Trasmissione numerica in banda base

- 12 - G. Mamola. Fondamenti di Comunicazioni Elettriche
k−1
ta ∑ [( ) ] dato che tiene conto soltanto di tutti gli elementi della sequenza che
n=−∞ aq k− nT+τ
a
n
precedono quello di posto k . Poiché il termine i (t k ) può ritenersi indipendente dal rumore
additivo n(t k ) , il segnale utile è allora corrotto da un disturbo equivalente i (t k ) + n(t k ) la cui
potenza specifica è maggiore di quella del solo rumore n (t k ) ; ciò comporta quindi un incremento
della probabilità di errore P e .
I.7 - Condizione di Nyquist.
Allo scopo di migliorare le prestazioni di un sistema di trasmissione numerica in presenza
di ISI è opportuno realizzare le condizioni che consentono di annullare l’interferenza
d’intersimbolo; supponendo, per semplicità, che sia τ = 0, tale condizione può essere realizzata
solo se l’impulso ricevuto q (t) sia tale da aversi:
⎧α m = 0
(I.7.1)
qmT ( ) = ⎨
⎩ 0 m ≠ 0
Nel dominio della frequenza le (I.7.1) corrispondono alle:
∞
j2πmfT
⎧α
(I.7.2)
qmT ( ) = ∫ Q( f)
e df=⎨ −∞
⎩ 0
dove Q( f ) denota la trasformata di Fourier dell’impulso q (t) .
Poiché il termine esponenziale che compare nella (I.7.2) è una funzione di f periodica di
k 1
,
T 2 T T 2T
m = 0
m ≠ 0
periodo 1 , conviene segmentare l’intervallo di integrazione nell’insieme numerabile di inter-
T
k 1
valli contigui del tipo − ⎡⎣
+ ⎤ ⎦ di ampiezza 1 . Si ha allora:
T ∞ 1 1 1
2 k
+ (
0
)
2 2
T
T T j πmfT
∞ j π m f + T
2T
k
qmT ( ) = ∑∫
Q( f)
e df= Q( f ) e df
1 1 ∑
−
∫ +
=
− 1
T
k=−∞
T 2T k=−∞
2T
(I.7.3)
dove si è fatto uso della trasformazione
1 ∞
1
2T
j2πmfT 2T
j2πmfT
k
( )
( )
1 ∑
−
T ∫−
1 eq
2T
k =−∞
2T
∫
= Q f + e df = Q f e df
f
→ f − e si è posto:
∞
(I.7.4) Q ( )
k
eq
f = ∑ Q( f + )
k =−∞
Poiché, come è facile riconoscere, la funzione Q eq ( f ) è una funzione periodica in f con
periodo 1 T
(I.7.5)
essa pertanto potrà essere espansa nella seguente serie di Fourier:
il cui generico coefficiente C n vale:
(I.7.6)
∞
k
T
Qeq
( f)
= ∑ Cne
n=−∞
T
j2πnfT
1
2T
− j2πnfT
Cn
= T∫
Q ( )
1 eq
f e df
−
2T
che, tenendo conto delle(I.7.1) e (I.7.3), si riduce alla
⎧αT
n =
(I.7.7)
Cn
= ⎨
⎩ 0
n ≠
Di conseguenza, per la (I.7.5), la Q eq ( f ) diventa,
∞
(I.7.8)
k
∑ Q( f )
k =−∞
0
0
+ =αT
T
che costituisce la cosiddetta condizione di Nyquist.
Se il canale di trasmissione si suppone a banda limitata, la funzione Q( f ) deve essere tale
da aversi: