Trasmissione numerica in banda base

Capitolo I
LA TRASMISSIONE NUMERICA
IN BANDA BASE
I.1 - Generalità.
Nella trasmissione numerica binaria il messaggio inviato dalla sorgente è costituito da
una sequenza ordinata di cifre:
d ≡ …, d , d , d . d , d ,…
−2 −1 0 1 2
appartenenti all’alfabeto binario i cui elementi si denotano con 0 e 1. Se le cifre d sono
emesse dalla sorgente con cadenza regolare la trasmissione si dice sincrona, altrimenti è
chiamata asincrona. Nel caso di trasmissioni sincrone, nel seguito considerate, detto T d il
n
periodo di cifra, la quantità:
(I.1.1)
1
r =
T
d
costituisce il ritmo binario (bit rate) e si misura in bit/sec.
disturbi
d
a
vt () rt ()
â ˆd
Codificatore Modulatore Canale Demodulatore Decodificatore
Fig. I.1 - Schema di principio di un sistema di trasmissione numerica in banda base.
Un sistema di trasmissione numerica può essere schematizzato come mostra la Fig. I.1.
In essa si distinguono i seguenti blocchi:
a) un codificatore che trasforma la sequenza di cifre binarie nel messaggio
a ≡ …, a , a , a , a , a ,…
−2 −1 0 1 2
composto da elementi numerici, appartenenti ad un alfabeto di dimensioni finite;
b) un modulatore che, in corrispondenza alla sequenza a produce un segnale v(t) ;
c) un canale di trasmissione la cui uscita r(t ) è, in generale, una replica poco fedele del
segnale in ingresso v(t) per effetto delle distorsioni, dei disturbi prodotti dal canale e delle
interferenze;
d) un demodulatore il quale, a partire da r(t ) , fornisce in uscita il messaggio
a ˆ ≡ …,ˆ a ,ˆ a ,ˆ a ,ˆ,ˆ a a ,…
−2 −1 0 1 2
in genere diverso da quello originario;
e) un decodificatore che opera la trasformazione inversa del codificatore fornendo in uscita
la sequenza
d ˆ ≡ …, dˆ , dˆ , dˆ . dˆ, dˆ
,…
−2 −1 0 1 2

- 2 - G. Mamola. Fondamenti di Comunicazioni Elettriche
I.2 - Struttura del segnale numerico.
Nel caso di trasmissioni numeriche in banda base il segnale v(t) all’uscita del modulatore
è costituito da una sequenza di forme di segnalazione traslate nel tempo nella forma:
(I.2.1) vt () = sa (
n; t−nT0
)
∞
∑
n=−∞
dove s( an; t ) è la forma di segnalazione, supposta di tipo passa-basso, associata alla cifra a n .
Inoltre si suppone che le segnalazioni
s a t siano confinate nell’intervallo [ )
( ; ) n
0,T .
È necessario precisare che in generale la forma di segnalazione oltre che dalla cifra
corrente può dipendere da
L cifre precedenti an − 1, an − 2, …,
an
− L (codifica con memoria). In
questo contesto si prendono in considerazione solo le codifiche prive di memoria.
La quantità T 0 , in generale diversa da T d , costituisce il periodo di cifra ed il suo inverso:
(I.2.2)
1
R = T
rappresenta la velocità di modulazione ed individua il numero di cifre trasmesse nell’unità
di tempo.
Una particolare forma di segnalazione è data dalla:
(I.2.3) s( a ; t) = a p( t)
dove a rappresenta un simbolo numerico appartenente ad un alfabeto di
n
il cosiddetto impulso di segnalazione, supposto confinato in
n
0
n
0
M elementi e
a n
p(t)
[ 0,T 0 ) . Un segnale di questo
tipo è denominato segnale PAM (Pulse Amplitude Modulation) multilivello o segnale PAM
M-ario. L’espressione del segnale PAM è quindi:
∞
(I.2.4) vt () = a pt ( −nT)
∑
n=−∞
Nel caso di segnale PAM binario si ha la seguente corrispondenza:
dn
= 0⇒ an
=−1
(I.2.5)
d = 1⇒ a =+ 1
meglio nota come codifica bipolare.
n
n
Nel caso di segnalazione binaria si può adoperare la seguente corrispondenza (codifica
unipolare):
(I.2.6)
d
d
n
n
n
= 0⇒ an
= 0
= 1⇒ a = 1
Un’ulteriore alternativa è costituita dal codice bipolare alternato definito dalla:
dn
= 0⇒ an
= 0
(I.2.7)
d = 1⇒ a =± 1
n
dove la scelta del segno è fatta imponendo che nella sequenza a le cifre +1 e − 1 si alternino.
