Il dominio della frequenza

- 30 - G. Mamola: Fondamenti Comunicazioni Elettriche
Tenendo conto infine della proprietà della delta di Dirac secondo la quale l'espressione
f(t)δ(t)
equivale alla
f(0)δ(t) , si deduce:
1
⎛ 1 ⎞
F s() t = ⎡ s () t ( f) s () t Pf s( ) ( )
2 ⎣F ⎤⎦
δ + F ⋅ + −
f = 0
⎜ ⎟ ∞ δ f
⎝ j2πf
⎠
(II.6.4) { } { ′ } { ′ }
Poiché risulta, per la proprietà 3:
(II.6.5) ⎡F
{ } ⎤
f 0
si ha:
∞
⎣ s′ () t ⎦ =
∫
s′
() t dt = s( +∞) −s( −∞)
= −∞
1
⎛ 1 ⎞
() = ( +∞) − ( −∞) δ ( ) + () ⋅Pf
2
⎜ ⎟
⎝ j2πf
⎠
(II.6.6) F{ st} [ s s ] f F { s′
t}
che consente di calcolare la trasformata di Fourier di un segnale a partire dalla trasformata
di Fourier del segnale derivato. La regola (II.6.6) allora costituisce una naturale estensione
della proprietà 13 nel caso in cui è S(0) ≠ 0 .
Esempio E.II.4
La trasformata di Fourier del rettangolo unitario
t
st ( ) = rect
(
T
)
t
T
T
si calcola facilmente osservando che, essendo rect ( ) ( t
T
2) ( t
2)
T T
s′ () t =δ ( t+ ) −δ( t−
)
2 2
da cui, tenendo conto della proprietà 8 e della (II.5.2), è:
F
e quindi, applicando la (II.6.6):
{ }
j2πf T − j2πf
T
2 2
s′ () t = e − e = 2jsin( πfT)
t
{ ( )}
= δ + −δ − è:
sin( πfT
)
F rect = T = Tsinc( fT )
2T
πfT
1 sin( πfT )
Si noti che si può scrivere { s′ ⎛ ⎞
F () t } ⋅ Pf⎜
⎟ = essendo la funzione sin( π fT )
⎝ j2πf ⎠ πf
πf
f = 0 .
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