Il dominio della frequenza

Capitolo II
RAPPRESENTAZIONE DEI SEGNALI
NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA.
II.1 - Segnali periodici.
Un segnale, rappresentato da una funzione reale o complessa s(t) di variabile reale t , si
dice periodico se esistono valori di T tali che, per ogni t , si abbia:
(II.1.1) s() t = s( t+
T)
È immediato verificare che se T è una soluzione della (II.1.1) tutti i suoi multipli soddisfano
la (II.1.1). Il minimo valore positivo dei valori di T che soddisfano la (II.1.1) è definito
periodo fondamentale T 0 , o più semplicemente periodo, del segnale.
Un segnale periodico è manifestamente un segnale a potenza finita. Infatti è:
T
kT0
+τ
1
2 2 1
2 2
(II.1.2)
P = lim | s( t) | dt lim | s( t) | dt
T
kT0
+τ
T→∞
T∫ =
−
k→∞
kT +τ∫
−
2 2
dove si è posto T = kT 0 +τ (k intero e 0 ≤ τ < T 0 ). Dalla precedente si ottiene:
(II.1.3)
kT0 kT0 kT0+τ
1 ⎧ −
⎫
2 2 2
2
P = lim ⎨
s( t)
dt
kT0+τ
kT0 kT0
k→∞
kT ∫
+
− ∫
+
− ∫ ⎬ =
0 +τ⎩ 2 2 2 ⎭
T0 kT0
kT0+τ
k
2 2 1 ⎧ −
2 0
2
2 2 ⎫
= lim s() t dt+ lim () ()
T0 ⎨ s t dt+
s t dt
kT0+τ
kT0
⎬
k→∞
kT
−
0 +τ ∫
k→∞
2 kT ∫−
∫
0 +τ⎩ 2 2 ⎭
0
Poiché è
(II.1.4)
∫
T0
2
0 ≤ st ( ) dt

- 20 - G. Mamola: Fondamenti Comunicazioni Elettriche
cosicché, scegliendo la seguente base di funzioni ortonormali:
1 2π
t
0
(II.1.9) un
( t) e rect ( T )
j n
= T t
( n = 0, ± 1, ± 2, …)
T
0
che, come è possibile dimostrare 1 , è completa per qualsiasi segnale ad energia finita e confinato
nell’intervallo (
T
)
0 T
,
0
2 2
0
− può essere espanso nella seguente serie di funzioni:
∞
1
j2πn t
0
(II.1.10) s ( ) T
rect (
t
T t = ∑ αne
T )
dove i coefficienti α valgono:
n
(II.1.11)
T
0 0
0 n=−∞
∞
1
α n = ( sT , u ) ( ) ( ) ( )
0 n = ∫ n =
−∞
T
−j2πn t
T
T0
*
2
0
s tu tdt ∫ ste dt
T
−
0
2
0
Sostituendo la (II.1.10) nella (II.1.7) si ottiene:
(II.1.12)
∞ ∞ ∞
t−mT
π
1
st s t mT e
T
t−mT
( T )
t−mT0
( )
0
j2
n
T0
( ) = ∑ T ( −
0 0) = ∑ ∑ αn rect
T0
m=−∞ 0 m=−∞ n=−∞
1
∞ ∞ j2πn
t
T
0 0
= α ne
=
0
T
∑
0 m=−∞
∞
0 n=−∞
rect
1
= ∑ αne
T
j2πn t
T
0
∑
n=−∞
dove si è tenuto conto della periodicità dell'esponenziale complesso e j 2πn t
T 0
∞
rect t−mT0
∑ =
T
1 .
m=−∞
( )
0
Ponendo infine
1
(II.1.13) f0
=
T
e
(II.1.14)
Sn
T0
1 2 −j2πnf0t
= s()
t e
T ∫ dt
0
T
− 0
2
0
=
e che è
la (II.1.12) assume la forma:
j2π
0
(II.1.15) st () = ∑ Se n
∞
n=−∞
che costituisce la ben nota espansione di un segnale periodico in serie di Fourier espressa
in forma esponenziale o euleriana.
È bene osservare che, a causa della periodicità del segnale s(t) , l'integrale che compare
nella (II.1.14) può essere esteso ad un qualsiasi intervallo purché di durata T 0 .