In tal caso le cifre a n appartengono all’alfabeto ternario composto dagli elementi { −1, 0,1}
.
Per questo motivo quest’ultimo codice è denominato anche codice pseudo-ternario giacché
n
i simboli + 1 e − 1 assumono lo stesso significato informativo. Si osservi che in questo caso la
codifica della cifra d n = 1 può essere effettuata solo se si conosce il valore del simbolo corrispondente
alla cifra d = 1 precedente. Un tale tipo di codifica costituisce un esempio di codifica
con memoria a differenza dei codici bipolare ed unipolare che possono essere classificati
come codici privi di memoria o istantanei.
n
n

Cap. I – La trasmissione numerica in banda base - 3 –
d
1
1 1 0 1 0 1 1 0 0 1
Codice
bipolare
0
−1
t
Codice
unipolare
1
0
t
1
codice
bipolare
alternato
0
−1
Fig I.3 – Struttura del segnale modulato per segnalazione PAM binaria.
In Fig. I.3 è rappresentato il segnale PAM binario v(t ) in corrispondenza delle codifiche
sopra presentate e nel caso in cui l’impulso di segnalazione sia un rettangolo di durata T 0 .
t
I.3 – La rivelazione del segnale numerico PAM.
Il segnale r (t) in uscita dal canale, supposto ideale e privo di rumore, assume la forma:
(I.3.1) rt () = apt
n
( −nT0
−td)
essendo
t d
il ritardo di propagazione.
∞
∑
n=−∞
Nel generico intervallo di simbolo [ kT0( k + 1)
T0 )
[ 0,T 0 ) , il segnale ricevuto vale:
(I.3.2) rt () = apt ( −kT − t) + nt () ∈ ( , + ]
e dipende dal valore della cifra
n 0 d
t kT ( k 1) T
0 0
a k
inviata dal trasmettitore.
, se l’impulso di segnalazione è confinato in
Per procedere alla stima della cifra trasmessa il ricevitore campiona il segnale ricevuto
1
con una velocità pari a . Il valore del segnale letto al generico istante tk
= k T0
+ td
+τ, essendo
un’opportuna quantità appartenente all’intervallo 0,T ,
T
0
vale:
τ [ )
(I.3.3) rt ( ) = ap( τ+ ) nt ( )
k k k
In quel che segue la precedente si scrive nella forma:
(I.3.4) r = α a+
n
dove si è posto r ≡ r( t k
), α≡p()
τ , a ≡ ak
e n ≡ n( t k
) .
È ovvio che in dipendenza dei valori assunti dal rumore n
0
si possono commettere errori
nella rivelazione dei dati; nasce pertanto spontaneo valutare le prestazioni del ricevitore in
termini della probabilità di errore definita dalla:
(I.3.5) P ˆ
e
= Pr{ dk
≠ d k }
dˆ
≠ d che corrisponde alla circostanza che il
e cioè alla probabilità che si verifichi l’evento { k k}
simbolo rivelato d
ˆ
k risulti diverso da quello d k inviato dalla sorgente.

