Il dominio della frequenza

Cap. II – Rappresentazione dei segnali nel dominio della frequenza - 23-
(II.3.10) st () dt< ∞
poiché è:
(II.3.11)
∫
∞
−∞
∞
−j2πft
∞
∫−∞
∫
∞
−∞
S( f) = s() t e dt ≤ s()
t dt <
il limite (II.3.9) può essere effettuato come segue:
(II.3.12)
T
2 −j2πft
lim S( f) − s( t) e dt 0
−T
→∞
∫
=
2
T
2
T
che equivale a dire che la convergenza dell’integrale ∫ s(t)e − j2πn Tdt
t è uniforme.
Considerazioni analoghe valgono per l’antitrasformata di Fourier.
La trasformata e l’antitrasformata di Fourier, nel contesto, vengono a volte indicate come
segue:
− j2
(II.3.13) { }
−
(II.3.14) F { }
− T 2
πft
S( f) = F st () =
∫
ste () dt
−∞
1 ∞
( ) ( ) ( ) j2
π ft
s t = S f =
∫
S f e
−∞
la trasformata di Fourier di un segnale è, in generale una funzione complessa. Essa pertanto
può essere rappresentata in una delle due forme seguenti:
j ( f )
(II.3.15)
S( f) = S ( f) + jS ( f) = S( f)
e ϑ
R
I
I diagrammi che riportano gli andamenti di S( f ) e ϑ( f ) in funzione della frequenza prendono
il nome di spettri di ampiezza e di fase del segnale s(t) .
∞
df
Esempio E.II.2
• Impulso rettangolare.
• Impulso esponenziale.
T
∞
t
t
2
{ (
T)
} ∫ (
T) ∫ T
−∞
− j2πft − j2πft
−
F rect = rect e dt = e dt = Tsinc( fT)
t
t
1
− ∞ − 2
( 2
T T
− π
∞ − + πf T
) t
{ () } ()
∫
2
j ft T
∫0
F ute = ute e dt= e dt= −∞
1 + j2
π fT
• Impulso cisoidale tempo limitato.
t
1
t j2 2 2 ( )
{ ( ) } π T
j f t
T
T
∫
π −
T
F rect e = e dt = T sinc(1 − fT)
T
−
2
II.4 – Proprietà della trasformata di Fourier.
In quel che segue sono dedotte talune fondamentali proprietà della trasforma di Fourer di
un segnale.
• Proprietà 1. Segnali reali.
Se s(t) è reale dalla condizione s() t = s*()
t discende;
*
2 2 2
(II.4.1)
∞ j πft j ft j ft j ft
S( f) e df
⎛
∞ π
S( f) e dt
⎞
∞ − π
S*( f) e df ∞
2π
∫
= ⎜
⎟ = = S*( −f)
e df
−∞ ⎝∫−∞ ⎠
∫−∞ ∫−∞
dove si è operata la trasformazione f
→− f
(II.4.2) S( f) = S*( − f)
. Dalla precedente si deduce
che comporta che
(II.4.3)
S( − f) = S( f)
ϑ− ( f ) =−ϑ(
f )