Capitolo 16 - INFN

Induzione elettromagnetica
• Consideriamo una superficie chiusa S e spezziamola in due superfici S 1 e S 2
lungo un contorno l arbitrario. Il teorema di Gauss per il magnetismo ci dice:
nˆ
r r r
0 = ∫ B • nˆ
dS = ∫ B • nˆ
dS + ∫ B • nˆ
dS
nˆ
nˆ
S
S1
S2
S
S
nˆ
nˆ
nˆ
• Invertiamo il verso dei versori normali n nella superficie
(aperta) S 2 in modo tale che siano concordi con il verso dei
versori normali di S 1 , cioè i versori delle due superfici
vedono tutti il verso di percorrenza di l antiorario (o orario).
nˆ
nˆ • Il teorema di Gauss diventa:
r r
S
nˆ
1
0 = B • nˆ
dS − B • nˆ
dS
S 2
S 1
nˆ
l
l
nˆ
nˆ
∫
S
1
∫
S
2
⇒
∫
S
1
r
B • nˆ
dS
=
∫
S
2
r
B • nˆ
dS
• cioè, essendo S 1 ed S 2 arbitrarie, una volta scelta la linea
chiusa l, il flusso del vettore B non dipende dalla superficie,
avente come contorno l, che scegliamo.
S 2
1

... induzione elettromagnetica 2
• Quindi si può parlare di flusso del vettore campo magnetico B concatenato
con la linea chiusa l.
• In particolare, se l è il contorno di un circuito elettrico, si parlerà di flusso
concatenato con il circuito.
• Questo risultato può essere giustificato notando l’indipendenza del numero di
linee di campo dalla scelta della superficie S i .
• Vediamo ora vari aspetti dell’induzione elettromagnetica che ci porteranno a
formulare la quarta legge fondamentale dell’elettromagnetismo e ci
condurranno ad una unificazione dei fenomeni elettrici e magnetici.
2

… induzione elettromagnetica 3
• Consideriamo una spira conduttrice collegata ad un amperometro (a zero
centrale). Muoviamo nelle vicinanze un magnete permanente:
i 1
1 2
caso 2
caso 1
N
S
• L’amperometro misura una corrente (che fluisce sulla spira)
che risulta tanto più grande quanto più è veloce il moto del
magnete. Se il magnete è fermo nessuna corrente è
registrata. La corrente ha un verso quando il magnete si
avvicina ed il verso opposto quando si allontana. Se
invertiamo la polarità del magnete anche i versi di flusso
della corrente si invertono.
• Consideriamo 2 circuiti vicini come in figura. Supponiamo
che sul circuito 1 (primario) circoli una corrente i 1 costante.
Se variamo rapidamente la distanza reciproca fra i 2 circuiti
si registra una corrente indotta i 2 sul secondo circuito
(secondario)
• Questo è facilmente intuibile ricordando l’equivalenza fra spira e magnete. Si
nota inoltre che, mantenendo costante la posizione dei due circuiti e variando nel
tempo la corrente i 1 = i 1 (t), si registra una corrente variabile i 2 (t) tanto più intensa
quanto più è rapida la variazione di corrente i
3
1 (t).

… induzione elettromagnetica 4
• Consideriamo un circuito (spira) con un lato AB mobile:
caso 3
A
B v
• Mantenendo il campo magnetico B costante e spostando il lato
AB si registra una corrente sull’amperometro, tanto più intensa
quanto più è rapido lo spostamento.
campo magnetico costante. Si registra una corrente sulla spira la
cui intensità è tanto maggiore quanto più è elevata la velocità di
rotazione.
• Consideriamo una spira conduttrice che ruoti all’interno di un
B
• È possibile spiegare tutti questi fenomeni con una sola
legge Cosa hanno in comune
B r • Nel primo e nel secondo caso è il campo magnetico B a
caso 4
variare nel tempo
4

… induzione elettromagnetica 5
• Nel terzo caso B è costante, ma è la superficie S racchiusa dalla spira a
variare nel tempo.
• Nel quarto B ed S sono costanti, ma è l’angolo α fra B e la normale
orientata ad S a variare nel tempo.
• L’unica grandezza che racchiude in se la dipendenza da B, S ed α è il
flusso φ(B) del campo magnetico B attraverso la superficie S:
φ
r
( B) = ∫ B • nˆ
dS = ∫
S
r
S
r
B
cosα
• Tutti i fenomeni finora esposti sono quindi legati alla variazione nel tempo del
flusso del vettore B concatenato col circuito.
dS
5