- 4 - G. Mamola. Fondamenti di Comunicazioni Elettriche
Se con a 0 ed a1
si denotano le cifre corrispondenti ai simboli d = 0 e d = 1 rispettivamente,
in assenza di rumore il campione del segnale ricevuto r assume i valori o αa così
αa αa
come è mostrato in Fig. I.4. In presenza del rumore, il
0 λ
1
r campione r si identifica con un generico punto dell’asse
D 0
D 1
r . Una decisione può essere presa individuando un
Fig. I.4 – Costellazione dei segnali. valore di soglia λ e decidere a favore del simbolo d k = 0
( d k = 1 ) se il valore del campione ricevuto è inferiore (superiore) al valore della soglia λ . Con
riferimento alla Fig. I.4 il criterio di decisione comporta che dette D0 = { r : r < λ}
e
D = r r > λ le cosiddette regioni di decisione, si prende la decisione a favore del simbolo
1 :
{ }
nt ()
sincronismo
Canale + + r >λ
d ˆ
Campionatore Decisore
1 k
=
vt () rt ()
r
d ˆ 0
r k
=
λ⇒ dˆ k
= 1
se r < λ⇒ dˆ = 0
In base alla (I.3.4) è facile riconoscere che:
1) se è d k = 0 il simbolo trasmesso, si commette errore quando si verifica la condizione:
(I.3.7) r = a0α+ n >λ
ovvero quando è:
(I.3.8) n >λ−a0α
2) se è d k = 1 il simbolo trasmesso, si commette errore quando si verifica la condizione:
(I.3.9) r = a1α+ nλ | dk
= 0 + Pr { r λ−a α + Pr{ n

Cap. I – La trasmissione numerica in banda base - 5 –
Detta p n (n) la densità di probabilità del primo ordine associata alla variabile aleatoria n ,
la precedente può essere riscritta come:
1
(I.3.13)
P ∞ a
1 ( ) 1
e n n( )
2 p ndn λ− α
= ∫ +
a0
2
p ndn
λ− α ∫ −∞
Tale quantità dipende dal valore di soglia λ ; di conseguenza può determinarsi il valore ottimo
λ0
di λ che rende minimo la Pe
imponendo la condizione:
(I.3.14)
∂
P e
∂λ
λ=λ0
= 0
che in base alla (I.3.13) equivale alla:
pn
( λ−a0α )
(I.3.15) = 1
p ( λ−aα)
Se il rumore n(t) si suppone stazionario, gaussiano a valor medio nullo e varianza σ 2 , risulta:
n
1
(I.3.16)
e la condizione (I.3.15) dà luogo alla:
(I.3.17)
2
1 ⎡ n ⎤
pn
( n) = exp ⎢ − ⎥
2 2σ
0
2
2
πσ ⎣ ⎦
a
λ =α
Tenendo conto della (I.3.17), la (I.3.13) vale:
(I.3.18)
+ a
0 1
2 2
n
α
n
∞ −
2 − ( a
2 1−a0)
−
2 ∞
2σ
2σ
α
α
( a
2 1−a0) 2 −∞ 2
( a
2 1−a0)
1 1 1 1 1
Pe
=
2∫ e dn+ e dn
2 2∫ = ∫
πσ 2πσ 2πσ
che, ricordando l’espressione della funzione Qx ( ):
(I.3.19)
assume la forma:
(I.3.20)
2
1 ∞
u
2 /2
Qx ( ) = ∫ e −
du
x
2π P
⎛α
a
⎝σ
− a ⎞
2 ⎠
1 0
e
= Q ⎜ ⎟
Dall’esame della (I.3.20) si deduce che la probabilità di errore dipende dal parametro
α=q(τ) . Poiché la funzione Qx ( ) è una funzione decrescente del suo argomento, si raggiunge
una condizione ottima quando si sceglie τ pari all’istante in cui l’impulso di segnalazione
q(t)
raggiunge il massimo.
Nel caso di codifica unipolare, essendo a 0 = 0; a 1 = 1, la (I.3.20) diventa:
(I.3.21)
Pe
= Q ⎛ α ⎞
⎜ ⎟
⎝2σ
⎠
Ne caso di codifica bipolare, essendo a 0 = −1 ; a 1 = 1, si ottiene:
(I.3.22)
Pe
= Q ⎛α
⎞
⎜ ⎟
⎝σ
⎠
2
e
2
n
−
2
2 σ
dn
I.4 - Il ricevitore ottimo.
Come si deduce dalla (I.3.20) la probabilità di errore di rivelazione dipende, a parità di
forma di segnalazione, dalla quantità α attraverso la funzione Qx ( ) definita dalla (I.3.19).
σ
Poiché la funzione
Qx ( )
conclude che la massimizzazione della quantità
è strettamente decrescente all’aumentare del suo argomento, si
α
σ
conduce ad un ricevitore che fornisce le

- 6 - G. Mamola. Fondamenti di Comunicazioni Elettriche
migliori prestazioni in termini di probabilità di errore.
Canale
vt ()
nt ()
+ +
rt ()
sincronismo
H( f ) Campionatore Decisore
r
λ
r >λ
d ˆ 1
k
=
d ˆ 0
r k
=

Cap. I – La trasmissione numerica in banda base - 7 –
teristica del filtro ottimo:
(I.4.9)
j2
f
Ho
( f) = kQ*( f)
e − π τ
cui corrisponde la risposta impulsiva:
(I.4.10) h () t = Kq( τ− t)
o
dipendente dalla forma dell’impulso di segnalazione. Per questo motivo il filtro in questione
prende il nome di filtro adattato.
