto per quanto 

riguarda la sensibilità alla velocità di deformazione dei materiali di interesse 

dell’ingegneria civile non poteva trascurare il modo in cui questo fenomeno viene 

contemplato nei codici normativi. Nel seguito, quindi sarà illustrato come la 

normativa italiana per le costruzioni, il codice europeo e le disposizioni 

dell’agenzia americana per le armi trattano lo strain-rate nell’intento di 

completare il quadro descrittivo dell’argomento. 

85



4.1 Lo strain-rate nelle Norme Tecniche per le Costruzioni 

Le Norme Tecniche per le Costruzioni [26] costituisce l’attuale codice normativo 

di riferimento per l’ingegneria strutturale in cui sono racchiuse le prescrizioni 

tecniche da seguire per la progettazione ed esecuzione di una struttura. In questo 

senso, si presenta come strumento a disposizione dei tecnici nello svolgimento 

delle loro attività con le importanti caratteristiche di praticità e facile 

consultazione. Meno esauriente invece, si presenta sul fronte della sensibilità alla 

velocità di deformazione che viene appena accennata in sole due occasioni: nel 

paragrafo 2.3 riguardante i modelli utilizzabili nello studio delle strutture e nel 

capitolo 4 quando vengono trattate le azioni accidentali derivanti da esplosioni 

(4.2) ed urti (4.3). 

Per quanto riguarda il primo dei tre il riferimento alla velocità di deformazione è 

limitato alla sola considerazione: … I procedimenti dell’ingegneria strutturale 

introducono ipotesi sulla relazione tra tensioni e deformazioni, ovvero tra forze (e 

momenti) e deformazioni (o velocità di deformazione). … Non è presente alcun 

richiamo agli effetti dello strain-rate sui materiali né al modo in cui questi effetti 

possano essere portati in conto nell’analisi strutturale. 

Nei paragrafi 4.2 e 4.3, cioè in quelli relativi alle esplosioni ed agli urti 

l’attenzione è più concentrata sulla classificazione delle azioni mediante 

l’articolazione in 3 categorie in funzione delle conseguenze negative (limitate, 

medie e gravi) delle azioni accidentali. Nel caso che il danno atteso sia di media o 

grave entità, la normativa prescrive di fare analisi dinamiche o studi in campo 

non-lineare ma rimane molto vaga sul modo in cui condurre questo tipo di 

progettazione. Nella normativa, infatti, si può leggere di dover … adottare metodi 

di calcolo di riconosciuta affidabilità … senza però alcun riferimento esplicito ad 

approcci concernenti lo strain-rate. Solo nel sottoparagrafo 4.3.3 relativo alla 

rappresentazione delle azioni derivanti da urti tra la struttura e corpi dotati di 

massa e velocità (veicoli, treni, imbarcazioni ed aeromobili) viene direttamente 

chiamata in causa la rate-sensitivity: … devono essere presi in considerazione, se 

opportuno, gli effetti della velocità di deformazione. … 

86



Con maggiore dettaglio sono invece illustrate le azioni che agli eventi accidentali 

causano sulla struttura con particolare interesse, nei confronti delle esplosioni, 

verso gli effetti delle esplosioni interne di gas naturale e, per quanto riguarda gli 

urti, verso le collisioni con mezzi i di trasporto. 

Nel caso delle esplosioni, il primo punto su cui il testo concentra l’attenzione è il 

fatto che, nell’ottica della gerarchia delle resistenze, la normativa prevede che 

agli elementi “chiave” giunga una sollecitazione depurata dell’energia assorbita da 

eventuali pannelli di sfogo (quali possono essere le tamponature). Quindi, le 

formule della pressione di progetto p d fanno tutte riferimento alla pressione p v in 

corrispondenza della quale i pannelli di sfogo cedono con un limite superiore 

fissato in 20 kN/m 2 e per volumi fino a 1000 m 3 . 

⎧ p 0.04 ⎫ 

v 

pd = max⎨3 

+ pv;3 

+ + ≤ 20 

2 ⎬ 

(1) 

⎩ 2 ( Av 

V ) ⎭ 

dove p v ha il significato anzidetto; 

A v è l’area delle componenti di sfogo in m 2 ; 

V è il volume dell’ambiente in m 3 . 

Per gli urti, invece, la normativa assume un carattere molto prescrittivi elencando, 

per ogni mezzo di trasporto considerato (veicoli, treni, imbarcazioni ed 

aeromobili) nei vari casi ipotizzabili (urto sopra o sotto un ponte, direzione 

parallela o ortogonale al senso di marcia, etc.), le azioni di progetto A d da prendere 

in considerazione senza trascurare area di carico (estensione e posizione) e angolo 

di incidenza della sollecitazione. 

Da evidenziare è il fatto che, nel caso di urti tra strutture ed aeromobili, la 

normativa si limita a considerare il solo caso di elicotteri in situazione di 

atterraggio d’emergenza qualora sulla copertura sia prevista una piattaforma. In 

questo caso l’azione di progetto A d risulta pari a 

A d 

= A m (2) 

dove A è pari a 100 kN·ton -0.5 ; 

m è la massa in ton dell’aeromobile. 

87



Purtroppo la normativa italiana si mostra poco sensibile agli effetti dello strainrate 

nell’ambito della progettazione strutturale, cosa sicuramente deprecabile se si 

pensa che si tratta di un testo dalla genesi molto concitata e dall’elaborazione 

recente. Lascia però la possibilità, in casi straordinari di edifici di particolare 

rilevanza o di esplicita richiesta da parte del committente, la possibilità di 

ricorrere a scenari progettuali più approfonditi e modelli di calcolo più elaborati 

con implicito rimando alle normative europee. 

4.2 Lo strain-rate nel CEB – FIP Model Code 1990 

Il CEB (Comitè Euro-International du Béton) assieme al FIP (Fédération 

Internationale de la Précontrainte) sono stati riuniti nel 1998 nell’unica 

organizzazione denominata International Federation for Structural Concrete 

anche detta FIB (Fédération Internationale du Béton) che si dedica alla 

coordinazione internazionale di tutto quanto concerne lo studio e la progettazione 

di opere strutturali in calcestruzzo. Prodotto finale dei lavori organizzati da questo 

comitato sono i “bollettini d’informazione”, rapporti di sintesi in cui vengono 

raccolti ed argomentati i risultati degli studi effettuati da una commissione su un 

particolare tema di interesse comune. In questo ambito, sarà fatto riferimento al 

bollettino d’informazione n° 187 dell’Agosto 1988 [27] che tratta il 

comportamento delle strutture in calcestruzzo sottoposte ad impatti e ad azioni 

impulsive proponendo le linee guida per un corretto approccio al problema ed una 

progettazione includente gli aspetti dinamici. 

Questo testo, dopo aver formulato le definizioni dei principali elementi trattati, 

comincia subito col discorrere delle proprietà dei materiali alla base del c.a. 

(calcestruzzo, acciaio da armatura lenta e da precompressione) in funzione della 

velocità di deformazione (strain-rate) o di applicazione degli sforzi (stress-rate). 

Il bollettino presenta poi i principi generali per la progettazione dinamica 

sottolineando, nei vari casi di sollecitazione presi in considerazione, gli aspetti 

peculiari da tenere in considerazione per un corretto studio del problema. Infine, 

al termine del documento vengono proposti esempi di calcolo dinamico applicati a 

88



possibili situazioni di impatto, esplosione e penetrazione di elementi strutturali per 

mezzo di corpi con diverse rigidezze o ordigni di varia natura. 

Nel seguito sono riportate le formule proposte dal bollettino CEB per il calcolo 

delle caratteristiche meccaniche del calcestruzzo e dell’acciaio e le linee guida per 

una corretta schematizzazione di un evento dinamico impulsivo. 

Per il calcestruzzo, per sollecitazioni di compressione fino a velocità dell’ordine 

3·10 2 s -1 , il testo propone per quanto riguarda il calcolo della resistenza ultima 

dinamica rapportata a quella statica del materiale la seguente formula in termini di 

strain-rate: 

f 

f 

d 

f 

f 

s 

d 

s 

1.026α 

⎛ & ε ⎞ 

= ⎜ 

⎟ per & ε ≤ 30s 

⎝ & ε 

0 ⎠ 

γ 

& ε 

& ε 

= ⋅ 3 

> 

0 

per & ε 30s 

−1 

−1 

(1) 

(2) 

dove f d è la resistenza dinamica; 

α = 

f s 

ε& 

è la resistenza statica; 

è la velocità di deformazione; 

ε& 

0 

è pari a 30·10 -6 s -1 ; 

1 

9 f 

+ 

f 

5 

s 

0 

e logγ 

= 6.156α 

− 2 

sono due coefficienti funzione della resistenza del calcestruzzo; 

dove f 0 è posto pari a 10 MPa. 

Per l’incremento di rigidezza, valido indipendentemente per calcestruzzi 

appartenenti a qualsiasi classe di resistenza: 

0.026 

E ⎛ & ⎞ 

d 

ε 

= ⎜ 

⎟ 

E ⎝ & 

s ε 

0 ⎠ 

dove E d è il modulo elastico dinamico; 

è la rigidezza statica; 

E s 

ε& e ε& 

0 

hanno lo stesso significato prima esposto. 

(3) 

89



Per l’incremento della deformazione ultima, applicabile sia in compressione che 

in trazione ed, anche in questo caso, valido per qualsiasi classe di resistenza: 

0.020 

u 

ε ⎛ & ⎞ 

d 

ε 

= ⎜ 

⎟ (4) 

u 

ε ⎝ & 

s ε 

0 ⎠ 

dove 

u 

ε 

d 

u 

ε 

s 

è la deformazione ultima per sollecitazioni dinamiche; 

è la deformazione ultima in condizioni statiche; 

ε& e ε& 

0 

hanno lo stesso significato prima esposto. 

Per sollecitazioni di trazioni, invece, il bollettino suggerisce per le caratteristiche 

meccaniche rispettivamente di resistenza ultima, rigidezza e deformazione a 

rottura in termini di strain-rate: 

f 

f 

d 

f 

f 

s 

d 

s 

1.016δ 

⎛ & ε ⎞ 

= ⎜ 

⎟ per & ε ≤ 30s 

⎝ & ε 

0 ⎠ 

η 

& ε 

& ε 

= ⋅ 3 

> 

0 

per & ε 30s 

−1 

−1 

(5) 

(6) 

dove f d , f s , ε& e ε& 

0 

hanno il significato visto prima; 

δ = 

1 

6 f 

cs 

10 + 

f0 

e logη 

= 7.11δ 

− 2.33 

sono due coefficienti funzione della resistenza del calcestruzzo; 

dove f cs è la resistenza statica a compressione del calcestruzzo; 

f 0 è posto pari a 10 MPa. 

Per l’incremento di rigidezza, valido indipendentemente per tutte le classi di 

resistenza del calcestruzzo: 

dove E d , E s , ε& e ε& 

0 

E 

E 

d 

s 

⎛ & ε ⎞ 

= ⎜ 

⎟ 

⎝ & ε 

0 ⎠ 

0.016 

(7) 

hanno il significato visto prima. 