Legge di Faraday-Neumann
• L’effetto della variazione nel tempo del flusso del campo magnetico B
concatenato con un circuito è l’insorgere di una forza elettromotrice indotta e
nel circuito. Se il circuito è chiuso tale forza elettromotrice indotta causa il fluire
di una corrente indotta nel circuito stesso.
• L’espressione di tale forza elettromotrice indotta è data dalla legge di Faraday-
Neumann:
dφ
• La derivata dφ
ε = − c
c /dt rappresenta la velocità con cui
il flusso concatenato col circuito varia nel
dt tempo.
• Il segno meno ha un significato fondamentale: testimonia il fatto che la corrente
indotta è tale da opporsi, col suo campo magnetico, al campo magnetico che l’ha
provocata.
• Sui fenomeni di induzione elettromagnetica è basata tutta la tecnologia attuale di
produzione di corrente elettrica. La corrente elettrica viene prodotta da turbine,
(alternatori) messe in moto da vapore o acqua, che ruotano in intensi campi
magnetici (in realtà anche le trasmissioni radio-televisive si basano sull’induzione
elettromagnetica)
• Il flusso del campo magnetico si misura nel S.I. in T·m 2 =weber (simbolo: Wb)
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Mutua Induzione
• Riprendiamo l’esempio dei due circuiti accoppiati. È la variazione del flusso del
campo magnetico dovuto alla corrente i 1 a determinare la corrente i 2 . Si è detto
che variando nel tempo la corrente i 1 = i 1 (t), si registra una corrente variabile i 2 (t)
tanto più intensa quanto più è rapida la variazione di corrente i 1 (t). Questo si
esplicita nelle formule:
• dove φ
φc,2
= Mi
c,2 è il flusso
1
i
concatenato col circuito 2, ε
1
dφc,2
di è la forza elettromotrice
1
ε = − = −M
indotta sul circuito 2
1 2
dt dt
• M è un opportuno coefficiente di proporzionalità, dipendente dalla distanza e
reciproproca posizione dei due circuiti e dal mezzo che vi si frappone, detto
coefficiente di mutua induzione.
• Il funzionamento dei trasformatori (per corrente alternata) è basato su questo
principio.
7

Autoinduzione
• Consideriamo un generico circuito dove fluisce della corrente i. Esisterà un
flusso del campo magnetico B concatenato col circuito stesso dovuta alla propria
corrente i. Se i varia nel tempo, anche il flusso autoconcatenato varierà,
generando una corrente aggiuntiva (in realtà, vedremo, sottrattiva)
• Il flusso autoconcatenato è dato da:
φ c = Li
• Se tale flusso varia nel tempo, la f.e.m. autoindotta è:
ε
d c
φ = −
dt
= − L
• Dove il coefficiente L è detto autoinduzione o induttanza del circuito
considerato e dipende dalla caratteristiche geometriche e dalla permeabilità
magnetica del mezzo ove il circuito risiede.
• Come prima, il segno meno significa che questa f.e.m. è responsabile di una
corrente autoindotta che si oppone a quella circolante nel circuito e che genera
la f.e.m. indotta stessa.
8
di
dt

Equazioni di Maxwell
• Come più volte accennato, campo elettrico e campo magnetico sono due
manifestazioni dell’interazione elettromagnetica. Chi riorganizzò la visione di tali
fenomeni fino a realizzare una teoria completa dell’interazione elettromagnetica fu
Maxwell.
• Maxwell capì la natura unica delle
interazioni elettriche e magnetiche e
pose delle equazioni di base per il
campo elettromagnetico (nel vuoto):
• Le prime due leggi sono quelle
dei campi statici
Legge
Legge di Gauss per il
campo elettrico
Legge di Gauss per il
campo magnetico
Legge di Faraday-
r q
∫ E • ndS ˆ =
ε
S
Forma integrale
r
∫ B • ndS ˆ = 0
Henry ∫ E • dl = − ∫ B •
Legge di Ampère-
Maxwell
S
L
∫
L
r
r
0
r r
B • dl = µ
0
d
dt
S
0
r
i + ε µ
0
r
ndS
d
dt
∫
S
r
E • ndS ˆ
• La terza è derivabile dalla legge di Faraday-Neumann per i circuiti. In questa
forma ci dice che la presenza di un campo magnetico con flusso variabile
determina l’insorgere di un campo elettrico (o meglio di una d.d.p.) anche in
assenza di circuiti elettrici
• La quarta è la legge di Ampère, modificata da Maxwell con un termine che
testimonia l’insorgere di un campo magnetico se c’è un campo elettrico a flusso
variabile.
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Onde elettromagnetiche
• Direttamente dalle equazioni di Maxwell deriva il fatto che il campo
elettromagnetico si propaga con velocità elevata, ma finita, che nel vuoto è pari a:
c
=
ε
1
0
µ
0
=
8,86⋅10
−12
1
× 12,56⋅10
−7
m
s
≈ 3⋅10
8
m
s
• Il campo elettromagnetico si propaga tramite un’onda elettromagnetica
(vedremo meglio in seguito) in cui il campo elettrico E e il campo magnetico B
sono ortogonali sia fra loro che alla direzione di propagazione:
E r
direzione di
propagazione
u = u
B r r 2 r 2
• Visto che un’onda elettromagnetica trasporta sia un campo elettrico che
magnetico vi sarà una densità di energia (del campo elettromagnetico) data da:
E
+ u
B
=
1
2
ε E +
1
2
µ
B
10