−T
0
q()
t
q( −t)
q( τ−t)
0 T t
τ−T 0 τ t
Fig. I.7 – Condizioni di causalità
per il filtro adattato.
(I.4.14)
0
0 t
La quantità γ o diventa:
(I.4.11)
2 ∞ 2 2 2 2E
γ
o
= Q( f ) df q ( t)
dt
N
∫
= =
N
∫T
O N
−∞
0 0
dove E rappresenta l’energia dell’impulso di segnalazione
q(t) .
Si noti infine che non sempre il filtro, definito dalla
(I.4.10) risulta fisicamente realizzabile, giacché la funzione
h o (t)
può violare la condizione di causalità espressa dalla
(I.4.12) h () t ≡ 0 per t < 0
o
Tuttavia, se q (t) è un impulso di durata T 0 , h o (t) risulta fisicamente
realizzabile solo se (v. Fig. I.7) è τ = T 0 . In tal caso
h o (t)
diventa:
(I.4.13) h () ( )
o
t = Kq T0
− t
Nel caso particolare in cui q (t) sia un impulso rettangolare
limitato nell’intervallo
T 0 , la risposta
∞
t
∫−∞
o ∫ t−T0
[ 0,T 0 ) , di altezza unitaria e durata
y(t ) del filtro adattato a un ingresso x(t ) è:
y( t) = x( t−λ) h ( λ) dλ= K x( λ)
dλ
che, nel generico istante di campionamento tk
= ( k + 1)
T0
vale:
(I.4.15)
( k+
1) T0
y( tk
) = K∫ x( λ)
dλ sincronismo
Un tale filtro può essere quindi realizzato da un integratore
il quale è azzerato negli istanti t k = (k + 1)T 0 ,
provenienti dal sincronismo generato al ricevitore, come è
mostrato in Fig. I.8.
Se q (t) ha una forma diversa dalla rettangolare ma pur
sempre limitata nell’intervallo
kT0
[ 0,T 0 ) il segnale in uscita
R
−
+
C
0
−RC
Fig. I.8 – Integratore - azzeratore.
dal filtro adattato, quando al suo ingresso è applicato il segnale x(t ) e valutato all’istante T 0 ,
vale:
(I.4.16)
∞
0
−∞
o 0
T0
0
∫ ∫ λ
yT ( ) = x( λ) h( T −λ) dλ = k x( λ) q( λ)
d
Dalla (I.4.15) si deduce che lo schema del ricevitore ottimo può assumere la struttura a
correlatore riportata in Fig. I.9, che comporta le operazioni di prodotto e successiva integrazione.
Rispetto alla struttura a filtro adattato lo schema a correlatore è più flessibile quando è
necessario variare la forma dell’impulso di segnalazione; in tal caso basta infatti generare al

- 8 - G. Mamola. Fondamenti di Comunicazioni Elettriche
ricevitore la sequenza Σ q(t − kT 0 ) senza dover sostituire il filtro come nel caso di ricevitore a
filtro adattato.
∑
qt ( − kT )
0
correlatore
t
() ⋅ dx Campionatore Decisore
∫0 sincronismo
λ
r >λ
d 1
ˆk
=
d 0
r
ˆk
=

Cap. I – La trasmissione numerica in banda base - 9 –
quella che si ottiene con codifica unipolare; per ottenere lo stesso valore di P e , infatti, la codifica
bipolare comporta una riduzione del rapporto
(10 log 10 2 dB ) e cioè 3 dB.
E m
N
0
di 2 che espresso in dB vale circa
I.5 - Codifica PAM multilivello.
I.5.1 - Codifica di Gray.
