La modulazione numerica

- 2 - G. Mamola: Fondamenti di Comunicazioni Elettriche(II.2.2)ddmm= 0⇒ am=−1= 1⇒ a = 1Nella (II.2.1) la quantità ϕ si suppone una costante indipendente dalla sequenza d .III.2.2 - Modulazione OOK binaria.Nella modulazione OOK (On Off Keying) le forme di segnalazione sono le stesse della modulazioneASK binaria ma la corrispondenza fra le cifre ame i simboli dmè data dalla:dm= 0⇒ am= 0(II.2.3)d = 1⇒ a = 1III.2.3 - Modulazione PSK binaria.Nella modulazione PSK (Phase Shift Keying) le forme di segnalazione sono:T⎛ t−⎞2(II.2.4) sm( t) = V0cos(2 π f0t+ϑ m +ϕ) rect ⎜( m = 0,1T ⎟)⎝ ⎠in cui la corrispondenza tra le fasi(II.2.5)mmmϑne i simboli binari dm= 0 e dm= 1 segue la regola:dm= 0 ⇒ϑ m =πd = 1⇒ϑ = 0mConfrontando la seconda delle (II.2.4) con la (II.2.1) si riconosce immediatamente che, nelcaso binario, le modulazioni ASK e PSK sono indistinguibili, dato che danno luogo allo stessosegnale modulato.II.2.3 - Modulazione FSK binaria.Nella modulazione FSK (Frequency Shift Keying) le forme di segnalazione sono:T⎛ t−⎞2(II.2.6) sm( t) = V0cos[2 π ( f0+ amΔ f) t+ϕ]rect⎜( m = 0,1T ⎟)⎝ ⎠dove ai simboli binari d m = 0 e d m = 1 sono associate le cifre amcome appresso indicato:dm= 0⇒ am=−1d = 1⇒ a = 1mIn questo tipo di modulazione la frequenza della portante è aumentata di Δf tutte le volteche è presente il dato dm= 1 e diminuita di Δ f quando è presente il dato d m = 0 .In Fig II.2 sono rappresentati gli andamenti del segnale modulato vt () per modulazioniASK, OOK e PSK binaria. Nella stessa figura è riportato l’andamento del corrispondente segnalein banda base dato dalla ∑ anrectt−T−nT2.nm( T)mII.3 - Sistemi di modulazioneIII.3.1 - Modulazione ASK M-aria.M -ari.Nel caso della modulazione ASK M -aria, le forme di segnalazione sono definite dalle:T⎛ t−2⎞(II.3.1) sm( t) = V0amcos(2 π f0t+ϕ) rect ⎜( m = 0,1, , M − 1)T ⎟…⎝ ⎠in cui le cifre M -arienell’insieme:a m , poste in corrispondenza con i simboli M -ari , sono scelte(II.3.2) a = 2 m−( M − 1) ( m = 0,1, …, M −1)mL’insieme delle forme di segnalazione può essere rappresentato per mezzo di un’unicafunzione di baseut ()ottenuta normalizzando il segnaleD m0⎛t−T/2⎞⎜ ⎟⎝ T ⎠st ( ) = cos(2 π ft +ϕ ) rect .

L’energia specifica di s()t vale:(II.3.3)Cap. II - La modulazione numerica - 3 -E = s () t dt =s∫∫∞−∞T01 T2 ∫022= cos (2 π ft+ϕ ) dt=0[ 1 cos(4 ft 2 )]= + π + ϕ dt=T ⎡ sin(4π fT 0 + 2 ϕ) −sin(2 ϕ)⎤= ⎢1+⎥2 ⎣4πfT0 ⎦0d1 1 0 1 1 0 1tASKPSK binariotOOK binariotFSK binarioFig. II.2 – Rappresentazione dei segnali ASK, OOK e FSK binari.Nelle normali applicazioni la frequenza della portante è molto maggiore di 1 , per cui, tenendoconto che è fT>> 0 1, l’energia di s()t si può approssimare come segue:TT(II.3.4)E s =2Di conseguenza la funzione di base è:2 t−T2(II.3.5) utT ( T )( ) = rect cos(2 π ft+ϕ)Quanto detto comporta che le forme di segnalazione { s t }0m() M−1m=0possono essere rappresentatein uno spazio monodimensionale S1definito dalla funzione di base(II.3.6) s = V ⋅a u ( m = 0,1, …, M −1)m0T2mut ()e si ha:dove sme u denotano i vettori rappresentativi dei segnali sm() t e ut () rispettivamente.