In aggiunta viene fornita dal bollettino anche una relazione che lega la resistenza a 

trazione con quella a compressione in campo dinamico: 

f 

tm 

3 2 

0.20 

⋅ fcm 

= (8) 

90



Nel passare agli acciai da armatura lenta e da precompressione, il bollettino n°187 

concentra l’attenzione sulla sola risposta dinamica in trazione di un’ampia gamma 

di acciai formati a caldo, a freddo o di alta qualità (da precompressione) e 

introduce due modelli teorici che interpolano in maniera soddisfacente i dati 

sperimentali. I risultati in termini di tensioni e deformazione di snervamento, 

resistenza ultima, deformazione plastica uniforme e deformazione a rottura (sulla 

base di 5 e 10 diametri) vengono, quindi, proposti scegliendo una delle due 

formulazioni sperimentali (in particolare secondo il modello di Johnson and 

Cook) che interpreta meglio i dati raccolti dai test condotti su questo tipo di 

materiale. Si ottengono così, per un tipico acciaio da carpenteria laminato a caldo 

le seguenti formulazioni: 

f 

f 

yd 

ys 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

⎜ 

6.0 & 

⎟ 

ε 

= 1+ 

ln 

⎜ 

⎟ 

⎝ f ⎠ ⎝ & 

ys 

ε 

0 ⎠ 

tensione di snervamento (9) 

f 

f 

d 

f 

f 

s 

ud 

us 

⎛ 7.0 ⎞ ⎛ & ε ⎞ 

= 1+ 

⎜ 

⎟ln 

⎜ 

⎟ 

⎝ f ⎠ ⎝ & 

s 

ε 

0 ⎠ 

⎛1.5 

⎞ ⎛ & ε ⎞ 

= 1+ 

⎜ 

⎟ln 

⎜ 

⎟ 

⎝ f ⎠ ⎝ & 

us 

ε 

0 ⎠ 

tensione massima (10) 

tensione di rottura (11) 

p 

ε ⎛ 0.3 ⎞ ⎛ & ⎞ 

d 

ε 

= 1+ 

⎜ 

⎟ln 

⎜ 

⎟ massima deformazione plastica (12) 

p 

p 

ε ⎝ ε ⎠ ⎝ & 

s 

s 

ε 

0 ⎠ 

5φ 

ε ⎛ 0.2 ⎞ ⎛ & ⎞ 

ud 

ε 

= 1+ 

⎜ 

⎟ln 

⎜ 

⎟ deformazione ultima calcolata su 5 diametri (13) 

5φ 

5φ 

ε ⎝ ε ⎠ ⎝ & 

us 

us 

ε 

0 ⎠ 

10φ 

ε ⎛ 0.1 ⎞ ⎛ & ⎞ 

ud 

ε 

= 1+ 

⎜ 

⎟ln 

⎜ 

⎟ deformazione ultima calcolata su 10 diametri (14) 

10φ 

10φ 

ε ⎝ ε ⎠ ⎝ & 

us 

us 

ε 

0 ⎠ 

dove f yd è la tensione di snervamento dinamica; 

f ys è la tensione di snervamento statica; 


ε& 

0 

è pari a 5·10 -5 s -1 ; 

f d 

f s 

f ud 

è la massima tensione dinamica; 

è la massima tensione statica; 

è la tensione ultima dinamica; 

91



f us 

p 

ε 

d 

p 

ε 

s 

φ 

ε 5 ud 

è la tensione ultima statica; 

è la massima deformazione plastica dinamica; 

è la massima deformazione plastica statica; 

è la deformazione ultima dinamica calcolata su 5 diametri; 

φ 

ε 5 us 

è la deformazione ultima statica calcolata su 5 diametri; 

ε 10φ 

ud 

è la deformazione ultima dinamica calcolata su 10 diametri; 

ε 10φ 

us 

è la deformazione ultima statica calcolata su 10 diametri. 

Da evidenziare risulta, infine, il fatto che per il modulo elastico e per tutte le 

caratteristiche di resistenza degli acciai da precompressione viene puntualizzata 

l’insensibilità allo strain-rate considerando trascurabili le lievi variazioni che in 

campo dinamico si riescono ad apprezzare. Vengono fornite delle relazioni per gli 

acciai armonici solo per la deformazione plastica uniforme e per gli allungamenti 

a rottura su 5 e 10 diametri molto simili a quelle degli acciai da armatura lenta. 

Per quanto riguarda la progettazione, invece, il testo introduce in primis le 

possibili cause che provocano nelle strutture alte velocità di deformazione 

distinguendo tra esplosioni, urti ed impatti (hard e soft impact a seconda che il 

corpo impattante sia rispettivamente più o meno rigido dell’elemento impattato) e 

fornisce le relazioni analitiche per la prevenzione dei fenomeni di perforazione e 

penetrazione. Infine, sono proposti numerosi esempi di calcolo riguardanti 

elementi strutturali di diversa natura e composizioni sottoposti ad azioni tipo 

esplosioni, impatti, urti e carichi impulsivi. 

4.3 Lo strain-rate nel TM 5-1300 

Il TM 5-1300 [28] è un manuale tecnico redatto dal Departments of the Army, the 

Navy and the Air Force degli Stati Uniti (Dipartimento delle Armi, della Marina e 

dell’Aeronautica) che tratta la protezione delle strutture in calcestruzzo armato ed 

in carpenteria metallica nei confronti di esplosioni accidentali. Si tratta di un 

articolato compendio in cui vengono minuziosamente trattati gli effetti provocati 

92



da esplosioni accidentali sia dal punto di vista analitico, per quanto riguarda la 

schematizzazione degli eventi impulsivi mediante analisi dinamiche, che dal 

punto di vista pratico, con la definizione di linee guida per la progettazione e lo 

svolgimento di numerosi casi esemplificativi. 

Dopo una prima parte in cui sono illustrate le strutture di interesse del manuale, i 

tipi di eventi accidentali trattati e le basi principali dell’analisi dinamica delle 

strutture, il TM 5-1300 concentra l’attenzione sui due materiali più largamente 

usati nell’ingegneria civile statunitense: il calcestruzzo armato e l’acciaio da 

carpenteria metallica, con maggiore interesse rivolta verso quest’ultimo per la sua 

notoria diffusione. 

L’impostazione globale, però, è molto votata all’applicazione pratica quindi sono 

poco i riferimenti agli effetti che lo strain-rate in senso stretto provoca nei 

materiali mentre molto più ampia risulta la trattazione della risposta meccanica ad 

eventi accidentali quali le esplosioni. In quest’ottica, il manuale quindi propone di 

utilizzare coefficienti di incremento dinamico alla stregua dei coefficienti parziali 

di sicurezza in funzione dell’evento accidentale, a seconda cioè che l’esplosione 

sia lontana (far) o interna (close-in), e della sollecitazione caratteristica 

dell’elemento. 

Si ottengono in questo modo le seguenti tabelle, per il calcestruzzo armato 

Far design range Close-in design range 

Type 

Reinforcing bars Concrete Reinforcing bars Concrete 

of stress 

f yd /f ys f ud /f us f’ dc /f’ c f yd /f ys f ud /f us f’ dc /f’ c 

Bending 1.17 1.05 1.19 1.23 1.05 1.25 

Diagonal Tension 1.00 - 1.00 1.10 1.00 1.00 

Direct shear 1.10 1.00 1.10 1.10 1.00 1.10 

Bond 1.17 1.05 1.00 1.23 1.05 1.00 

Compression 1.10 - 1.12 1.13 - 1.16 

Tabella 4. 1 - Valori del DIF per il calcestruzzo in compressione e per le barre d’acciaio in 

funzione del tipo di esplosione e della sollecitazione agente 

e per l’acciaio da carpenteria metallica, per la tensione di snervamento 

93



Material 

Bending 

Tension or Compression 

Low pressure High pressure Low pressure High pressure 

A 36 1.29 1.36 1.19 1.24 

A 588 1.19* 1.24* 1.12* 1.15* 

A 514 1.09 1.12 1.05 1.07 

Tabella 4. 2 - Valori del DIF per la tensione di snervamento dell’acciaio in funzione della 

sollecitazione e del tipo di acciaio 

e per la tensione ultima 

Material c 

A 36 1.10 

A 588 1.05* 

A 514 1.00 

Tabella 4. 3 - Valori del DIF per la tensione di rottura dell’acciaio per diverse tipologie di barre 

dove f’ dc è la tensione ultima dinamica di compressione del calcestruzzo; 

f’ c è la tensione ultima statica di compressione del calcestruzzo; 

f yd 

f ys 

f ud 

f us 

c 

è la tensione di snervamento dinamica dell’acciaio; 

è la tensione di snervamento statica dell’acciaio; 

è la tensione ultima dinamica dell’acciaio; 

è la tensione ultima statica dell’acciaio; 

è il coefficiente di incremento dinamico (DIF) per la tensione ultima 

dell’acciaio; 

* indica valori stimati per interpolazione. 

Ulteriori indicazioni progettuali vengono poi fornite in una tabella per il 

calcestruzzo armato in merito alla composizione delle tensioni dei due materiali di 

base da utilizzare in fase di calcolo nelle analisi dinamiche in funzione della 

sollecitazione agente e della capacità duttile della sezione 

94



Type of stress 

Bending 

Diagonal tension 

(stirrups) 

Diagonal tension 

(lacing) 

Direct shear 

Maximum support 

rotation θ m (in gradi °) 

0 < θ m ≤ 2 

2 < θ m ≤ 5 

5 < θ m ≤ 10 

0 < θ m ≤ 2 

2 < θ m ≤ 5 

5 < θ m ≤ 10 

0 < θ m ≤ 2 

2 < θ m ≤ 5 

5 < θ m ≤ 10 

0 < θ m ≤ 2 

2 < θ m ≤ 5 

5 < θ m ≤ 10 

Dynamic design stress 

Reinforcement f ds Concrete f dc 

f yd 

f’ dc 

f yd +( f ud - f yd )/4 (2) 

(f yd+ f ud )/2 (2) 

f yd 

f’ dc 

f yd 

f’ dc 

f yd 

f’ dc 

f yd 

f’ dc 

f yd +( f ud - f yd )/4 

(f yd+ f ud )/2 

f yd 

f’ dc 

f’ dc 

f’ dc 

f yd +( f ud - f yd )/4 (3) 

(f yd+ f ud )/2 (3) 

Compression (4) f yd f’ dc 

Tabella 4. 4 - Tensioni di calcolo per analisi dinamiche in funzione dello stato di sollecitazione 

dove f’ dc è la tensione ultima dinamica di compressione del calcestruzzo; 

f yd 

f ud 

θ m 

è la tensione di snervamento dinamica dell’acciaio; 

è la tensione ultima dinamica dell’acciaio; 

è la massima rotazione supportata dalla sezione; 

(2) rottura del calcestruzzo quindi contributo nullo; 

(3) il contributo del calcestruzzo viene trascurato affidando la capacità 

portante alla sola armatura di rinforzo; 

(4) indipendente dalla capacità rotazionale. 