È opportuno precisare che la serie a secondo membro della (II.1.15) converge al segnale
s(t) in media quadratica. Ciò significa che la distanza euclidea fra il segnale s(t) e la ridotta
N -esima della serie tende a zero al crescere di N e cioè:
(II.1.16)
nf t
2
T0
N
2
−j2πnf0t
lim st ( ) Se 0
T0
n dt
N →∞∫
− ∑
=
− 2 n=−N
Per quanto riguarda la convergenza puntuale è facile dimostrare che la serie converge ad
s(t) in tutti i punti in cui il segnale è continuo; negli eventuali punti di discontinuità t =τ la
1 cfr.: F. G. Tricomi: Istituzioni di analisi superiore. Edizioni Cedam. Padova. 1964.

Cap. II – Rappresentazione dei segnali nel dominio della frequenza - 21-
serie converge al valore 1 ⎡
+ −
s( τ ) + s( τ ) ⎤
2 ⎣
⎦
e cioè al valore medio fra i limiti destro e sinistro in
corrispondenza della discontinuità.
S n
ϑ n
a)
b)
n
n
Il coefficiente S è una quantità complessa cosicché
può essere posto nella forma:
j n
(II.1.17) S = | S | e ϑ
n
n
in termini cioè del modulo S n e dell'argomento ϑ n .
Si deduce dalla (II.1.15) che la conoscenza
dell'insieme dei coefficienti S consente di ricostruire
il
segnale
n
n
s(t) . Ciò suggerisce una particolare
rappresentazione grafica del segnale ottenuta con dei
diagrammi in cui sono riportati i moduli S e gli
argomenti ϑ n di S in funzione di n . Tali diagrammi
normalmente indicati come spettri di ampiezza e di
Fig. II.1 - Spettri di ampiezza a) e di fase
b) di un segnale reale.
fase del segnale s(t) , sono anche rappresentati in
termini della frequenza f n = nf 0 della generica armonica del segnale s(t) .
n
n
Esempio E.II.1.
Si consideri la sequenza periodica di impulsi rettangolari
di durata T e periodo mostrata in Fig. E.II.1.
Nell’intervallo
t
( )
(
0
−
T T0
,
2 2
st ( ) = rect . Il coefficiente vale:
T
n
T 0
). Il segnale è descritto dalla
S n
⎛
sin
T
⎜πn
T ⎟
⎝ 0 ⎠
T
t
1 − j2 πn ( n 0)
2 T
⎪
≠
0
∫ T ⎨
T
−
2
0
⎪ T
( n = 0)
⎪ T0
S = e dt = πn
⎧
⎞
s(t )
T
1
… …
−T 0
T 0
Fig. E.II.1
⎩
che, ricordando la definizione della funzione sinc( x ) , può essere riscritto come segue:
S
n
=
T
sinc
T
⎛
⎜
⎝
n
T
T
0 0
⎞
⎟
⎠
t
II.2 - Somma di Poisson.
Si consideri la seguente successione di delte di Dirac traslate.
(II.2.1)
∞
∑
δ = δ( t−nT
)
T0 0
n=−∞
Essa costituisce una distribuzione periodica di periodo T 0 . Poiché il coefficiente dello sviluppo
in serie di Fourier della (II.2.1) vale:
(II.2.2)
1 −j2πn t
T 1
T0
2
0
Sn
∫ () t e dt
T
−
0
2
= δ =
T
T
0 0
lo sviluppo in serie di Fourier della (II.2.1) dà luogo alla seguente somma di Poisson:
1 j2πn 0
(II.2.3) e T
T
∞
0 n=−∞
t
∑ ∑ nT
∞
= δ( t−
)
n=−∞
0

- 22 - G. Mamola: Fondamenti Comunicazioni Elettriche
II.3 – La trasformata di Fourier.