- 4 - G. Mamola: Fondamenti di Comunicazioni ElettricheASKOOK−V 00 1T2V00 10 V0T2T2uua)M = 4−3V000 01 10 11T2−V 0T2TV 3V0 02000 001 011 010 110 111 101 100M = 8T T TT TT u−7V−3VTT−5VV 3V7V00 −V00 5V0022 0022 2 2 2 2Fig. II.3 - Rappresentazione vettoriale delle forme di segnalazione per modulazioni ASKM -arie ( M = 2 , M = 4 e M = 8 ).T2ub)In Fig. II.3 a) è rappresentata la costellazione dei segnali per modulazioni binarie ASK eOOK;, in Fig. II.3 b) è riportata la rappresentazione vettoriale dell’insieme dei vettori perdiversi valori diM . Nelle suddette figure si sono indicati anche le configurazioni dei simbolibinari da associare alle forme di segnalazione nell’ipotesi che si adotti il codice di Gray.Si deduce inoltre facilmente che l’energia associata alla generica forma di segnalaziones m (t) vale:(II.3.7)EmE m202V T= aEssa dipende dal particolare simbolo trasmesso. Di conseguenza, se i simboli a si suppongonoequiprobabili, il valore medio di è:2 2 M −1 2V0T 2 V0T 1 2 2 M −1(II.3.8) E = E{ am} = ∑ [ 2 m−( M − 1) ] = V0T2 2 MII.3.2 - Modulazione PSK M-aria.E m2mm= 06Nel caso della modulazione PSK M -aria, le forme di segnalazione sono:T⎛ t−⎞2(II.3.9) sm() t = V0cos(2 π f0t+ϑ n +ϕ)rect⎜ ( m = 0,1, …, M −1)T ⎟⎝ ⎠in cui i simboli M -ari sono posti in corrispondenza con le fasi:(II.3.10) ϑ = 2πm ( m = 0,1, …, M −1e cioè:(II.3.11) ( )2od anche:m⎛sm( t) V cos 2 f t 2 rect⎝Mmt−= 0 π 0 + π +ϕM ⎜ T ⎟−T2(II.3.12) ( ) ( )T⎞⎠)( m = 0,1, …, M −1){ ( )}t m mm ( ) = 0 rect cos(2 π 0 +ϕ) ⋅cos 2π −sin(2 π 0 +ϕ) ⋅sin 2πT M Ms t V f t f tÈ opportuno riferire l’insieme dei segnali s m (t) alle funzioni di base:t−T2( T )t−T2( T )⎧2u0( t) = rect cos(2 πf0t+ϕ)⎪T(II.3.13)⎨⎪ 2u1() t = rect sin(2 πf0t+ϕ)⎪⎩ T⎛ t −ottenute normalizzando i segnali rectT 2 ⎞⎝ T ⎠ cos(2πf ⎛0t +ϕ) e rect⎝t − T 2Tms m⎞⎠ sin(2πf 0t +ϕ) rispettivamente.È utile osservare che le due funzioni di base u 0 () t e u 1 () t sono ortogonali. Infatti, il loroprodotto scalare