Nel caso di codifica multilivello i simboli a possono assumere valori appartenenti ad un
alfabeto composto da M elementi distinti.
n
Supponendo che i simboli a siano distribuiti simmetricamente rispetto allo zero e che la
distanza fra un livello e il successivo sia 2 si ha:
(I.5.1) a = 2 n−( M − 1) n = 0, 2, …, M −1
n
n
La codifica multilivello può essere usata nella trasmissione di dati binari. In tal caso le
cifre d del messaggio sono raggruppate in blocchi di m elementi ed ad ogni configurazione
n
di cifre si fa corrispondere un valore a scelto fra
(I.5.2)
M =
n
possibili secondo opportune regole all’uopo stabilite. Così ad esempio nel caso di codifica a
M = 4 livelli, adottando lo schema di codifica riportato nella Tab. I.1, il segnale numerico assume
la forma indicata in Fig. I.11.
2 m
Tabe lla I.1 d 00 11 10 01 01 11
d
n − 1
d
n
0 0
0 1
1 1
1 0
a
n
-3
-1
1
3
3
1
−1
−3
() vt
Fig. I.11 - Codifica multilivello.
t
Codici di questo tipo sono detti codici di Gray. Essi sono caratterizzati dal fatto che sequenze
binarie corrispondenti a due livelli contigui differiscono solo per un bit.
Si noti che, con m = 4 risulta T 0 = 2T d . Più in generale è T 0 = mT d e di conseguenza la velocità
di modulazione vale:
(I.5.3)
e risulta inferiore al ritmo binario
1 1 r
R = = =
T T log M log M
0 d 2 2
r . È da osservare, però, che se i livelli a sono equiprobabili,
l’informazione media associata ad ogni simbolo a è log 2 M , cosicché la velocità
d’informazione risulta pari a
I.5.2 - Probabilità di errore.
R⋅log 2
M = r
n
come nel caso della trasmissione binaria.
Nel caso di codifica multilivello è opportuno far distinzione fra la probabilità di errore per
P = Pr d ˆ ≠ d e la probabilità di errore per simbolo M -ario data dalla
bit definita dalla eb { k k }
P = Pr{
aˆ
≠ a }. In generale è complicato mettere in relazione le due probabilità di errore;
e
k
k
n

- 10 - G. Mamola. Fondamenti di Comunicazioni Elettriche
tuttavia se si adotta una codifica di Gray e se si considera trascurabile la probabilità che si
rilevi un livello non adiacente da quello trasmesso, la probabilità di errore per bit sarà allora
data dalla
Pe
Pe
(I.5.4)
Peb
= =
m log 2
M
Per valutare la probabilità di errore per simbolo basta ricordare che, nell’ipotesi che il canale
di trasmissione sia ideale, il segnale in ingresso al demodulatore è:
(I.5.5) r = α a+
n
essendo, come prima, r ed n i valori dei campioni del segnale ricevuto e del rumore
nell’istante di campionamento t = k T + t +τ. L’attenuazione di canale α , come precedentemente,
è pari a q (τ) ed a denota il generico simbolo
k
0
d
M -ario trasmesso.
Seguendo lo stesso criterio di decisione adottato per il caso binario, il ricevitore decide sul
simbolo a n trasmesso secondo il
valore assunto dal segnale ricevuto α ( a + 1)
α( a 1)
α( a 1
0
n
− α ( a n
+ 1)
M −
−
1
)
... ...
r . Se i livelli trasmessi sono αa r
0
αa n
αa
M − 1
equiprobabili le soglie di decisione D 1
D n
D M−1
hanno valori intermedi tra cifre
Fig. I.12 – Regioni di decisione.
adiacenti per cui la decisione sul livello a n è presa:
α( a −1), α ( a + 1)
;
a) per i livelli intermedi, se r è contenuto nell’intervallo ( n
n ]
b) per i livelli terminali, si decide a favore del livello a0
se r cade in ( , ( a0 1)
]
del livello a − se r è contenuto in [ α( − ), +∞ ) . (v. Fig. I.12).
M
1
aM
− 1 1
−∞ α + e a favore
Detto allora D
n
( n = 0, 2, …, M −1)
il generico intervallo di decisione è:
(I.5.6)
M −1
1
Pe
= ∑ Pr { r∉Dn
| a =an}
M n=
0
in cui
(I.5.7) Pr{ r∉ Dn | a = an} = Pr { r α ( an + 1) | a = an}
=
= Pr{ r α ( an
+ 1) | a = an } =
= Pr{ nα}
1 ≤ n ≤ M − 2
r ( a 1)| a a r >α ( a + 1)| a = a sono
dove si è tenuto conto del fatto che gli eventi { α ( a0 + 1)| a = a0} = Pr{ n>α)}
(I.5.8)
Pr{ r∉ D | a = a } = Pr{ r

Cap. I – La trasmissione numerica in banda base - 11 –
tà si ottiene in presenza di filtro adattato. Supponendo che il rumore introdotto dal canale
0
sia bianco e con densità spettrale pari a N
, il minimo della P eb è dato dalla:
1
P eb
1
10 − 2
10 − 3
10 − 4
10 −
M=2
0 5 10 15
N [ dB]
0
Fig. I.13 - Probabilità di errore per segnali
PAM multilivello in funzione di
/ N .