Sia s(t) un segnale ad energia finita e sia s T (t) il corrispondente segnale troncato definito
dalla (v. Fig. II.1):
t
(II.3.1) sT
() t = s() t ⋅ rect( )
Il segnale s T (t) oltre ad energia finita è a durata limitata e
T
s T
(t)
pertanto, come già osservato al par II.1, può essere espanso
in termini del seguente insieme di funzioni orto-nornali:
1 j2πn t
T t
(II.3.2) un
( t) = e rect ( ) ( n = 0, ± 1, ± 2, …)
T
T
come segue:
⎡
∞
(II.3.3) ( ) j2 π n t
rect ( ) 2 t
T t ⎢
j π n T ⎥ t
sT t = ⎢∑ Sne ⎥ = T Sne
rect
T ⎢∑
⋅
⎥ ( T)
con
(II.3.4)
⎣
n=−∞
Sn
⎤
⎦
T
2
1
T
⎡
∞
⎢⎣n=−∞
T
1 2 −j2πn
t
T
= s()
t e
T ∫
dt
−
È evidente che se si fa tendere T ad infinito s T (t) tende a s(t) :
(II.3.5) s() t = lim s () t
T →∞
T
T
2
T
2
s(t) t
Fig. II.1 – Segnale ad energia
finita e segnale troncato.
Per effettuare il passaggio al limite su indicato basta osservare che, al crescere di T , le
quantità
n
1
fn
= tendono a addensarsi nel senso che la differenza Δ f = tra due termini
T
T
consecutivi tende a zero; f n tende così ad identificarsi con una variabile continua f e
il corrispondente incremento df . In base a tali considerazioni, dalla (II.3.4) si deduce che la
quantità T ⋅ S n tende, al divergere di T , alla seguente funzione di f :
(II.3.6)
∞
− j2πft
S( f) =
∫
s( t)
e dt
−∞
mentre, dalla (II.3.5), tenendo conto della (II.3.3), discende:
(II.3.7)
∞
2
() S( f) e
j π ft
−∞
s t
=
∫
df
Le (II.3.6) e (II.3.7) costituiscono le espressioni della trasformata e antitrasformata di
Fourier rispettivamente.
È opportuno precisare che la trasformata di Fourier di un segnale ad energia finita è definita
dalla:
T
2 −j2πft
(II.3.8)
S( f) = lim
∫
s( t)
e dt
T
T →∞ −
dove il limite deve intendersi in accordo con la metrica definita nello spazio dei segnali. Ciò
equivale a dire che la trasformata di Fourier del segnale s(t) si deve intendere quella funzione
S ( f ) la cui distanza euclidea da ∫ s(t)e − j2πn t T
T
2
dt tende a zero al crescere di T ; e cioè se:
(II.3.9)
Tuttavia se il segnale s(t) è rappresentato da una funzione sommabile e cioè tale che risulti:
− T 2
T
2 j2
n
t
T
lim S( f) s( t) e dt df 0
T
→∞∫ −
−∞ ∫
=
−
2
T
∞ − π
2
2
⎤
⎥⎦
1
T
con

Cap. II – Rappresentazione dei segnali nel dominio della frequenza - 23-
(II.3.10) st () dt< ∞
poiché è:
(II.3.11)
∫
∞
−∞
∞
−j2πft
∞
∫−∞
∫
∞
−∞
S( f) = s() t e dt ≤ s()
t dt <
il limite (II.3.9) può essere effettuato come segue:
(II.3.12)
T
2 −j2πft
lim S( f) − s( t) e dt 0
−T
→∞
∫
=
2
T
2
T
che equivale a dire che la convergenza dell’integrale ∫ s(t)e − j2πn Tdt
t è uniforme.
Considerazioni analoghe valgono per l’antitrasformata di Fourier.
La trasformata e l’antitrasformata di Fourier, nel contesto, vengono a volte indicate come
segue:
− j2
(II.3.13) { }
−
(II.3.14) F { }
− T 2
πft
S( f) = F st () =
∫
ste () dt
−∞
1 ∞
( ) ( ) ( ) j2
π ft
s t = S f =
∫
S f e
−∞
la trasformata di Fourier di un segnale è, in generale una funzione complessa. Essa pertanto
può essere rappresentata in una delle due forme seguenti:
j ( f )
(II.3.15)
S( f) = S ( f) + jS ( f) = S( f)
e ϑ
R
I
I diagrammi che riportano gli andamenti di S( f ) e ϑ( f ) in funzione della frequenza prendono
il nome di spettri di ampiezza e di fase del segnale s(t) .
∞
df
Esempio E.II.2
• Impulso rettangolare.
• Impulso esponenziale.
