Statica del corpo rigido Sistemi equivalenti di forze - INFN

Statica del corpo rigido
Sistemi equivalenti di forze
• Si definisce Corpo Rigido un corpo che è indeformabile:
– Tutti i punti del corpo rigido mantengono inalterata la reciproca distanza
qualunque forza esterna agisca su di essi
• E’ ovviamente un’astrazione
• Con semplici operazioni è possibile passare da complicati sistemi di
forze applicate al corpo rigido a sistemi più semplici, ma
equivalenti ai primi
– E’ sempre possibile aggiungere o eliminare due forze uguali applicate sul
medesimo punto o aventi la medesima retta d’azione senza modificare F ext e
M ext
– E’ sempre possibile spostare il punto di applicazione di una forza lungo la
retta d’azione
– Più forze applicate ad un punto sono sostituibili con la risultante applicata al
medesimo punto
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Sistemi equivalenti di forze
• Forze parallele nello stesso verso
– sono equivalenti ad una unica forza
Consideriamo un corpo
rigido su cui agiscono le
forze F 1 e F 2 :
-f
C
O
f
R 1 F 1
F R R 2
2
– La forza risultante R può pensarsi applicata in un punto qualunque
della sua retta d’azione.
– Se l’applichiamo su C è facile vedere che ruotando le forze F di un
angolo α la risultante ha la medesima intensità R e retta d’azione
passante per C con angolo di rotazione α rispetto a prima
– Il punto C si chiama centro delle forze e se esse erano la forza peso è il
centro di gravità
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...sistemi equivalenti di forze 2
• Le coordinate del centro di gravità sono date da:
N
∑
i=
1
i
N
∑
xiFi
ximi
g mi
xi
i=
1
i=
1
i=
1
x
g
= = = =
N
N
N
F m g m
∑
∑
i=
1
i
N
∑
∑
i=
1
i
x
c
• cioè se g è costante in modulo e verso il centro di gravità
coincide con il centro di massa
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...sistemi equivalenti di forze 3
• Se consideriamo 2 forze parallele, ma di verso
opposto e intensità diversa, applicate ai punti P 1 e
P 2 di un corpo rigido, si può ripetere quanto fatto,
ottenendo che la risultante R ha intensità pari alla
differenza delle 2 forze, verso concorde alla
maggiore delle due e il centro delle forze cade al
di fuori di P 1 P 2 ma determinato dalla stessa
relazione
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Coppia di forze
• Si definisce coppia di forze un sistema di due forze parallele, di
eguale intensità, ma verso opposto
• Il momento totale è sempre lo stesso, qualunque sia il punto
rispetto al quale lo calcoliamo:
P 1
F r b − F r M = Fd − Fd = F( d − d )
1 2 1 2
= Fb
• b è detto braccio della
P 2
d 2
coppia
d 1
• Essendo M indipendente dal punto rispetto al quale si calcola il
momento, una coppia di forze non può mai essere ridotta ad una
forza sola (che avrebbe momento nullo rispetto a tutti i punti della
sua retta d’azione)
• Una qualunque sollecitazione ad un corpo rigido può essere ridotta
ad una forza risultante che ne causa traslazione ed ad una coppia
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che ne causa rotazione

Statica
• Affinchè un corpo rigido sia in equilibrio occorre
r
che: F = 0 traslazione
r
∑
∑
M
ext
ext
=
0
rotazione
• Per un corpo con un asse fisso la prima condizione è
ovviamente soddisfatta dalle reazioni vincolari.
• Per l’equilibrio occorre soddisfare solo la seconda
G
θ
r r
P r
O
= r ∧ P ≠ 0
∑
r
M ext
r
r
Se il quadro era
orizzontale l’angolo θ era
nullo e quindi anche il
momento risultante è
nullo
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Leve
• Un caso interessante di corpo rigido ad asse fisso è costituito dalle leve
• Un tipo di leva è rappresentato in figura dove l’asse fisso passa per O (Fulcro)
R r
d r
d p
P r
• R è detta resistenza e d r è il braccio della resistenza
• P è detta potenza e d p è il braccio della potenza
• All’equilibrio è M = r ∧ R + r ∧ P
0 = ∑
r
ext
r
O
r
0 = Rdr − Pd
p
⇒ P =
r
• Se R è il peso di un oggetto che debbo sollevare, mi basta
scegliere d p >d r per farlo applicando una piccola forza P
r
p
r
d
d
r
p
R
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... leve
• Le leve si distinguono in
– Vantaggiose, se Pd r )
– Svantaggiose, se P>R (cioè d p

Bilancia a piattelli
• La bilancia è un caso interessante di leva di prima specie
• I due bracci sono (usualmente) di egual lunghezza (d 1 =d 2 )
P 1 =m 1 g
d 1
d 2
P 2 =m 2 g
• Siccome, in una regione limitata come quella occupata dalla bilancia, g può
essere considerata costante, la bilancia comparando i pesi, effettivamente
compara le masse: Pd = P d
1
se
1
d
1
2
=
2
d
2
⇒
P
1
=
P
2
⇒
m
1
=
m
2
• Se non posso confidare che d 1 =d 2 :
– Tecnica della doppia pesata
⎧Px
d
⎨
⎩Px
d
1
2
= P2
d
= Pd
1
2
1
⇒
P
x
=
P
1
⋅
P
2
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