Per quanto riguarda le tensioni diagonali si può notare come il manuale tratta 

diversamente i casi in cui all’interno dell’elemento sia o meno inserita apposita 

armatura a taglio. Infatti, particolare attenzione viene posta sull’armatura a taglio 

95



per l’importanza che questo tipo di rinforzo riveste in condizioni dinamiche e 

nella modalità di rottura fragile o duttile. 

Per l’acciaio da carpenteria metallica, invece, importanti riferimenti vengono 

indirizzati alle diverse classi di duttilità del materiale ed alle modalità di rottura 

secondarie, cioè quelle dovute all’instabilità dell’elemento o al meccanismo 

fragile localizzato. Nel caso della duttilità, nel rispetto della gerarchia delle 

resistenze, il manuale suggerisce di progettare in base alla resistenza 

dell’elemento per classe di duttilità bassa (μ≤10) o in funzione della capacità 

plastica nell’altro caso (μ>10). Per le modalità di rottura secondarie, invece, il 

primo dei due viene ulteriormente scisso in due sottocasi distinguendo il 

meccanismo di instabilità globale della struttura innescabile a seguito di carichi 

simmetrici (ad es. esplosioni interne) rispetto al fenomeno di instabilità di un 

elemento della struttura provocato da carichi disposti non simmetricamente. 

Alla fine del TM 5-1300 vengono riportati esempi progettuali riguardanti intere 

strutture o singoli elementi, con capacità resistenti e deformative che li rendono 

atti a sopportare gli effetti delle esplosioni, senza trascurare pratiche soluzioni 

progettuali e dettagli costruttivi. 

96

Cap. V – INFLUENZA DELLA VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE SUL 

LEGAME M-χ PER SEZIONI IN CALCESTRUZZO ARMATO 

Capitolo V 

Influenza della velocità di deformazione sul legame M - χ 

per sezioni in calcestruzzo armato 

La risposta meccanica di una struttura sottoposta a carichi statici acquista 

fondamentale importanza quando ad essa si collega una certa probabilità di perdita 

di vite umane. Così, allora, grande importanza comincia ad essere rivolta alle 

riserve di energia a cui la struttura può attingere nell’eventualità che, raggiunto il 

limite elastico, essa debba continuare a deformarsi per dissipare gli effetti delle 

sollecitazioni agenti. 

In quest’ottica, quindi, ci si è cominciati a concentrare sulla duttilità di una 

struttura a tutti i livelli in cui questa si manifesta: 

• duttilità dei materiali, preferendo rotture lato acciaio anziché per 

schiacciamento del calcestruzzo; 

• duttilità di sezione, optando per collassi con grandi escursioni in termini di 

curvatura; 

• duttilità di elemento, prediligendo meccanismi di rottura per flessione e 

non per taglio; 

• duttilità di struttura, privilegiando una certa distribuzione delle cerniere 

plastiche che possa innescare labilità agli elementi trave scongiurando la 

configurazione di piano soffice; 

97



Ancora più importante, però, diventa la possibilità di poter disporre di riserve di 

duttilità nel caso in cui gli eventi sollecitanti non siano più di natura statica ma 

dinamica. Questo perché, proprio a causa della rarità dell’evento dinamico, la 

bassissima probabilità di accadimento mista all’indiscutibile entità della 

sollecitazione fa sì che la struttura sia sottoposta ad eccezionali richieste di 

resistenza e rende accettabile l’attingimento di deformazioni in campo plastico. 

Quando viene raggiunto e superato il limite elastico, la struttura comincia a 

dissipare le riserve di duttilità disponibili ai vari livelli, ma tra tutti quelli appena 

illustrati rivestono grande importanza i primi due perché sono indipendenti dai 

criteri di progettazione di una struttura. Infatti, se per garantire la duttilità di 

struttura basta rispettare la gerarchia delle resistenze tra colonna e trave e per 

quella dell’elemento prediligere una rottura per flessione anziché per taglio, la 

duttilità dei materiali e della sezione sono intrinseci una volta scelti appunto i 

materiali (e la percentuale di armatura) e la geometria della sezione trasversale. 

Di seguito, invece, sarà trattata in maniera approfondita la duttilità di sezione 

mediante l‘analisi del legame M-χ in condizioni statiche e dinamiche: nel primo 

caso saranno evidenziati gli elementi caratterizzanti di questa relazione 

concentrando l’attenzione sull’evoluzione della risposta meccanica; nel secondo, 

invece, saranno introdotte le influenze della sensibilità alla velocità di 

deformazione per ricostruire un legame M-χ dinamico funzione dello strain-rate 

del processo. 

98



5.1 Il legame M-χ in condizioni quasi-statiche 

La curva caratteristica di una sezione generica nel piano χ-M descrive la relazione 

che intercorre tra la capacità rotazionale e la resistenza flessionale della stessa. Per 

costruire questa curva a partire da una sezione qualsiasi si utilizza il cosiddetto 

metodo a fibre che si fonda sulle ipotesi di: 

• conservazione delle sezioni piane; 

• perfetta aderenza tra i materiali costituenti la sezione; 

• legame costitutivo del calcestruzzo di forma parabolo-rettangolo; 

• legame costitutivo dell’acciaio elasto-plastico ideale senza incrudimento; 

• calcestruzzo non reagente a sollecitazioni di trazione. 

Per quanto riguarda l’ultima delle ipotesi appena formulate, per i nostri scopi sarà 

utile rimuoverla perché, anche se in condizioni quasi-statiche il contributo del 

calcestruzzo in trazione è trascurabile, in condizioni dinamiche gioca un ruolo 

fondamentale per i considerevoli valori di resistenza e rigidezza raggiunti 

specialmente nella definizione dello stato di incipiente fessurazione (χ cr -M cr ). 

Sotto queste ipotesi, il metodo a fibre consiste nel discretizzare la sezione 

trasversale in un numero più o meno folto di strisce (appunto le fibre) e, per ogni 

valore di curvatura χ i , assegnare una posizione dell’asse neutro “di tentativo” e 

ricercare l’equilibrio (1) per integrazione delle tensioni agenti nella sezione 

assegnando, ai materiali costituenti le strisce, i valori corrispondenti, nel legame 

costitutivo, al livello deformativo raggiunto. 

Figura 5. 1 - Schema applicativo del metodo a fibre per sezione generica 

99



Una volta raggiunto l’equilibrio, con la fissata posizione dell’asse neutro, si 

calcola (2) il momento resistente M i della sezione identificando così il punto nel 

piano χ-M. 

0 

h 

∑ 

( ) ( ) ( ) 

N = ∫ σc ⎡⎣εc y ⎤⎦b y dy+ σs ⎡⎣εs y ⎤⎦As 

⇒ asse neutro (1) 

( ) ( )( ) ( ) ( ) 

h 

∫ σ 

0 

c 

⎡⎣εc ⎤⎦ n−n σs ⎡⎣εs ⎤⎦ 

s n−n 

(2) 

M = y b y y− y dy+ y A y− 

y 

∑ 

Nella costruzione e nella consultazione di un diagramma M-χ è interessante 

conoscere alcuni punti singolari e riconoscere diversi aspetti sostanziali del 

comportamento in flessione della sezione. 

Il legame M-χ si costruisce su tre punti fondamentali coincidenti con la 

fessurazione in zona tesa del calcestruzzo M cr , lo snervamento delle armature di 

acciaio in trazione M y ed la condizione ultima corrispondente alla rottura di 

entrambi i materiali M u . 

30 

25 

20 

EJ’ 

M y 

EJ’’ 

M u 

15 

10 

M cr 

5 

0 

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 

Figura 5. 2 - Punti fondamentali della risposta della sezione nel piano χ-M 

Nel passaggio da M cr a M y si può notare anche dalla figura precedente un cambio 

di rigidezza flessionale causato dalla differenza delle inerzie della sezione 

interamente reagente e fessurata, cambio di pendenza che nel nostro caso risulta 

molto marcato e, quindi, facilmente individuabile per aver rimosso l’ipotesi sulla 

100



resistenza a trazione del calcestruzzo. In condizioni normali, invece la curva si 

presenta come di seguito riportata ed il punto M cr è posizionato in prossimità 

dell’origine 

Figura 5. 3 - Punto di incipiente fessurazione in condizioni quasi-statiche 

Dalla lettura della risposta flessionale nel piano χ-M è facile notare la modalità 

con cui la sezione perviene alla rottura dalla lunghezza del tratto plastico e dalla 

posizione del punto (χ u -M u ). Le diverse condizioni di rottura della sezione sono 

determinate da molti fattori tra i quali la resistenza dei materiali, la sollecitazione 

applicata, la forma della sezione, etc. e proprio in riferimento a quest’ultima viene 

riportato di seguito un grafico che ne mostra appunto le differenze. 

Figura 5. 4 – Confronto tra le modalità di rottura duttile e fragile per due sezioni diverse 

101



Figura 5. 5 - Esempio di rottura fragile per schiacciamento del calcestruzzo in zona compressa 

Figura 5. 6 - Esempio di rottura duttile per trazione nelle armature inferiori 

Ultimo aspetto interessante da notare è la variazione del legame M-χ a seguito 

dell’applicazione dei coefficienti parziali di sicurezza proposti dal metodo di 

verifica semi-probabilistico agli stati limite che la normativa vigente prescrive di 

adottare. 

102



Analizzando il grafico ottenuto da questo confronto riportato nella figura seguente 

e riferito a travi in c.a.p. con sezione a T dritta e rovescia, si può notare il carattere 

conservativo che l’applicazione di tali coefficienti attribuisce alla risposta 

flessionale della sezione molto più stringente nel caso di rottura fragile (sezione a 

T rovescia a destra) rispetto alla rottura duttile (sezione a T dritta a sinistra). 

Figura 5. 7 - Confronto tra le risposte flessionali di una sezione in c.a.p. con e senza 

l’applicazione dei coefficienti parziali di sicurezza 

In condizioni ordinarie e, quindi, per velocità di deformazione quasi-statiche, il 

legame M-χ è influenzato, come già prima accennato, a vario titolo da quattro 

variabili principali: 

• la geometria della sezione; 

• i valori delle resistenze e delle deformazioni ultime dei materiali 

costituenti l’elemento; 

• la forma dei legami costitutivi dei materiali; 

• lo sforzo normale applicato. 

La prima interviene soprattutto mediante l’altezza utile della sezione 

determinando un valore più o meno grande del braccio della coppia interna 

rispetto al quale viene calcolato il momento resistente. Di seguito possiamo notare 

dal punto di vista grafico l’influenza della forma della sezione resistente, per 

elementi in calcestruzzo armato, nella definizione del diagramma M-χ. 

103



Figura 5. 8 - Influenza della forma della sezione resistente sul legame M-χ 

Come si può chiaramente notare le curve di risposta migliori si ottengono per 

sezioni ottimizzate dal punto di vista geometrico e delle caratteristiche dei 

materiali. Infatti, per sezioni a T dritta, in cui la centrifugazione della parte in 

calcestruzzo nel lato delle compressioni e quella dell’acciaio nel lato delle 

trazioni, si raggiungono i massimi valori del momento a parità di curvatura. 