T
∞
t
t
2
{ (
T)
} ∫ (
T) ∫ T
−∞
− j2πft − j2πft
−
F rect = rect e dt = e dt = Tsinc( fT)
t
t
1
− ∞ − 2
( 2
T T
− π
∞ − + πf T
) t
{ () } ()
∫
2
j ft T
∫0
F ute = ute e dt= e dt= −∞
1 + j2
π fT
• Impulso cisoidale tempo limitato.
t
1
t j2 2 2 ( )
{ ( ) } π T
j f t
T
T
∫
π −
T
F rect e = e dt = T sinc(1 − fT)
T
−
2
II.4 – Proprietà della trasformata di Fourier.
In quel che segue sono dedotte talune fondamentali proprietà della trasforma di Fourer di
un segnale.
• Proprietà 1. Segnali reali.
Se s(t) è reale dalla condizione s() t = s*()
t discende;
*
2 2 2
(II.4.1)
∞ j πft j ft j ft j ft
S( f) e df
⎛
∞ π
S( f) e dt
⎞
∞ − π
S*( f) e df ∞
2π
∫
= ⎜
⎟ = = S*( −f)
e df
−∞ ⎝∫−∞ ⎠
∫−∞ ∫−∞
dove si è operata la trasformazione f
→− f
(II.4.2) S( f) = S*( − f)
. Dalla precedente si deduce
che comporta che
(II.4.3)
S( − f) = S( f)
ϑ− ( f ) =−ϑ(
f )

- 24 - G. Mamola: Fondamenti Comunicazioni Elettriche
S(f )
ϑ( f)
Fig. II.2 – Spettri di ampiezza e fase di un
segnale reale.
e reciprocamente, dalla (II.3.14) si ottiene:
1
n
n
−
⎧⎪ ⎫⎪ −
F ⎨∑aS( ) 1
i i f ⎬ = ∑aiF
Si( f)
⎪⎩i= 1 ⎪⎭
i=
1
(II.4.5) { }
• Proprietà 3. Area del segnale.
Ponendo f = 0 nella (II.3.13) si ha:
(II.4.6) S(0) =
∫
s( t)
dt
• Proprietà 4. Area della trasformata.
Ponendo t = 0 nella (II.3.14) si ha:
(II.4.7) s(0) =
∫
S( f)
df
• Proprietà 5. Simmetria.
(II.4.8)
Cambiando t in −t nella (II.3.14) si ha:
f
e cioè gli spettri di ampiezza e di fase sono
funzioni rispettivamente pari e dispari della frequenza
come è indicato schematicamente in Fig.
II.2.
• Proprietà 2. Linearità.
Dalla (II.3.13) si ha ovviamente:
⎧
n
n
⎪ ⎫⎪ (II.4.4) F ⎨∑as i i() t ⎬ = ∑aiF{ si()
t}
⎪⎩i= 1 ⎪⎭
i=
1
∞
∞
∞
−∞
−∞
− j2πft
s( − t) =
∫
S( f ) e df
che, operando la sostituzione t → f e f → t si muta nella:
− j2πft
(II.4.9) s( − f) = S() t e dt = { S()
}
• Proprietà 6. Segnale coniugato.
Risulta:
(II.4.10) F { }
• Proprietà 7. Trasformata coniugata.
Si ha:
(II.4.11) F { }
∞
−∞
−∞
∫
F t
*
*
∞
* −j2πft ∞
j2 πft
*
s () t = s () t e dt
⎡
s() t e dt
⎤
∫
= = S ( )
−∞
⎢⎣∫−∞
⎥
−f
⎦
∞
j ft
∞
j ft
S ( f) = S ( f) e df
⎡
S( f) e df
⎤
∫
= = s ( −t)
−∞
⎢ ⎣∫−∞
⎥ ⎦
−1 * * 2π − 2 π
*
• Proprietà 8. Traslazione nel dominio del tempo.
È:
∫
∞
− j2πft − j2πft ∞
− j2πfτ
− j2πft
(II.4.12) { }
0 0
F
s( t− t ) = s( t− t ) e dt = e s( τ) e dτ=
e S(
f)
0 0
−∞
dove si è introdotto il seguente cambiamento di variabili τ = t − t 0 .
• Proprietà 9. Traslazione nel dominio della frequenza.
È:
−1 ∞
j2πft j2πf t
∞
j2πϕt
j2πf t
− 0 =
∫
− 0 = ϕ ϕ=
−∞
∫−∞
(II.4.13) { }
0 0
avendo posto ϕ = f − f 0 .
F S( f f ) S( f f ) e df e S( ) e d e s(
t )
∫
−∞
*

Cap. II – Rappresentazione dei segnali nel dominio della frequenza - 25-
• Proprietà 10. Cambiamento di scala.