EM
0
P eb in funzione di
4
8
E M
32
16
2
(I.5.12)
P
eb
M −1 ⎛ 2E
⎞
= 2 Q
M log2 M ⎜
N ⎟
⎝ 0 ⎠
Introducendo anche in questo caso l’energia media
per simbolo, definita dalla:
M
2
2 1 ⎡ 2⎤
M −1
(I.5.13) EM = E{ an}
E = an
E
M
⎢∑
⎥ = E
⎣n
= 1 ⎦ 3
in cui E denota l’energia dell’impulso di segnalazione
in arrivo dal canale.
E / N per diversi valori di M .
M
0
In termini dell’energia media per simbolo la
probabilità di errore per bit vale:
M −1 ⎛ 6 E ⎞
(I.5.14) Peb
= 2 Q
2
M log2 M ⎜
M 1 N ⎟
⎝ −
0 ⎠
In Fig. I.13 sono rappresentati gli andamenti della
I.6 – Trasmissione su canali reali.
Nei casi reali il canale di trasmissione introduce distorsioni ed il segnale è corrotto da disturbi
ed interferenze provenienti da altre trasmissioni; cosicché, supponendo il canale lineare
e tempo invariante e il rumore introdotto di tipo additivo, si può scrivere:
(I.6.1) rt () = aqt ( −nT− t) + nt ()
∞
∑
n=−∞
n
in cui q (t ) denota la risposta del canale all’impulso di segnalazione p(t) ed n(t ) il rumore in
1
uscita. Nella (I.6.1) t denota il ritardo introdotto dal canale, la velocità di modulazione e
d
a la sequenza numerica trasmessa in cui le cifre a
n
appartengono ad un alfabeto ad M
dimensioni. Supponendo che il ricevitore si avvalga di un perfetto sincronismo, il valore r k
di r(t ) all’istante t = kT
+ t +τ si può porre nella forma:
(I.6.2)
k
d
∞
∑
r = a q() τ + a q[( k− n) T +τ ] + n( t )
k k n k
n=−∞
( n ≠ k )
Nella (I.6.2) si distinguono tre termini:
- la quantità a kq(τ) che costituisce il segnale utile dato che essa è proporzionale al valore a k
del simbolo che si vuole rivelare;
- la quantità ∑ aq [( k n
− nT ) +τ]
che tiene conto della presenza di tutti i simboli a della se-
n≠k k
quenza trasmessa, eccetto il k -esimo, e che pertanto costituisce la cosiddetta interferenza
d’intersimbolo (ISI InterSymbol Interference);
(I.6.3) itk = ∑ aq
n [ k− nT+τ ] = ∑ ak−mqmT+τ
∞
( ) ( ) ( )
n=−∞
m=−∞
k≠n m≠0
- la quantità n (t k ) che tiene conto del rumore introdotto dal canale.
Se l’impulso di segnalazione p(t) si suppone nullo per t < 0, la condizione di causalità
imposta al canale comporta che q(t) = 0 per t < 0 cosicché l’interferenza d’intersimbolo diven-
d
∞
T

- 12 - G. Mamola. Fondamenti di Comunicazioni Elettriche
k−1
ta ∑ [( ) ] dato che tiene conto soltanto di tutti gli elementi della sequenza che
n=−∞ aq k− nT+τ
a
n
precedono quello di posto k . Poiché il termine i (t k ) può ritenersi indipendente dal rumore
additivo n(t k ) , il segnale utile è allora corrotto da un disturbo equivalente i (t k ) + n(t k ) la cui
potenza specifica è maggiore di quella del solo rumore n (t k ) ; ciò comporta quindi un incremento
della probabilità di errore P e .
I.7 - Condizione di Nyquist.