Nel grafico di destra si può notare che, con calcestruzzi ad alta resistenza, oltre ad 

un incremento di duttilità generale risultano migliori le risposte di elementi con 

sezioni a T rovescia per cui la distribuzione dei materiali resistenti non è ottimale. 

Per quanto riguarda le resistenze dei materiali costituenti l’elemento, la curva M-χ 

non beneficia di incrementi in termini di momento ma ne risulta positivamente 

influenzata dal punto di vista della duttilità se la rottura avviene lato acciaio (e 

quindi, di solito, con acciai tradizionali e calcestruzzi a media o alta resistenza 

come mostrato precedentemente) o negativamente nel caso contrario di rottura 

lato calcestruzzo (cioè, in generale, con acciai ad alta resistenza come di seguito 

mostrato). 

104



Figura 5. 9 - Influenza della resistenza dei materiali sul legame M-χ 

Ultimo fattore ad influenzare il legame M-χ in condizioni quasi-statiche è la 

forma dei legami costitutivi utilizzati per schematizzare la risposta meccanica dei 

materiali utilizzati. Se, per esempio, ci riferiamo al caso di una sezione 

rettangolare in calcestruzzo armato e confrontiamo le risposte adottando per il 

calcestruzzo due diversi modelli, quello parabolo-rettangolo usato dalla normativa 

italiana ed il legame di Sargin proposto dal CEB, 

Figura 5. 10 - Legame parabolo-rettangolo 

utilizzato dalla normativa italiana 

Figura 5. 11 - Legame costitutivo di Sargin 

utilizzato dal CEB 

105



si ottiene 

Figura 5. 12 - Influenza del legame costitutivo dei materiali sulla curva M-χ 

Infine, l’influenza sulla definizione del legame M-χ dello sforzo assiale agente 

nella sezione riguarda soprattutto la pre-sollecitazione che la caratteristica assiale 

imprime al calcestruzzo (elemento debole della sezione). Dalla figura di seguito 

riportata si può notare come all’aumentare del rapporto di sforzo assiale 

diminuisca il massimo valore di momento flettente e si riduca la duttilità della 

sezione per schiacciamento del calcestruzzo. 

Figura 5. 13 – Influenza dello sforzo normale sul legame M-χ 

106



5.2 Il legame M-χ dinamico per sezioni in calcestruzzo armato 

Quando ci spostiamo dalla condizione statica e ci addentriamo in campo 

dinamico, il legame M-χ subisce delle modifiche sostanziali a causa della 

sensibilità alla velocità di deformazione dei materiali costituenti la sezione. 

Per elevati strain-rate, infatti, riferendoci ad una sezione in calcestruzzo armato 

ordinario, le caratteristiche meccaniche del conglomerato cementizio e 

dell’acciaio subiscono un miglioramento quantificabile secondo il coefficiente 

amplificativo DIF, distinto per ciascun parametro meccanico del materiale. 

Assistiamo, così, ad una positiva trasformazione della risposta meccanica del 

singolo materiale che globalmente si riflette in un miglioramento della resistenza 

flessionale della sezione. 

I risultati di seguito riportati sono stati calcolati sfruttando le formule proposte dal 

CEB [27] applicate per un calcestruzzo di tipo R ck 25 ed un acciaio Fe b 44k con le 

seguenti caratteristiche statiche: 

Calcestruzzo R ck 250 

Acciaio Fe b 44k 

R ck f cd f ctfk E c ε 0 ε u E ct ε u f sk f sd ε y E s 

MPa MPa MPa MPa # # MPa # MPa MPa # MPa 

25,00 11,02 1,94 27000 0,0020 0,0035 13500 0,00015 440,00 382,61 0,0018 210000 

Tabella 5. 1 - Caratteristiche meccaniche dei materiali in condizioni quasi-statiche 

Le analisi del comportamento dinamico di una sezione generica presentate in 

questo paragrafo sono state realizzate con il Biaxial, un software di calcolo 

freeware elaborato dal DIST - Dipartimento di Ingegneria Strutturale 

dell’Università di Napoli “Federico II” e disponibile sul sito della RELUIS - Rete 

dei Laboratori Universitari di Ingegneria Sismica, opportunamente modificato per 

i nostri scopi. 

I materiali utilizzati sono stati modelli dal programma secondo i legami costitutivi 

proposti dalla normativa vigente e,quindi, per il calcestruzzo parabolo-rettangolo 

107



univocamente descritto dai tre parametri ε 0 , ε u ed f cd e per l’acciaio elasto-plastico 

lineare descritto dal solo valore ε y . 

Figura 5. 14 - Legame costitutivo del 

calcestruzzo parabolo-rettangolo 

Figura 5. 15 - Legame costitutivo dell’acciaio 

elasto-plastico ideale 

Nella tabella 5.2 che segue si possono apprezzare quantitativamente gli incrementi 

in termini di resistenza, rigidezza e deformazioni limite per quanto riguarda il 

calcestruzzo, e per il solo limite elastico nel caso dell’acciaio, dei valori utilizzati. 

Dati utilizzati per l’analisi dinamica 


Compressione 

Calcestruzzo 

Trazione 

Acciaio 

dε/dt ε 0 f cd ε u E t ε cu ε y 

# # MPa # MPa # # 

3,00E-05 0,00200 11,02 0,00350 14007 0,000157 0,00182 

1,00E-04 0,00208 11,97 0,00358 14279 0,000160 0,00192 

1,00E-03 0,00225 14,03 0,00375 14815 0,000168 0,00198 

1,00E-02 0,00243 16,44 0,00393 15371 0,000176 0,00205 

1,00E-01 0,00261 19,26 0,00411 15948 0,000184 0,00211 

1,00E+00 0,00281 22,56 0,00431 16546 0,000193 0,00218 

1,00E+01 0,00301 26,43 0,00451 17167 0,000202 0,00225 

1,00E+02 0,00322 42,58 0,00472 17811 0,000212 0,00231 

Tabella 5. 2 - Dati utilizzati per le elaborazioni numeriche dinamiche fatte con il software Biaxial 

108



Per una comprensione più immediata di seguito si riporta il grafico comparativo 

dei fattori di incremento dinamici dei parametri meccanici considerati nell’analisi. 

4 

3,5 

ε 0 

f cd 

ε u 

3 

DIF 

E t 

ε t cu 

ε y 

2,5 

2 

1,5 

1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 1,00E+01 1,00E+02 

strain-rate [s -1 ] 

1 

Figura 5. 16 - Andamento del DIF dei parametri meccanici del calcestruzzo e dell’acciaio 

utilizzati per le analisi numeriche 

Il problema è stato affrontato per il caso di una sezione quadrata con lato di 

dimensioni 250 mm armata con 4φ12 [29], 

Figura 5. 17 - Sezione trasversale della colonna utilizzata nelle analisi numeriche 

sottoposta a tre differenti condizioni di rapporto di sforzo assiale ν crescente pari 

a 0.15, 0.25 e 0.50, e per 8 ordini di grandezza della velocità di deformazione: 

109



• condizione quasi-statica → 3·10 -5 ÷1·10 -4 ; 

• condizione di terremoto e/o impatto lieve (soft-impact) → 1·10 -3 ÷1·10 -1 ; 

• condizioni di esplosione → 1·10 0 ÷1·10 2 . 

Le analisi sono state indirizzate secondo due linee di condotta: 

1. la prima tesa a confrontare gli effetti dello strain-rate per rapporto di 

sforzo assiale costante; 

2. la seconda orientata a paragonare le conseguenze, per ogni intervallo di 

velocità di deformazione, per tre valori crescenti del rapporto di sforzo 

assiale. 

In tutti i casi presi in esame, i risultati sono stati estrapolati in termini di legame 

M-χ e di energia specifica della sezione; altresì i grafici costruiti per strain-rate 

costante sono stati omogeneizzati per tipo di evento di carico secondo la 

distinzione fatta prima in tre gruppi con ugual scala di rappresentazione. 

110



5.2.1 Legame M-χ al variare della velocità di deformazione per rapporto 

di sforzo assiale costante 

Come si può vedere dal confronto delle figure 5.17, 5.18 e 5.19 all’aumentare 

della velocità di deformazione in ogni caso aumenta la resistenza flessionale della 

sezione. Per quanto riguarda la capacità rotazionale ultima, invece, si può notare 

che per sforzi assiali crescenti e strain-rate bassi si ha una diminuzione della 

capacità duttile, mentre, per alte velocità di deformazione si ha un miglioramento 

della rotazione ultima fino a valori prossimi allo 0.0650 m -1 . 

Questo perché per intervalli di velocità bassi, il calcestruzzo risente ancora poco 

del miglioramento apportato dal DIF e, quindi, il meccanismo di rottura tende 

verso il collasso fragile della sezione per schiacciamento del conglomerato nella 

zona compressa. Perciò, dalle considerazioni appena tratte, si potrebbe asserire 

che per elementi caricati tipicamente per sforzo normale, quali le colonne, 

condizioni di esplosione o di impatto violento sono meglio sopportate rispetto a 

carichi quasi-statici. 

60.00 

50.00 

ν = 0,15 

M [kNm ] 

40.00 

30.00 

20.00 

10.00 

ε = 1 · 10 -2 

ε = 1 · 10 -3 

ε = 1 · 10 - 4 

ε = 3 · 10 -5 

ε = 1 · 10 2 

ε = 1 · 10 1 

ε = 1 · 10 0 

ε = 1 · 10 -1 

0.00 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 

χ [m -1 ] 

Figura 5. 18 - Legame M-χ al variare della velocità di deformazione con ν=0.15 

111



60.00 

50.00 

ν = 0,25 

M [kNm ] 

40.00 

30.00 

20.00 

10.00 

ε = 1 · 10 -2 

ε = 1 · 10 -3 

ε = 1 · 10 - 4 

ε = 3 · 10 -5 

ε = 1 · 10 2 

ε = 1 · 10 1 

ε = 1 · 10 0 

ε = 1 · 10 -1 

0.00 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 

χ [m -1 ] 


60.00 

50.00 

M [kNm ] 

40.00 

30.00 

20.00 

10.00 

ν = 0,50 

ε = 1 · 10 -2 

ε = 1 · 10 2 

ε = 1 · 10 -3 

ε = 1 · 10 1 

ε = 1 · 10 - 4 

ε = 1 · 10 0 

ε = 3 · 10 -5 ε = 1 · 10 -1 

0.00 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 

χ [m -1 ] 


Per meglio comprendere il significato delle curve appena riportate e quindi 

riuscire a recepire prontamente le informazioni che ci trasmettono risulta di ausilio 

associarvi l’evoluzione della profondità dell’asse neutro e delle deformazioni a 

rottura del calcestruzzo e dell’acciaio in funzione della velocità di deformazione. 