Si ha, per a > 0 :
(II.4.14) F { sat 2
2
( )} ∞ sate ( ) 1 f
− j πft j a
( )
1 f
=
∫
dt = ∞ s e − π τ d S
a∫
τ τ = a
(
a
)
avendo posto τ= at . In modo analogo risulta, per a < 0 :
1 f
(II.4.15) F { sat ( )} =− S ( )
e quindi in generale:
1 f
(II.4.16) F { sat ( )} = S ( )
• Proprietà 11. Derivazione nel dominio del tempo.
s (n) (t)
−∞
Derivando n volte la (II.3.14) rispetto al tempo e supponendo che il segnale derivato
sia continuo ed ad energia finita, si ha:
n
d s()
t ∞
n j
(II.4.17) ( 2 ) ( ) 2 πft − 1 n
= j π f S f e df = {( j2 πf) S( f)
}
dt
n
−∞
a
a
−∞
∫ F
• Proprietà 12. Derivazione nel dominio della frequenza.
Derivando n volte la (II.3.13) rispetto alla frequenza e supponendo che il segnale derivato
S (n) ( f )
sia continuo ed ad energia finita, si ha:
n
d S( f)
∞
n −j (II.4.18) ( 2 ) ( ) 2 πft n
= −j π t s t e dt = {( −j2 πt) s( t)
}
df
n
∫
F
• Proprietà 13. Integrazione nel dominio del tempo.
Si ha:
j2
(II.4.19) F { s() τ dτ } = s()
τ dτ
e
che, integrato per parti fornisce:
(II.4.20)
Se si suppone che è
F
−∞
t
∞
⎡
⎢⎣
∫ ∫ ∫
−∞ −∞ −∞
t
a
a
⎤
⎥⎦
−
πft
t
{ } () 1 ∞ t
()
j2
ft
s d
⎡
s d
⎤ − π
∫ d( e )
−∞ ∫−∞ ⎢∫−∞
⎥
∫
∞
−∞
τ τ = τ τ =
−j2πf
⎣ ⎦
1 ⎧
2
t
∞
⎪ j ft
∞
⎫
− π −j2πft
⎪
= ⎨e s() τ dτ − s()
t e dt⎬
−j2πf
∫−∞
∫
−∞
−∞
⎩⎪ ⎭⎪
stdt () ≡ S(0) = 0, la precedente diviene:
t S( f)
(II.4.21) F { s()
d }
∫ τ τ = −∞ j2πf
• Proprietà 14. Integrazione nel dominio della frequenza.
In modo analogo può dimostrarsi che se è S( f) df ≡ s(0) = 0, è
−
f
(II.4.22) F { ∫
S( ) d
−∞
}
∫
∞
−∞
1 s()
t
ϕ ϕ =−
j2πt
• Proprietà 15. Convoluzione nel dominio del tempo.
La trasformata di Fourier della convoluzione vale:
ft
() t ∞ s1() s2( t ) d ∞ − π
φ = e
⎡
∞
s1() s2( t ) d
⎤
∫
τ −τ τ = dt
−∞ ∫
τ −τ τ
−∞ ⎢⎣
∫−∞
⎥⎦
j2
(II.4.23) F{ } F { }
che, invertendo l’ordine di integrazione e tenendo successivamente conto della proprietà 7,
è:
j
(II.4.24) { } 2 ft j
{ }
2 f
() t ∞ s1() ∞ − π
s2( t ) e dt d s2() t ∞ − π τ
F φ =
⎡ ⎤ ⎡
∫
τ −τ τ= s1()
τ e dτ
−∞ ⎢⎣∫−∞ ⎥
F
⎤
⎦ ⎢⎣∫−∞
⎥⎦
dt

- 26 - G. Mamola: Fondamenti Comunicazioni Elettriche
e cioè:
(II.4.25) F{ φ () t } = F{ s () t } ⋅F{ s () t }
1 2
In altre parole la trasformata della convoluzione di due segnali è uguale al prodotto delle
loro trasformate.
• Proprietà 16. Convoluzione nel dominio della frequenza.