(II.3.14)Cap. II - La modulazione numerica - 5 -∞2 T1 T0 1 ∫ 0 1 T0 0 0−∞ ∫0 T∫0( u , u ) = u ( t ) u ( t ) dt = cos(2 π f t +ϕ)sin(2 π f t +ϕ ) dt = sin(4π f t + 2 ϕ) dt ≅ 0può essere considerato nullo.Tenendo conto delle (II.3.13) il vettores m rappresentativo del segnale s m (t) è:Tmm(II.3.15) sm= V0 { u0cos( 2π ) −u1sin ( 2π)}2MEsso è dunque riferito ad un sistema di coordinate ortonormali ( u0, u 1). I segnali s m (t) appartengonodunque ad un sottospazio a 2 dimensioni.2 m 2 mTenendo conto della condizione ( 2π) ( 2π)Mcos + sin = 1 , la costellazione dei segnali s m (t) ,Mdella quale in Fig. II.4 sono riportati tre esempi, è costituita da un insieme di punti uniformementedistribuiti su una circonferenza di raggioTV 0 2M. Nella stessa figura sono rappresentatele configurazioni dei simboli binari da associare ai vari valori della fase ϑ mnell’ipotesi che si adotti il codice di GrayM = 20 1uM = 41101u 100 u 0M = 8110010011001000u 1u 010111101100Fig. II.4 - Rappresentazione vettoriale delle forme di segnalazione per modulazioni PSKM -arie ( M = 2 , M = 4 e M = 8 ).Nel caso di modulazione PSK M -aria, l’energia specifica associata a s m (t) vale, per la(II.3.15):(II.3.16)m202V TE =ed è indipendente dall’indice m . Essa pertanto coincide con l’energia media dellasegnalazione.II.3.3 - Modulazione FSK M-aria.Nel caso della modulazione FSK M -aria, le forme di segnalazione sono:T⎛ t−2⎞(II.3.17) sm( t) = V0cos[2 π ( f0+ amΔ f) t+ϕ]rect⎜( m = 0,1, …, M −1)T ⎟⎝ ⎠in cui(II.3.18) a = 2 m−( M − 1) ( m = 0,1, …, M −1)La generica forma di segnalazione sm() t è:mÈ evidente dalla (II.3.17) che le forme di segnalazione possono essere riferite al seguentesistema di funzioni di base:(II.3.19)2um() t = cos[2 π ( f0+ amΔ f) t +ϕ ] ( m = 0,1, …, M −1)TIl prodotto scalare fra due generiche funzioni di base vale:

Cap. II - La modulazione numerica - 7 -le funzioni di base, sono individuate dalla coppia ordinata di valori (T T0 2 n,0 2 )V a V b m essendoa n e b n due simboli M -ari del tipo:an= 2 n−( M −1)(II.3.28)b = 2 m−( M −1)m( n = 0,1 …, M −1)( m = 0,1 …, M −1)2Naturalmente il numero dei punti della costellazione è M .Detta s nm (t) la generica forma di segnalazione risulta:T⎛ t−0,1, , 12⎞⎛ n= … M−⎞(II.3.29) smn ( t) = V0rect ⎜ [ an cos(2 f0t ) bmsin(2 f0t)T ⎟ π +ϕ + π +ϕ ] ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝m= 0.1, …, M−1⎠e la sua rappresentazione vettoriale è data dalla:n 0,1, , M 1T⎛ = … − ⎞(II.3.30)snm = V0 2[ anu1+ bmu2)] ⎜ ⎟⎝m= 0,1, …, M−1⎠La modulazione QAM si puòintendere come la sovrapposizionedi due modulazioni ASKM -arie indipendenti. Essa puòessere realizzata secondo loschema riportato in Fig. II.6. Isimboli M -ari D che costituisconola sequenza d’ingressosubiscono una codifica M -aria adConvertitoreserie-paralleloCodificatoreCodificatoreFig. II.6 – Modulatore QAM.V 0cos(2πf 0t + ϕ)abV 0sin(2πf 0t +ϕ)M livelli e i simboli così ottenuti sono distribuiti alternativamente sui due canali in uscitadal convertitore serie-parallelo.v(t)