Con questa ulteriore informazione, infatti, si comprende meglio il perché del fatto 

che al variare dello strain-rate nei tra casi di rapporto di sforzo assiale crescente si 

abbiano curvature ultime variabili. 

112



250 

Distanza asse neutro dal lembo mm] teso 

200 

150 

100 

50 

ν=0.15 ν=0.25 

ν=0.50 

0 

1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 


Figura 5. 21 - Variazione della distanza dell’asse neutro dal lembo teso in funzione della velocità 

di deformazione nei tre casi di rapporto di sforzo assiale considerati 

0,012 

0,01 

Deformazione a rottura [#] 

0,008 

0,006 

0,004 

0,002 

acciaio calcestruzzo defomazioni limite 

ν =0,15 

0 

1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 1,00E+01 1,00E+02 


Figura 5. 22 - Variazione della deformazione limite nel calcestruzzo e nell’acciaio in funzione 

della velocità di deformazione per ν=0.15 

113



0,012 


0,01 

0,008 

0,006 

0,004 

0,002 

ν =0,25 


0 

1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 1,00E+01 1,00E+02 




0,012 

0,01 


0,008 

0,006 

0,004 

0,002 

ν =0,50 


0 

1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 1,00E+01 1,00E+02 




114



5.2.2 Energia specifica al crescere della velocità di deformazione per 

rapporto di sforzo assiale costante 

Confrontando i grafici 5.20, 5.21 e 5.22 che seguono si può subito cogliere il 

sensibile aumento di energia specifica durante il processo deformativo. Anche in 

questo caso si può notare che il comportamento della sezione migliora 

all’aumentare del rapporto di sforzo assiale fatta eccezione per quei casi, per basse 

velocità di deformazione e valori di N elevati, in cui si attinge prima la rottura lato 

calcestruzzo e quindi è bassa la capacità rotazionale ultima e l’energia specifica. 

3.5 

3 

2.5 

ν = 0,15 

ε = 1 · 10 -2 

ε = 1 · 10 -3 

ε = 1 · 10 - 4 

ε = 3 · 10 -5 

ε = 1 · 10 2 

ε = 1 · 10 1 

ε = 1 · 10 0 

ε = 1 · 10 -1 

E [kNm/m ] 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 

χ [m -1 ] 

Figura 5. 25 – Energia specifica al crescere della velocità di deformazione con ν=0.15 

3.5 

3 

2.5 

ν = 0,25 

ε = 1 · 10 -2 

ε = 1 · 10 -3 

ε = 1 · 10 - 4 

ε = 3 · 10 -5 

ε = 1 · 10 2 

ε = 1 · 10 1 

ε = 1 · 10 0 

ε = 1 · 10 -1 

E [kNm/m ] 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 

χ [m -1 ] 

Figura 5. 26 - Energia specifica al crescere della velocità di deformazione con ν=0.25 

115



3.5 

3 

2.5 

ν = 0,50 

E [kNm/m ] 

2 

1.5 

1 

0.5 

ε = 1 · 10 -2 

ε = 1 · 10 -3 

ε = 1 · 10 - 4 

ε = 3 · 10 -5 

ε = 1 · 10 2 

ε = 1 · 10 1 

ε = 1 · 10 0 

ε = 1 · 10 -1 

0 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 

χ [m -1 ] 


5.2.3 Legame M-χ per tre diversi valori del rapporto di sforzo assiale a 

velocità di deformazione costante 

I grafici che seguono sono ordinati per velocità di deformazione crescente e sono 

raggruppati secondo la suddivisione fatta precedentemente in base alle 3 tipologie 

di condizioni di carico, cioè: 

• condizione quasi-statica → 3·10 -5 ÷1·10 -4 ; 

• condizione di terremoto e/o impatto lieve (soft-impact) → 1·10 -3 ÷1·10 -1 ; 

• condizioni di esplosione → 1·10 0 ÷1·10 2 . 

I primi due diagrammi riportati si riferiscono al caso di azioni quasi-statiche e per 

cui al crescere del rapporto di sforzo assiale si assiste al cambio di modalità di 

rottura da duttile a fragile. Confrontandoli, poi, si percepisce, seppur non in 

maniera molto evidente, l’incremento di resistenza flessionale al crescere della 

velocità di deformazione ed una sostanziale costanza della capacità rotazionale 

ultima della sezione. 

116



40.00 

35.00 

─── ν = 0.15 

- - - - ν = 0.25 

─ · ─ ν = 0.50 

30.00 

M [kNm ] 

25.00 

20.00 

15.00 

10.00 

5.00 

▲ - fessurazione 

● - snervamento 

- rottura 

ε = 3 · 10 -5 

0.00 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 

χ [m -1 ] 

Figura 5. 28 - Legame M-χ per tre valori del rapporto di sforzo assiale con ε& 

costante pari a 3·10 -5 s -1 

40.00 

35.00 

─── ν = 0.15 

- - - - ν = 0.25 

─ · ─ ν = 0.50 

30.00 

M [kNm ] 

25.00 

20.00 

15.00 

10.00 

5.00 



- rottura 

ε = 1 · 10 - 4 

0.00 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 

χ [m -1 ] 



Nei tre diagrammi che seguono, costruiti per l’intervallo di velocità di 

deformazione tipico di eventi quali i terremoti e gli impatti lievi 1·10 -3 ÷1·10 -1 , si 

cominciano ad apprezzare in maniera crescente gli effetti benefici del 

miglioramento delle caratteristiche meccaniche dei materiali. Infatti, oltre 

all’aumento della resistenza flessionale dell’ordine del 20%, si può notare come si 

conserva il meccanismo di rottura duttile seppur con capacità rotazionali inferiori 

al caso statico. 

117



55.00 

M [kNm ] 

50.00 

45.00 

40.00 

35.00 

30.00 

25.00 

20.00 

15.00 

10.00 

5.00 



- rottura 

─── ν = 0.15 

- - - - ν = 0.25 

─ · ─ ν = 0.50 

ε = 1 · 10 -3 

0.00 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 

χ [m -1 ] 



55.00 

M [kNm ] 

50.00 

45.00 

40.00 

35.00 

30.00 

25.00 

20.00 

15.00 

10.00 

5.00 



- rottura 

─── ν = 0.15 

- - - - ν = 0.25 

─ · ─ ν = 0.50 

ε = 1 · 10 -2 

0.00 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 

χ [m -1 ] 



118



55.00 

M [kNm ] 

50.00 

45.00 

40.00 

35.00 

30.00 

25.00 

20.00 

15.00 

10.00 

5.00 



- rottura 

─── ν = 0.15 

- - - - ν = 0.25 

─ · ─ ν = 0.50 

ε = 1 · 10 -1 

0.00 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 

χ [m -1 ] 



Per questi ultimi 3 grafici, riferiti all’intervallo di velocità di deformazione 

caratteristico delle esplosioni violente 1·10 0 ÷1·10 2 , la cosa importante da 

evidenziare è che lo sforzo normale comincia ad esercitare un effetto benefico nei 

confronti sia della resistenza flessionale che della capacità rotazionale della 

sezione fino a registrare i massimi valori di entrambe le variabili nel caso di 

strain-rate più elevato. 

70.00 

60.00 

50.00 

M [kNm ] 

40.00 

30.00 

20.00 


─── ν = 0.15 


- - - - ν = 0.25 

ε = 1 · 10 0 

- rottura 

─ · ─ ν = 0.50 

10.00 

0.00 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 

χ [m -1 ] 


costante pari a 1·10 0 s -1 

119



70.00 

60.00 

50.00 

M [kNm ] 

40.00 

30.00 

20.00 

10.00 

0.00 



- rottura 

ε = 1 · 10 1 ─── ν = 0.15 

- - - - ν = 0.25 

─ · ─ ν = 0.50 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 

χ [m -1 ] 



70.00 

60.00 

50.00 

M [kNm ] 

40.00 

30.00 

20.00 

10.00 

0.00 



- rottura 

ε = 1 · 10 2 ─── ν = 0.15 

- - - - ν = 0.25 

─ · ─ ν = 0.50 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 

χ [m -1 ] 



Prima di passare all’esame dei risultati ottenuti in termini di energia specifica del 

processo deformativo, è opportuno sottolineare l’importanza degli effetti che la 

dinamicità delle azioni provoca sui materiali ed indirettamente sul legame M-χ. 

Paragonando, infatti, i miglioramenti ottenuti in condizioni quasi-statiche per 

incremento del rapporto i sforzo assiale con quelli risultanti dalle azioni 

dinamiche (riferiti agli estremi dell’intervallo [3·10 -5 ; 1·10 2 ] per N costante), si 

può notare come questi ultimi sono maggiori dei primi. Questo risultato afferma 

120



con decisione l’importanza di conoscere meglio e, quindi, di conseguenza, 

considerare correttamente gli effetti dinamici senza trascurare alcun aspetto nella 

risoluzione del problema meccanico 

5.2.4 Energia specifica per tre diversi valori del rapporto di sforzo assiale 

a velocità di deformazione costante 

Di seguito sono riportati i diagrammi dell’energia specifica del processo 

deformativo al crescere del rapporto di sforzo assiale per tutte le velocità di 

deformazione dell’intervallo [3·10 -5 ; 1·10 2 ]. Come già visto nei grafici precedenti 

anche in questo caso si può notare come il comportamento ottimale della sezione 

si realizza per valori di strain-rate e rapporto di sforzo assiale crescenti per cui i 

materiali, in virtù delle accresciute capacità, vengono sfruttati al meglio delle loro 

potenzialità. 

2 

1.8 

1.6 

1.4 

─── ν = 0.15 

- - - - ν = 0.25 

─ · ─ ν = 0.50 

E [kNm/m ] 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

ε = 3 · 10 -5 

0.2 

0 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 

χ [m -1 ] 

Figura 5. 36 - Energia specifica per tre valori del rapporto di sforzo assiale 

conε& costante pari a 3·10 -5 s -1 

121



2 

1.8 

1.6 

1.4 

─── ν = 0.15 

- - - - ν = 0.25 

─ · ─ ν = 0.50 

E [kNm/m ] 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

ε = 1 · 10 -4 

0.2 

0 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 

χ [m -1 ] 

Figura 5. 37 - Energia specifica per tre valori del rapporto di sforzo assiale con ε& 


2.5 

E [kNm/m ] 

2 

1.5 

1 

0.5 

─── ν = 0.15 

- - - - ν = 0.25 

─ · ─ ν = 0.50 

ε = 1 · 10 -3 

0 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 

χ [m -1 ] 

Figura 5. 38 – Energia specifica per tre valori del rapporto di sforzo assiale con ε& 


122



2.5 

E [kNm/m ] 

2 

1.5 

1 

─── ν = 0.15 

- - - - ν = 0.25 

─ · ─ ν = 0.50 

ε = 1 · 10 -2 

0.5 

0 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 

χ [m -1 ] 



2.5 

E [kNm/m ] 

2 

1.5 

1 

0.5 

─── ν = 0.15 

- - - - ν = 0.25 

─ · ─ ν = 0.50 

ε = 1 · 10 -1 

0 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 

χ [m -1 ] 



123



3.5 

3 

2.5 

─── ν = 0.15 

- - - - ν = 0.25 

─ · ─ ν = 0.50 

E [kNm/m ] 

2 

1.5 

1 

0.5 

ε = 1 · 10 0 

0 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 

χ [m -1 ] 



3.5 

3 

2.5 

─── ν = 0.15 

- - - - ν = 0.25 

─ · ─ ν = 0.50 

E [kNm/m ] 

2 

1.5 

1 

0.5 

ε = 1 · 10 1 

0 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 

χ [m -1 ] 

Figura 5. 42 - Energia specifica per tre valori del rapporto di sforzo assiale con ε& costante pari a 

1·10 1 s -1 

124



3.5 

3 

2.5 

─── ν = 0.15 

- - - - ν = 0.25 

─ · ─ ν = 0.50 

E [kNm/m ] 

2 

1.5 

1 

0.5 

ε = 1 · 10 2 

0 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 

χ [m -1 ] 



5.2.5 Tabelle riepilogative delle simulazioni numeriche 

Di seguito vengono riportate le tabelle riepilogative contenenti i risultati delle 

analisi numeriche effettuate col software Biaxial in funzione della velocità di 

deformazione e del rapporto di sforzo assiale applicato. 