In modo analogo si può dimostrare che se:
∞
(II.4.26) Φ ( f ) = S1( ϕ) S2( f −ϕ)
dϕ
denota la convoluzione tra S 1( f ) e S 2 ( f ) , l’antitrasformata di Φ( f ) vale:
(II.4.27) φ () t = s1() t ⋅ s2()
t
∫
−∞
Il prodotto di due segnali ha come trasformata la convoluzione delle trasformate dei segnali
componenenti.
Le proprietà della trasformata di Fourier, sopra definite, sono riportate nella seguente
Tabella III.1.
Tabella II.1 – Proprietà della trasformata di Fourier
Proprietà Segnale Trasformata Note
n
n
Linearità
∑ a i s i (t)
a
i =1
∑ i S i ( f )
a
i =1
i costanti
∞
Area del segnale
∫ s(t)dt
S(0)
Area della trasformata s(0) S( f )df
−∞
Simmetria S(t) s(− f)
Segnale coniugato
s
* () t
S
* ( − f)
Trasformata coniugata
s
* ( − t)
S
* ( f )
Traslazione nel dominio del tempo
s(t − t 0 ) e − j 2πft 0
S( f ) t 0 qualsiasi
Traslazione nel dominio della frequenza
e j 2πf 0t s(t ) S( f − f 0 ) f 0 qualsiasi
Cambiamento di scala
s(at)
1 ⎛ f ⎞
S ⎜ ⎟
a ⎝ a ⎠
a ≠ 0
Derivazione nel dominio del tempo
Derivazione nel dominio della frequenza
Integrazione nel dominio del tempo s()
τ d τ
−∞
Integrazione nel dominio della frequenza
S( ϕ)
dϕ
f
Convoluzione nel dominio del tempo
Convoluzione nel dominio della frequenza
∫
∞
−∞
d n s(t)
dt n ( j2πf ) n S( f)
(− j2πt) n s(t) d n S( f )
df n
∫
∫
∫
∫
t
−∞
∞
−∞
∞
−∞
s 1 (τ)s 2 (t −τ)dτ
s 1 (t −τ)s 2 (τ)dτ
s 1 (t)⋅ s 2 (t)
S( f)
j2πf
s()
t
−
j2πt
S 1 ( f )⋅ S 2 ( f )
∫
∫
∞
−∞
∞
−∞
S 1 (ϕ)S 2 ( f −ϕ)dϕ
S 1 ( f −ϕ)S 2 (ϕ)dϕ
∫
∫
∞
−∞
∞
−∞
stdt () = S(0) = 0
S( f) df ≡ s(0) = 0

Cap. II – Rappresentazione dei segnali nel dominio della frequenza - 27-
Esempio E.II.3
• Segnale sinc.
Applicando all’Esempio E.II.2 la proprietà 4, si ha:
1 ⎛ f ⎞ 1 ⎛
F { sinc( Bt) } = rect ⎜− ⎟ = rect ⎜
B ⎝ B⎠ B ⎝
• Impulso gaussiano.
Sia
st () = e −at
un impulso gaussiano. Derivando il segnale s()
t si ha:
ds()
t
2
−at
(*)
=−2at ⋅ e =−2at ⋅ s( t)
dt
dalla quale, tenendo presente le proprietà 10 e 11, si deduce:
dS( f ) 2 f
=−2 π ⋅ S(
f)
df a
La trasformata di Fourier S( f)
obbedisce ad un’equazione differenziale dello stesso tipo di quella (*)
soddisfatta dal segnale s()
t , solo che in tal caso, la costante che compare nell’equazione dovrà essere
sostituita con π 2 / a .È pertanto:
S( f ) = ke
dove la costante k può determinarsi utilizzando la proprietà dell’area del segnale. Dalla condizione
∞
S(0) =
∫
s( t)
dt
, utilizzando la formula
−∞
∫
∞
−∞
e
2
x
2
2
π 2
− f
a
dx = π , si ha:
S( f ) =
π
e
a
2
π
− f
a
II.5 – Trasformate e antitrasformate di Fourier particolari.