Allo scopo di migliorare le prestazioni di un sistema di trasmissione numerica in presenza
di ISI è opportuno realizzare le condizioni che consentono di annullare l’interferenza
d’intersimbolo; supponendo, per semplicità, che sia τ = 0, tale condizione può essere realizzata
solo se l’impulso ricevuto q (t) sia tale da aversi:
⎧α m = 0
(I.7.1)
qmT ( ) = ⎨
⎩ 0 m ≠ 0
Nel dominio della frequenza le (I.7.1) corrispondono alle:
∞
j2πmfT
⎧α
(I.7.2)
qmT ( ) = ∫ Q( f)
e df=⎨ −∞
⎩ 0
dove Q( f ) denota la trasformata di Fourier dell’impulso q (t) .
Poiché il termine esponenziale che compare nella (I.7.2) è una funzione di f periodica di
k 1
,
T 2 T T 2T
m = 0
m ≠ 0
periodo 1 , conviene segmentare l’intervallo di integrazione nell’insieme numerabile di inter-
T
k 1
valli contigui del tipo − ⎡⎣
+ ⎤ ⎦ di ampiezza 1 . Si ha allora:
T ∞ 1 1 1
2 k
+ (
0
)
2 2
T
T T j πmfT
∞ j π m f + T
2T
k
qmT ( ) = ∑∫
Q( f)
e df= Q( f ) e df
1 1 ∑
−
∫ +
=
− 1
T
k=−∞
T 2T k=−∞
2T
(I.7.3)
dove si è fatto uso della trasformazione
1 ∞
1
2T
j2πmfT 2T
j2πmfT
k
( )
( )
1 ∑
−
T ∫−
1 eq
2T
k =−∞
2T
∫
= Q f + e df = Q f e df
f
→ f − e si è posto:
∞
(I.7.4) Q ( )
k
eq
f = ∑ Q( f + )
k =−∞
Poiché, come è facile riconoscere, la funzione Q eq ( f ) è una funzione periodica in f con
periodo 1 T
(I.7.5)
essa pertanto potrà essere espansa nella seguente serie di Fourier:
il cui generico coefficiente C n vale:
(I.7.6)
∞
k
T
Qeq
( f)
= ∑ Cne
n=−∞
T
j2πnfT
1
2T
− j2πnfT
Cn
= T∫
Q ( )
1 eq
f e df
−
2T
che, tenendo conto delle(I.7.1) e (I.7.3), si riduce alla
⎧αT
n =
(I.7.7)
Cn
= ⎨
⎩ 0
n ≠
Di conseguenza, per la (I.7.5), la Q eq ( f ) diventa,
∞
(I.7.8)
k
∑ Q( f )
k =−∞
0
0
+ =αT
T
che costituisce la cosiddetta condizione di Nyquist.
Se il canale di trasmissione si suppone a banda limitata, la funzione Q( f ) deve essere tale
da aversi:

Cap. I – La trasmissione numerica in banda base - 13 –
(I.7.9) Q( f) ≡ 0 per | f | > B
essendo B l’ampiezza di banda del canale. Di conseguenza, come si rileva dalla (I.7.8) la
possibilità di annullamento dell’interferenza d’intersimbolo dipende dai valori della banda B
1
del canale e dalla velocità di modulazione R = . T
Qf+ ( 1 Q(f )
T) Qf− ( 1 T)
… … a)
1
T
− B
B
1
T
f
Qf+ ( 1 Q(f )
T) Qf− 1 T
…
1
T
− B
B
f
Fig. I.17 - Condizioni per l’annullamento dell’interferenza d’intersimbolo
1
T
( )
…
b)
Si deduce infatti dalla Fig. I.17,a) che se risulta
non può essere
soddisfatta. Se è:
(I.7.10)
è possibile rendere Q eq ( f )
aversi:
1 > 2B la condizione (I.7.8)
T
1 2B
T ≤
costante a patto di sagomare la forma di Q( f ) in modo tale da
1
( ) ( )
T
( ) 1
( )
1
Q f + + Q f =αT
−
T
≤ f ≤ 0
(I.7.11)
1
Q f + Q f − =αT
0 ≤ f ≤
T
T
Ponendo f =ϕ−
1 nella prima delle (I.7.11) e f =ϕ+
1 nella seconda, le precedenti si
2T
2T
riducono alle (scrivendo f al posto di ϕ ):
(I.7.12)
*
Q( 1 + f ) + Q 1 1
( f − 1 ) = Q( 1 + f ) + Q ( 1 − f
2 2 2 2 ) =α T ( − ≤ f ≤
T T T T
2T
2T)
che costituisce la cosiddetta condizione di simmetria vestigiale.