Le tabelle si riferiscono alla curvatura ed al momento flettente per le condizioni di 

incipiente fessurazione, snervamento delle armature tese e a rottura; inoltre, sono 

riportati anche i dati dell’energia specifica del processo deformativo ed il loro 

incremento in relazione ai valori quasi-statici. 

Curvatura in condizioni di incipiente fessurazione χ cr 

έ (s -1 ) 3·10 -5 1·10 -4 1·10 -3 1·10 -2 1·10 -1 1·10 0 1·10 1 1·10 2 

ν (#) m -1 m -1 m -1 m -1 m -1 m -1 m -1 m -1 

0.15 0,0024 0,0024 0,0024 0,0023 0,0023 0,0023 0,0022 0,0016 

0.25 0,0033 0,0033 0,0029 0,0031 0,0031 0,0024 0,0023 0,0022 

0.50 0,0062 0,0058 0,0058 0,0046 0,0044 0,0038 0,0033 0,0030 

Tabella 5. 3 - Tabella riepilogativa dei valori della curvatura in condizioni di 

incipiente fessurazione χ cr in funzione della velocità di deformazione per i tre livelli 

del rapporto di sforzo assiale 

125



Curvatura in condizioni di snervamento dell'armatura tesa χ y 

έ (s -1 ) 3·10 -5 1·10 -4 1·10 -3 1·10 -2 1·10 -1 1·10 0 1·10 1 1·10 2 

ν (#) m -1 m -1 m -1 m -1 m -1 m -1 m -1 m -1 

0.15 0,0152 0,0157 0,0154 0,0152 0,0150 0,0147 0,0151 0,0144 

0.25 0,0175 0,0177 0,0168 0,0168 0,0165 0,0161 0,0158 0,0149 

0.50 0,0119 0,0149 0,0233 0,0217 0,0207 0,0196 0,0192 0,0168 


snervamento dell’armatura tesa χ y in funzione della velocità di deformazione per i tre 

livelli del rapporto di sforzo assiale 

Curvatura in condizioni ultime χ u 

έ (s -1 ) 3·10 -5 1·10 -4 1·10 -3 1·10 -2 1·10 -1 1·10 0 1·10 1 1·10 2 

ν (#) m -1 m -1 m -1 m -1 m -1 m -1 m -1 m -1 

0.15 0,0608 0,0605 0,0593 0,0585 0,0577 0,0567 0,0558 0,0534 

0.25 0,0415 0,0466 0,0579 0,0624 0,0611 0,0598 0,0586 0,0551 

0.50 0,0221 0,0240 0,0288 0,0356 0,0440 0,0544 0,0656 0,0600 

Tabella 5. 5 - Tabella riepilogativa dei valori della curvatura in condizioni ultime χ u in funzione 

della velocità di deformazione per i tre livelli del rapporto di sforzo assiale 

Momento flettente in condizioni di incipiente fessurazione M cr 

έ (s -1 ) 3·10 -5 1·10 -4 1·10 -3 1·10 -2 1·10 -1 1·10 0 1·10 1 1·10 2 

ν (#) kNm kNm kNm kNm kNm kNm kNm kNm 

0.15 10,47 11,11 12,20 13,17 13,59 14,83 15,87 17,51 

0.25 13,39 14,11 15,78 16,68 15,77 17,48 19,27 20,13 

0.50 21,34 21,82 23,20 23,68 26,54 26,42 26,72 32,89 

Tabella 5. 6 - Tabella riepilogativa dei valori del momento flettente in condizioni di 

incipiente fessurazione M cr in funzione della velocità di deformazione per i tre livelli 

del rapporto di sforzo assiale 

126



Momento flettente in condizioni di snervamento dell'armatura tesa M y 

έ (s -1 ) 3·10 -5 1·10 -4 1·10 -3 1·10 -2 1·10 -1 1·10 0 1·10 1 1·10 2 


0.15 26,38 27,50 28,61 29,33 30,27 30,99 32,30 33,93 

0.25 31,85 33,34 34,11 35,65 36,87 37,94 38,92 41,33 

0.50 30,12 35,06 44,22 47,63 49,67 51,79 53,82 57,83 


snervamento dell’armatura tesa M y in funzione della velocità di deformazione per i 

tre livelli del rapporto di sforzo assiale 

Momento flettente in condizioni ultime M u 

έ (s -1 ) 3·10 -5 1·10 -4 1·10 -3 1·10 -2 1·10 -1 1·10 0 1·10 1 1·10 2 


0.15 27,84 28,87 24,94 30,65 31,59 32,67 33,62 35,40 

0.25 33,60 35,04 36,59 37,71 38,77 39,82 40,89 43,48 

0.50 35,27 39,14 44,56 48,19 51,42 54,25 56,50 60,14 

Tabella 5. 8 - Tabella riepilogativa dei valori del momento flettente in condizioni ultime M u in 

funzione della velocità di deformazione per i tre livelli del rapporto di sforzo assiale 

Energia specifica E 

έ (s -1 ) 3·10 -5 1·10 -4 1·10 -3 1·10 -2 1·10 -1 1·10 0 1·10 1 1·10 2 

ν (#) kNm/m kNm/m kNm/m kNm/m kNm/m kNm/m kNm/m kNm/m 

0.15 1,500 1,544 1,574 1,594 1,621 1,646 1,666 1,683 

0.25 1,155 1,372 1,843 2,077 2,100 2,124 2,145 2,143 

0.50 0,549 0,662 0,950 1,361 1,884 2,552 3,296 3,286 

Tabella 5. 9 - Tabella riepilogativa dei valori di energia specifica in funzione della velocità di 

deformazione per i tre livelli del rapporto di sforzo assiale 

127



Incremento di energia specifica ΔE 

έ (s -1 ) 3·10 -5 1·10 -4 1·10 -3 1·10 -2 1·10 -1 1·10 0 1·10 1 1·10 2 

ν (#) % % % % % % % % 

0.15 - 2,93 4,93 6,27 8,07 9,73 11,07 12,20 

0.25 - 18,79 59,57 79,83 81,82 83,90 85,71 85,54 

0.50 - 20,58 73,04 147,91 243,17 364,85 500,36 498,54 

Tabella 5. 10 - Tabella riepilogativa dei valori di incremento di energia specifica in funzione della 

velocità di deformazione per i tre livelli del rapporto di sforzo assiale 

128

Cap. VI – CONCLUSIONI 

Capitolo VI 

Conclusioni 

La curiosità che dall’inizio dei tempi ha costituito per l’essere umano il motore 

della conoscenza e la ricerca dell’uomo moderno orientata a soddisfare la naturale 

necessità di sicurezza attraverso la conquista di un senso di protezione fanno sì 

che l’attenzione comune volga il suo sguardo a quanto ancora la natura che ci 

circonda ha da offrirci. 

È su queste premesse che si fonda questo elaborato di tesi tutto incentrato sul 

comportamento dei materiali strutturali dell’ingegneria civile sottoposti ad azioni 

con elevate velocità di deformazione. 

Nel capitolo I, in cui vengono minuziosamente studiati gli effetti dello strain-rate 

sul calcestruzzo, l’acciaio ed i compositi FRP ed i fattori intrinseci che ne 

influenzano il comportamento, si è visto come la velocità di deformazione 

influisce positivamente sulla risposta meccanica di questi materiali in termini di 

rigidezza, resistenza, capacità deformativa, duttilità, modalità di rottura e 

dissipazione dell’energia specifica. 

Nel capitolo II, invece, l’attenzione è stata rivolta alle metodologie sperimentali 

utilizzate per la misura delle caratteristiche tenso-deformative dei materiali 

sottoposti a regimi dinamici per cui sono state analizzate dal punto di vista 

tecnologico le attrezzature, il loro funzionamento e le criticità intrinseche, le 

apparecchiature idonee per condurre test ad elevati strain-rate. 

129


Nel capitolo III sono state illustrate le relazioni tensione-deformazione di natura 

sperimentale che meglio si adattano allo studio dei processi deformativi dinamici 

ed i legami costitutivi contenuti nel software LS-Dyna applicazione principe per 

quanto concerne i codici di calcolo per la modellazione dinamica delle strutture. 

Sono stati così analizzati i modelli di Cowper-Symonds, Jones e Johnson & Cook 

e nel confronto sono stati estrapolati i loro lati positivi e negativi trascurando il 

modello di Jones poco innovativo dal punto di vista analitico e 

contemporaneamente poco utilizzato nella pratica sperimentale. 

Nel capitolo IV l’attenzione ha riguardato la sensibilità nei confronti di questa 

attuale ed innovativa tematica e, quindi, l’interesse dedicatovi da parte dei codici 

normativi e delle istruzioni tecniche correntemente più usate. Si è fatto, perciò, 

riferimento alle Norme Tecniche per le Costruzioni italiane, al Bollettino n°187 

del 1988 ed al Model Code del 1990 redatti dal CEB-FIP ed alle TM 5-1300 

americane, le più all’avanguardia ed esaurienti in questo settore e con un carattere 

estremamente votato alla progettazione. 

Il capitolo V rappresenta, infine, il cuore di questo elaborato di tesi con la sua 

carica sperimentale e la grande importanza dei risultati raggiunti. Infatti, 

implementando analisi numeriche con l’aiuto del software Biaxial si è giunti alla 

costruzione di legami M-χ con all’interno gli effetti della velocità di deformazione 

gettando, in questo modo, le basi per la costruzione di modelli applicabili ad 

elementi frame per analisi di tipo dinamico non-lineare che tengano conto del 

fenomeno dello strain-rate. Altro apprezzabile risultato raggiunto riguarda 

l’importanza stessa di non trascurare gli effetti che la velocità di deformazione ha 

sui materiali strutturali: infatti, dalle analisi implementate si è visto come la 

sensibilità allo strain-rate abbia un peso maggiore, in termini di legame M-χ, del 

rapporto di sforzo assiale applicato al generico elemento. Da un analisi comparata 

dei dati a evidenziare risulta il fatto che per valori di strain-rate crescenti le 

migliori risposte meccaniche si avevano per valori di sforzo normale crescente per 

cui, se in caso di azioni quasi-statiche elementi colonna poco caricati erano 

avvantaggiati, in caso di carichi dinamici con elevate velocità di deformazioni le 

130


sollecitazioni pre-esistenti giovano alla risposta meccanica nell’assorbimento di 

tali eventi. 