II.5.1 - Trasformata della delta di Dirac
vale
Tenendo presente la proprietà (5.1) dell’Introduzione, la trasformata della delta di Dirac
− 2
(II.5.2) { } j
II.5.2 - Antitrasformata della delta di Dirac
Risulta:
(II.5.3) F { }
e cioè:
F
∫
∞
δ () t = δ () t e dt = 1
−∞
2
πft
-1
∞
j 2πft
∫−∞
(II.5.4) F { }
δ ( f ) = δ ( f) e dt = 1
1 =δ( f )
II.5.3 - Trasformata della delta di Dirac traslata
Si ha:
∞
0 ∫ 0
−∞
− j2πft
(II.5.5) { }
0
F δ ( t± t ) = δ ( t± t ) e dt = e
II.5.4 - Antitrasformata della delta di Dirac traslata
Si ha:
-1
∞
j2πft
( 0) ∫
( 0)
−∞
f ⎞
⎟
B⎠
± j2πft
∓ j2πf t
(II.5.6) { }
0
e cioè
F
δ f ± f = δ f ± f e dt = e
± j2πf0t
(II.5.7) { e }
F =δ( f ∓ f )
0

- 28 - G. Mamola: Fondamenti Comunicazioni Elettriche
II.5.5 - Trasformate dei segnali sinusoidali.
Per le formule di Eulero si può scrivere:
(II.5.8)
1
0 2
1
0 2
(
j2πf0t − j2πf0t)
j (
j2πf0t − j2πf0t)
cos(2 π ft)
= e + e
sin(2 π ft)
= e −e
che, trasformate secondo Fourier e tenendo conto della (II.5.7), forniscono:
F { cos(2 π f0t) } =
1
[ δ( f − f0) +δ ( f + f0)
]
2
(II.5.9)
F { sin(2 π f0t) } =
1
[ δ( f − f0) −δ ( f + f0)
]
2 j
II.5.6 - Trasformata di un segnale periodico.
Sulla base dei precedenti risultati è facile dedurre che la trasformata di un segnale periodico
di periodo T 0
t
j2πn T
0
(II.5.10) st () = ∑ Se n
vale:
∞
n=−∞
∞
n
(II.5.11) F { st ()} = ∑ Snδ( f−
T )
n=−∞
II.5.7 - Trasformata della funzione segno.
Sia (v Fig. II.3)
⎧1
t > 0
(II.5.12)
sgn( t)
= ⎨
⎩ − 1 t < 0
la cosiddetta funzione segno. Essa è una funzione a potenza finita essendo P = 1.
Per calcolare la sua trasformata di Fourier è conveniente partire dalla funzione
−at
sgn( t)
⎧⎪ e t > 0
(II.5.13) φ a () t =⎨ ( a > 0)
1
−
at ⎪ ⎩ e t < 0
e
−1/a
−at
−e at 1/a t rappresentata in tratteggio nella stessa Fig. II.3. Si ha:
−1
⎧1
t > 0
(II.5.14) sgn( t) = lim φ a ( t)
=⎨
a→ 0 − 1 t < 0
Fig. II.3 – Funzione segno
⎩
(II.5.15) { } { }
Quindi è per f ≠ 0 :
Di conseguenza risulta
⎡ 1 1 ⎤
F sgn( t) = lim F φ a ( t) = lim ⎢ −
a→0 a→0
a+ j2πf a− j2πf
⎥
⎣
⎦
(II.5.16) F { sgn( t)
}
mentre, per f = 0 ,sulla base della proprietà 3 è:
(II.5.17) ⎡F
{ t } ⎤
0
e quindi
(II.5.18) F { sgn( t)
}
1
=
j π f
⎣ sgn( ) ⎦ = lim sgn( t) dt = 0
f ∫
T
= T →∞ −T
⎧ 1
⎪ = ⎨ j π f
⎪⎩ 0
0
f ≠ 0
f = 0
che, ricordando la proprietà della funzione generalizzata
Pf ⎛ ⎜ f −1
⎞ ⎟ : ⎝ ⎠

(II.5.19)
Cap. II – Rappresentazione dei segnali nel dominio della frequenza - 29-
Φ ( f )Pf f df = lim
⎛
+
⎞
f Φ( f)
df
⎝ ⎠
∞
1
−ε ∞
⎛ − ⎞
−1
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎜ ⎟
−∞ ε→0
−∞ ε
∫ ∫ ∫
valida per ogni funzione Φ( f ) non infinitesima nell’origine, si può rappresentare nel modo
seguente:
⎛ 1 ⎞
(II.5.20) F { sgn( t)
} = Pf ⎜ ⎟
⎝ jπf
⎠
II.5.8 - Trasformata del gradino unitario.