Denotando con ϑ ( f ) l’argomento della Q( f ) , dalla precedente si ottiene:
1 ( ) ( )
( ) ( ) j ϑ 1 + 1
2T
f 1
− j ϑ −
2T
(I.7.13)
Q + f e + Q − f e
f
=αT
2T
2T
che è soddisfatta quando è:
(I.7.14)
( 2T
) ( 2T
)
1 1
( ) ( )
ϑ 1 + f =ϑ 1 − f = 2kπ
Q + f + Q − f = αT
2T
2T
In conclusione se tra i valori di B e T sussiste la disuguaglianza (I.7.10) è possibile trasmettere
su canali a banda limitata in assenza di interferenza d’intersimbolo; occorre in tal
caso inserire all’uscita del canale un filtro opportuno detto filtro equalizzatore tale che

- 14 - G. Mamola. Fondamenti di Comunicazioni Elettriche
l’impulso di segnalazione q (t) , in uscita dalla cascata canale-filtro equalizzatore, soddisfi le
condizioni (I.7.8).
Normalmente le condizioni (I.7.8) sono ottenute sagomando Q( f ) secondo la forma detta
a coseno rialzato:
⎧αT
⎪
⎪ 2 πT
⎛ 1−β⎞
(I.7.15) Q( f) = ⎨αTcos ⎜| f | −
2 2T
⎟
⎪ β ⎝ ⎠
⎪
⎩0
Qf ( )
αT
1
0,8
0,6
0,4
0,2
1
8
1
4
12
2Tβ=
1
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2fT
Fig. I.19 - Caratteristiche a coseno
rialzato a parità di banda.
1−β
| f | ≤
2T
1−β 1+
β
2T
≤| f | ≤
2T
1+β 2T
≤ | f |
in cui la quantità β che compare nella (I.7.15), nota come
coefficiente di roll-off, può assumere valori compresi fra 0
qt ()
αT
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
Qf ( )
1
αT
8
1 1
4
0,8
1
0,6 2
β=1
0,4
0,2
0
0 0,5 1 1,5 2 2fT
Fig. I.18 - Caratteristiche a coseno
rialzato per diversi valori di β .
e 1.
Q( f)
In Fig. I.18 sono riportati gli andamenti di per alcuni valori di β . La banda del segnale
Q( f ) è in tal caso pari a B = . Per β = 0 la (I.7.15) si riduce ad un rettangolo con
αT
1+β
2T
B =
1 mentre per β = 1, la banda B vale 1 .
2T
T
Se si riguardano tali caratteristiche mantenendo costante la banda B del segnale si ottengono
le curve di Fig. I.19 in cui il parametro di roll-off misura lo scostamento di 1
T da B .
(I.7.16)
e sono rappresentati in Fig. I.20 dalla quale si
deduce infine che al tendere di t all’infinito la q (t)
1
va a zero secondo la legge
πt
. Da ciò
2
⎛2βt
⎞
1− ⎜
T
⎟
⎝ ⎠
consegue che un’incertezza sul sincronismo induce
un’interferenza che è tanto limitata quanto
maggiore è il parametro β . Per β = 0 , l’interferenza
Dalla Fig. I.19 si rileva allora che è possibile trasmettere un
segnale numerico in modo da annullare l’interferenza
1
d’intersimbolo finché si ha B
2T ≤ . La massima velocità di
trasmissione si ottiene con caratteristiche di forma
rettangolare e risulta R = 2B
.
Nel dominio del tempo, gli impulsi a coseno rialzato assumono
la forma:
⎛2πβt
⎞
cos⎜
⎟
T
qt () =αT
⎝ ⎠
sinc
t
2 ( )
⎛2βt
⎞ T
1− ⎜ ⎟
⎝ T ⎠
1
8
1
2
β=1
1 2 3
t
T
Fig. I.20 - Impulsi q(t) corrispondenti a caratteristiche
a coseno rialzato.
può assumere valori inaccettabili. La segnalazione
con impulsi q (t) sagomati secondo la funzione sinc consente pertanto la massima velocità di
trasmissione, ma è particolarmente critica riguardo a possibili errori nella ricostruzione del
sincronismo.