Da non trascurare, poi, l’aspetto energetico per cui i miglioramenti apportati dal 

considerare gli effetti della dinamicità delle azioni possono essere considerevoli 

fino a valori del 30%. 

In conclusione, possiamo dire che l’attenzione nei confronti di questo particolare 

quanto importante aspetto del comportamento di questi materiali non può essere 

assolutamente trascurato per affrontare in modo completo e corretto le 

problematiche riguardanti le azioni dinamiche. Però, se da un lato si sono avuti 

risultati soddisfacenti sul piano della conoscenza, dal punto di vista tecnologico la 

ricerca soffre la scarsa diffusione di idonee metodologie ed apparecchiature. 

Infatti, dal comportamento in condizioni quasi-statiche, studiato con le comuni 

attrezzature di laboratorio per caratterizzare dal punto di vista meccanico un 

materiale, non è possibile risalire alla risposta che lo stesso darebbe sotto alte 

velocità di deformazione: questo è imputabile alla non linearità del coefficiente di 

incremento dinamico DIF in cui viene quantitativamente sintetizzato il 

comportamento ad elevate velocità di deformazione. 

D’altra parte, all’impossibilità di derivare il comportamento dinamico da quello 

quasi-statico, si aggiunge l’incapacità delle macchine, convenzionalmente usate 

per i test standardizzati sui materiali, di modulare azioni applicate con elevate 

velocità di deformazione. Nella pratica sperimentale, anche in quella tesa allo 

studio del comportamento delle strutture soggette ad azioni sismiche, si è sempre 

stati soliti applicare campi di spostamento, talvolta ciclici, con velocità basse e, 

quindi, poco utili al nostro scopo. 

Dalla tecnologia sono arrivate risposte in questo senso soprattutto racchiuse in 

macchine sperimentali ad urto o a trasmissione di onda energetica quali possono 

essere, rispettivamente, la “Drop-weight Impact Machine” e la “Hopkinson bar” 

nella versione standard o modificata. Ma proprio per il carattere sperimentale 

fortemente all’avanguardia e, quindi, poco diffuso la ricerca si trova ad affrontare 

un problema di uniformità dei metodi sperimentali e dei dati che da queste 

esperienze vengono tratti. L’assenza, infatti, di pratiche standardizzate o di 

131


protocolli sperimentali che possano fungere da linee guida o da vere e proprie 

istruzioni per condurre le prove in laboratorio, dà luogo ad una disomogeneità dei 

risultati pregiudicandone la comparabilità, caratteristica fondamentale per un dato 

scientifico per una corretta interpretazione del fenomeno. 

Quanto detto finora sottolinea l’importanza sempre più pressante della necessità di 

standardizzare i risultati ottenuti sperimentalmente attraverso tecnologie diverse, 

talvolta anche non comparabili, per fare un riassunto costruttivo della situazione; 

quindi, porre un punto di partenza per lo sviluppo di una sperimentazione 

orientata allo studio del comportamento dei materiali sottoposti ad elevate velocità 

di deformazione. 

132

RINGRAZIAMENTI 

RINGRAZIAMENTI 

Desidero a questo punto ringraziare quanti hanno reso possibile la stesura di 

questo elaborato di laurea. 

Il primo ringraziamento va al mio relatore Prof. Ing. Gaetano Manfredi, al DIST 

(Dipartimento di Ingegneria Strutturale) ed al correlatore Prof. Ing. Andrea Prota 

per la possibilità che mi hanno dato nel prendere parte ad un progetto così 

importante ed affascinante. Un sentito grazie di cuore per l’amichevole quanto 

competente e spesso determinante guida va al mio correlatore Ing. Domenico 

Asprone che ha saputo accompagnarmi in questa ultima fase della mia carriera 

accademica. Un ringraziamento speciale lo voglio indirizzare al mio correlatore 

Prof. Ing. Ezio Cadoni del SUPSI (Scuola Universitaria Professionale della 

Svizzera Italiana) di Lugano (CH) che con la sua esperienza e competenza ha 

saputo seguirmi, seppur separati da enormi distanze, ed assistermi affinché questo 

elaborato fosse pregno di contenuti. Per la pronta ed efficace assistenza nelle 

modifiche e nell’utilizzo del software adoperato per le analisi numeriche non 

posso altro che ringraziare l’Ing. Ivano Iovinella. 

Grazie ancora alla mia famiglia per le opportunità, non solo economiche, che mi 

hanno dato per poter raggiungere quest’obiettivo e ad Anna che ha saputo con 

incondizionato appoggio ed amorevole comprensione starmi accanto. 

Un ringraziamento particolare va ai colleghi di corso, quelli con cui ho condiviso i 

momenti belli e brutti della mia esperienza universitaria, quelli che mi sono stati 

vicino, ed io a loro, di fronte agli scogli che ogni tanto affiorano su questa rotta e 

che hanno saputo condividere con me le gioie che ne sono risultate. 

Infine, un grazie va agli amici più cari, all’equipaggio di Anahita ed al gruppo 

giovanissimi di A.C., co-educatrice compresa, per tutti i momenti belli che hanno 

saputo ritagliare per me allietando questo periodo di grande concentrazione e 

dedizione. 

133

BIBLIOGRAFIA 

BIBLIOGRAFIA 

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Strain-rate effect on the tensile behaviour of concrete at different relative 

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behaviour of concrete under high strain-rates, Materials and Structures, 

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sperimentale in campo dinamico di un adesivo epossidico bicomponente, 

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and steel for the assessment of the Tenza Bridge under blast loading 

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strain-rate e identificazione dei parametri caratteristici di lamiere di 

acciaio 

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costruzioni, I parte 

[27] CEB – Comité Euro-International du Béeton, CEB-FIP model code 

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resist the effects of accidental explosions, November 1990 

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136

SITOGRAFIA 

SITOGRAFIA 

http://www.unina.it/ - Università degli Studi di Napoli “Federico II” 

http://www.ingegneria.unina.it – Facoltà di Ingegneria 

http://www.dist.unina.it/ - Dipartimento di Ingegneria Strutturale 

http://www.biblio.unina.it/ - Sistema Bibliotecario dell’Ateneo Federiciano 

http://www.supsi.ch/ - Scuola Universitaria Professionale della Svizzera Italiana 

http://www.reluis.it/ - Rete dei Laboratori Universitari di Ingegneria Sismica 

http://www.wikipedia.it/ - L’enciclopedia libera 

http://www.google.it/ - Google Italia - Motore di ricerca 

http://www.steeluniversity.org/ 

http://fib.epfl.ch/ - FIB – Fédération Internationale du Béton 

http://www.garzantilinguistica.it/ - Dizionari Garzanti on-line 

137

INDICE DELLE FIGURE 


Figura 1. 1 - Strain-rate relativi alle differenti condizioni di carico ________________ 8 

Figura 1. 2 - Incremento del modulo elastico del calcestruzzo in compressione in 

funzione della velocità di deformazione __________________________ 10 

Figura 1. 3 - Differenza curva teorica/curva sperimentale della risposta del 

calcestruzzo in trazione________________________________________ 11 

Figura 1. 4 – Isocrone di fessurazione in condizioni di alta velocità di deformazione 11 

Figura 1. 5 - a) Comportamento del calcestruzzo in trazione per elevate velocità di 

deformazione ________________________________________________ 12 

Figura 1. 6 - b) Comportamento del calcestruzzo in compressione per elevate velocità 

di deformazione______________________________________________ 12 

Figura 1. 7 - c) Comportamento del calcestruzzo in flessione per elevate velocità di 

deformazione ________________________________________________ 12 

Figura 1. 8 - Massima tensione di trazione per calcestruzzi con aggregati diversi in 

funzione dello strain-rate ______________________________________ 14 

Figura 1. 9 - Massima tensione di trazione per calcestruzzi con diverso contenuto 

d'acqua in funzione dello strain-rate_____________________________ 15 

Figura 1. 10 - Andamento dell’energia di frattura per calcestruzzi con diverso 

contenuto d’acqua in funzione dello strain-rate____________________ 16 

Figura 1. 11 - Rappresentazione schematica della propagazione dell’onda elastica per 

due generici corpi a contatto ___________________________________ 17 

Figura 1. 12 – Curva di risposta tempo-tensione durante la prova dinamica su 

calcestruzzi con diverso contenuto d’acqua _______________________ 18 

Figura 1. 13 - Evoluzione del legame costitutivo dell’acciaio in funzione dello strainrate 

________________________________________________________ 29 

Figura 1. 14 - Tensione di snervamento dell’acciaio con effetto Joule_____________ 30 

Figura 1. 15 - Correzione della tensione di snervamento dell’acciaio dall’effetto Joule 

___________________________________________________________ 31 

Figura 1. 16 - Differenza tra le curve σ-ε ed s-e per un acciaio da carpenteria _____ 33 

Figura 1. 17 - Fotografia al microscopio elettronico di un acciaio con basso tenore di 

carbonio (low carbon steel) _____________________________________ 35 

Figura 1. 18 - Fotografia al microscopio elettronico di un acciaio con medio tenore di 

carbonio (medium carbon steel) _________________________________ 35 

Figura 1. 19 - Fotografia al microscopio elettronico di un acciaio con alto tenore di 

carbonio (high carbon steel)____________________________________ 35 

Figura 1. 20 - Diagramma sforzo-deformazione per un acciaio con precipitazioni di Si 

e Mn per differenti strain-rates _________________________________ 36 

Figura 1. 21 - Diagramma true stress-strain per un acciaio con precipitazioni di Ni, Cu 

e Al per differenti strain-rates __________________________________ 36 

Figura 1. 22 - Fotografia al microscopio elettronico della superficie di frattura di un 

acciaio con precipitazioni di Ni, Cu e Al in condizione quasi-statiche e per 

elevato strain-rate ____________________________________________ 37 

Figura 1. 23 - Fotografia al microscopio elettronico della superficie di frattura in 

condizione quasi-statiche per un acciaio temprato __________________ 38 

Figura 1. 24 - Fotografia al microscopio elettronico della superficie di frattura ad 

elevata velocità di deformazione per un acciaio temprato____________ 39 

Figura 1. 25 - Legame costitutivo della ghisa per diverse velocità di deformazione__ 39 