Poichè si ha, com’è facile riconoscere:
(II.5.21)
ut () = 1+
1sgn()
t
2 2
risulta, ricordando le (II.5.3) e (II.5.16):
1 ⎛ 1 ⎞
(II.5.22) F { ut ()}
= δ ( f) + Pf⎜ ⎟
2 ⎝ j2πf
⎠
Nella Tabella II.2 sono riportate le trasformate (antitrasformate) fin qui considerate.
Tabella II.2 – Trasformate di Fourier notevoli.
Funzione
0
Trasformata
δ(t) 1
δ ( t± t )
j2
ft0
1
j2
ft
e ±
δ( f)
0
e ± π 0
cos(2πf 0 t)
sin(2πf 0 t)
δ( f ∓ f )
1
[
2 δ( f − f 0) +δ( f + f 0 )]
1
2 j δ( f − f 0 ) −δ( f + f 0 )
[ ]
t
∞
∞
j2πn
T
n
0
∑ Se n
∑ Snδ( f −
T )
0
n=−∞
n=−∞
sgn(t) ⎛ 1 ⎞
Pf ⎜ ⎟
⎝ jπf
⎠
u(t) 1 ⎛ 1 ⎞
δ ( f ) + Pf⎜
⎟
2 ⎝ j2πf
⎠
II.6 - Valutazione della trasformata di Fourier.
Per la valutazione della trasformata di Fourier è molto spesso utile, ricorrere alla derivata
del segnale come qui di seguito mostrato. Infatti detta s ′(t) la derivata del segnale s(t) , si
può scrivere:
(II.6.1) st () = s( τ) dτ+ s( −∞)
∫
t
che, introducendo il gradino unitario, può assumere la forma di convoluzione:
∫
∞
−∞ ′
(II.6.2) st ( ) = s ′ ( τ) ut ( −τ) dτ+ s( −∞ ) = s ′ ∗ u+ s( −∞)
−∞
Facendo uso della proprietà 15, si ha:
(II.6.3) { } { } ⎢
1 2
⎡ ⎛ 1 ⎞⎤
F s() t = F s′
() t δ ( f) + Pf ⎜ ⎟⎥+ s( −∞) δ ( f)
⎣ ⎝ j2πf
⎠⎦

- 30 - G. Mamola: Fondamenti Comunicazioni Elettriche
Tenendo conto infine della proprietà della delta di Dirac secondo la quale l'espressione
f(t)δ(t)
equivale alla
f(0)δ(t) , si deduce:
1
⎛ 1 ⎞
F s() t = ⎡ s () t ( f) s () t Pf s( ) ( )
2 ⎣F ⎤⎦
δ + F ⋅ + −
f = 0
⎜ ⎟ ∞ δ f
⎝ j2πf
⎠
(II.6.4) { } { ′ } { ′ }
Poiché risulta, per la proprietà 3:
(II.6.5) ⎡F
{ } ⎤
f 0
si ha:
∞
⎣ s′ () t ⎦ =
∫
s′
() t dt = s( +∞) −s( −∞)
= −∞
1
⎛ 1 ⎞
() = ( +∞) − ( −∞) δ ( ) + () ⋅Pf
2
⎜ ⎟
⎝ j2πf
⎠
(II.6.6) F{ st} [ s s ] f F { s′
t}
che consente di calcolare la trasformata di Fourier di un segnale a partire dalla trasformata
di Fourier del segnale derivato. La regola (II.6.6) allora costituisce una naturale estensione
della proprietà 13 nel caso in cui è S(0) ≠ 0 .
Esempio E.II.4
La trasformata di Fourier del rettangolo unitario
t
st ( ) = rect
(
T
)
t
T
T
si calcola facilmente osservando che, essendo rect ( ) ( t
T
2) ( t
2)
T T
s′ () t =δ ( t+ ) −δ( t−
)
2 2
da cui, tenendo conto della proprietà 8 e della (II.5.2), è:
F
e quindi, applicando la (II.6.6):
{ }
j2πf T − j2πf
T
2 2
s′ () t = e − e = 2jsin( πfT)
t
{ ( )}
= δ + −δ − è:
sin( πfT
)
F rect = T = Tsinc( fT )
2T
πfT
1 sin( πfT )
Si noti che si può scrivere { s′ ⎛ ⎞
F () t } ⋅ Pf⎜
⎟ = essendo la funzione sin( π fT )
⎝ j2πf ⎠ πf
πf
f = 0 .
continua in