Figura 1. 26 - Anomalia di forma in condizioni di rottura della resina epossidica in 

compressione ________________________________________________ 41 

Figura 1. 27 - Legami sforzo-deformazioni in compressione dell’adesivo epossidica 

polimerizzato a caldo e a freddo ________________________________ 41 

138


Figura 1. 28 - Ramo plastico dei legami tensione-deformazione in compressione con 

strain-rate per l’adesivo epossidica polimerizzato a caldo e a freddo ___ 41 

Figura 1. 29 - Coefficiente di incremento dinamico della tensione in compressione per 

la resina epossidica ___________________________________________ 42 

Figura 1. 30 - Legami sforzo-deformazione in trazione con strain-rate dell’adesivo 

epossidico ___________________________________________________ 42 

Figura 1. 31 - Coefficiente di incremento dinamico della tensione in trazione per 

l’adesivo epossidico ___________________________________________ 43 

Figura 1. 32 - Risposta meccanica in compressione del sistema composito con fibre 

orientate nella direzione dell’azione sollecitante ___________________ 43 

Figura 1. 33 - Risposta meccanica in trazione del sistema composito con fibre orientate 

nella direzione dell’azione sollecitante ___________________________ 44 

Figura 2. 1 - Schema della barra di Hopkinson classica per prove di compressione _ 49 

Figura 2. 2 - SHPB della University of California San Diego ____________________ 49 

Figura 2. 3 - Schema del provino inserito tra la barra incidente e riflettente per una 

prova con la barra di Hopkinson________________________________ 51 

Figura 2. 4 - Esemplari di MHB del laboratorio DynaMat dell’University of Applied 

Scienses of Southern Switzerland _______________________________ 54 

Figura 2. 5 - Modified Hopkinson bar per prove di trazione ____________________ 55 

Figura 2. 6 - Registrazione delle onde incidente, riflessa e trasmessa misurate 

sull’input ed output bar durante una prova con la barra di Hopkinson 

modificata __________________________________________________ 57 

Figura 2. 7 - Provino metallico sagomato ed avvitato tra le due barre incidente e di 

trasmissione per una prova con la barra di Hopkinson modificata ____ 58 

Figura 2. 8 - Set-up della barra di Hopkinson modificata per test su provini metallici 

___________________________________________________________ 59 

Figura 2. 9 - Set-up della barra di Hopkinson modificata per test su provini in 

calcestruzzo _________________________________________________ 60 

Figura 2. 10 - Provino in calcestruzzo con strain-gage applicato pronto per una prova 

con la barra di Hopkinson modificata____________________________ 61 

Figura 2. 11 - Schema di funzionamento della drop-weight impact machine _______ 63 

Figura 2. 12 - Drop-weight impact machine di un laboratorio tedesco _____________ 64 

Figura 2. 13 - Versione di dimensioni ridotte di drop-weight impact machine_______ 64 

Figura 2. 14 - Provino in calcestruzzo armato dopo il test con la drop-weight impact 

machine ____________________________________________________ 65 

Figura 2. 15 - Hydro-pneumatic machine per prove a media velocità di deformazione 

___________________________________________________________ 65 

Figura 2. 16 - Schema della hydro-pneumatic machine _________________________ 67 

Figura 3. 1 - Legame costitutivo plastico in funzione diε& nello spazio( σ , εε& , ) ____ 74 

Figura 3. 2 - Formulation for rate effect - possibili applicazioni degli effetti dello 

strain-rate al ramo plastico di un legame costitutivo ________________ 75 

Figura 3. 3 - Superficie di crisi di Mohr-Coulomb con limiti di Tresca utilizzati dal 

MAT 016 ___________________________________________________ 78 

Figura 3. 4 - Curve di danno e di rottura utilizzate dal modello MAT 016_________ 79 

Figura 3. 5 - legame costitutivo plastico tridimensionale secondo ε& ______________ 81 

Figura 5. 1 - Schema applicativo del metodo a fibre per sezione generica __________ 99 

Figura 5. 2 - Punti fondamentali della risposta della sezione nel piano χ-M_______ 100 

Figura 5. 3 - Punto di incipiente fessurazione in condizioni quasi-statiche ________ 101 

139


Figura 5. 4 – Confronto tra le modalità di rottura duttile e fragile per due sezioni 

diverse ____________________________________________________ 101 

Figura 5. 5 - Esempio di rottura fragile per schiacciamento del calcestruzzo in zona 

compressa__________________________________________________ 102 

Figura 5. 6 - Esempio di rottura duttile per trazione nelle armature inferiori _____ 102 

Figura 5. 7 - Confronto tra le risposte flessionali di una sezione in c.a.p. con e senza 

l’applicazione dei coefficienti parziali di sicurezza ________________ 103 

Figura 5. 8 - Influenza della forma della sezione resistente sul legame M-χ _______ 104 

Figura 5. 9 - Influenza della resistenza dei materiali sul legame M-χ ____________ 105 

Figura 5. 10 - Legame parabolo-rettangolo utilizzato dalla normativa italiana ____ 105 

Figura 5. 11 - Legame costitutivo di Sargin utilizzato dal CEB _________________ 105 

Figura 5. 12 - Influenza del legame costitutivo dei materiali sulla curva M-χ _____ 106 

Figura 5. 13 – Influenza dello sforzo normale sul legame M-χ __________________ 106 

Figura 5. 14 - Legame costitutivo del calcestruzzo parabolo-rettangolo __________ 108 

Figura 5. 15 - Legame costitutivo dell’acciaio elasto-plastico ideale _____________ 108 

Figura 5. 16 - Andamento del DIF dei parametri meccanici del calcestruzzo e 

dell’acciaio utilizzati per le analisi numeriche ____________________ 109 

Figura 5. 17 - Sezione trasversale della colonna utilizzata nelle analisi numeriche _ 109 

Figura 5. 18 - Legame M-χ al variare della velocità di deformazione con ν=0.15___ 111 



Figura 5. 21 - Variazione della distanza dell’asse neutro dal lembo teso in funzione 

della velocità di deformazione nei tre casi di rapporto di sforzo assiale 

considerati _________________________________________________ 113 

Figura 5. 22 - Variazione della deformazione limite nel calcestruzzo e nell’acciaio in 

funzione della velocità di deformazione per ν=0.15 ________________ 113 





Figura 5. 25 – Energia specifica al crescere della velocità di deformazione con ν=0.15 

__________________________________________________________ 115 


__________________________________________________________ 115 


__________________________________________________________ 116 

Figura 5. 28 - Legame M-χ per tre valori del rapporto di sforzo assiale con ε& costante 

pari a 3·10 -5 s -1 ______________________________________________ 117 


pari a 1·10 -4 s -1 ______________________________________________ 117 


pari a 1·10 -3 s -1 ______________________________________________ 118 


pari a 1·10 -2 s -1 ______________________________________________ 118 


pari a 1·10 -1 s -1 ______________________________________________ 119 


pari a 1·10 0 s -1 ______________________________________________ 119 


pari a 1·10 1 s -1 ______________________________________________ 120 


pari a 1·10 2 s -1 ______________________________________________ 120 

140


Figura 5. 36 - Energia specifica per tre valori del rapporto di sforzo assiale 

conε& costante pari a 3·10 -5 s -1 __________________________________ 121 


costante pari a 1·10 -4 s -1 _______________________________________ 122 

Figura 5. 38 – Energia specifica per tre valori del rapporto di sforzo assiale con ε& 







costante pari a 1·10 0 s -1 _______________________________________ 124 





141

INDICE DELLE TABELLE 


Tabella 1. 1 - DIF per calcestruzzo con max aggregati di 5 mm __________________ 20 

Tabella 1. 2 - DIF per calcestruzzo con max aggregati di 10 mm _________________ 21 

Tabella 1. 3 - DIF per calcestruzzo con max aggregati di 25 mm _________________ 21 

Tabella 1. 4 - DIF per calcestruzzo asciutto __________________________________ 22 

Tabella 1. 5 - DIF per calcestruzzo con R.H. 50% _____________________________ 22 

Tabella 1. 6 - DIF per calcestruzzo saturo ___________________________________ 22 

Tabella 1. 7 - Assortimento granulometrico della sabbia utilizzata per confezionare i 

due conglomerati cementizi ____________________________________ 24 

Tabella 1. 8 - Assortimento granulometrico degli aggregati utilizzati per confezionare 

il calcestruzzo con inerti grossi __________________________________ 25 

Tabella 1. 9 - Assortimento granulometrico degli aggregati utilizzati per confezionare 

il calcestruzzo con inerti fini ____________________________________ 25 

Tabella 1. 10 – Incremento percentuale di resistenza a compressione e trazione tra i 

due provini con aggregati diversi________________________________ 26 

Tabella 2. 1 - Schema delle metodologie di indagine per i diversi strain-rate con 

indicazioni sulle tecniche sperimentali utilizzate e le relative criticità __ 48 

Tabella 4. 1 - Valori del DIF per il calcestruzzo in compressione e per le barre 

d’acciaio in funzione del tipo di esplosione e della sollecitazione agente 93 

Tabella 4. 2 - Valori del DIF per la tensione di snervamento dell’acciaio in funzione 

della sollecitazione e del tipo di acciaio ___________________________ 94 

Tabella 4. 3 - Valori del DIF per la tensione di rottura dell’acciaio per diverse 

tipologie di barre _____________________________________________ 94 

Tabella 4. 4 - Tensioni di calcolo per analisi dinamiche in funzione dello stato di 

sollecitazione ________________________________________________ 95 

Tabella 5. 1 - Caratteristiche meccaniche dei materiali in condizioni quasi-statiche 107 

Tabella 5. 2 - Dati utilizzati per le elaborazioni numeriche dinamiche fatte con il 

software Biaxial _____________________________________________ 108 


incipiente fessurazione χ cr in funzione della velocità di deformazione per i 

tre livelli del rapporto di sforzo assiale __________________________ 125 


snervamento dell’armatura tesa χ y in funzione della velocità di 

deformazione per i tre livelli del rapporto di sforzo assiale__________ 126 

Tabella 5. 5 - Tabella riepilogativa dei valori della curvatura in condizioni ultime χ u in 

funzione della velocità di deformazione per i tre livelli del rapporto di 

sforzo assiale _______________________________________________ 126 


incipiente fessurazione M cr in funzione della velocità di deformazione per 

i tre livelli del rapporto di sforzo assiale _________________________ 126 

142



snervamento dell’armatura tesa M y in funzione della velocità di 

deformazione per i tre livelli del rapporto di sforzo assiale__________ 127 

Tabella 5. 8 - Tabella riepilogativa dei valori del momento flettente in condizioni 

ultime M u in funzione della velocità di deformazione per i tre livelli del 

rapporto di sforzo assiale _____________________________________ 127 

Tabella 5. 9 - Tabella riepilogativa dei valori di energia specifica in funzione della 

velocità di deformazione per i tre livelli del rapporto di sforzo assiale 127 

Tabella 5. 10 - Tabella riepilogativa dei valori di incremento di energia specifica in 

funzione della velocità di deformazione per i tre livelli del rapporto di 

sforzo assiale _______________________________________________ 128 

143

Influenza dello strain-rate sul comportamento meccanico dei ...

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