Il dominio della frequenza

- 26 - G. Mamola: Fondamenti Comunicazioni Elettriche
e cioè:
(II.4.25) F{ φ () t } = F{ s () t } ⋅F{ s () t }
1 2
In altre parole la trasformata della convoluzione di due segnali è uguale al prodotto delle
loro trasformate.
• Proprietà 16. Convoluzione nel dominio della frequenza.
In modo analogo si può dimostrare che se:
∞
(II.4.26) Φ ( f ) = S1( ϕ) S2( f −ϕ)
dϕ
denota la convoluzione tra S 1( f ) e S 2 ( f ) , l’antitrasformata di Φ( f ) vale:
(II.4.27) φ () t = s1() t ⋅ s2()
t
∫
−∞
Il prodotto di due segnali ha come trasformata la convoluzione delle trasformate dei segnali
componenenti.
Le proprietà della trasformata di Fourier, sopra definite, sono riportate nella seguente
Tabella III.1.
Tabella II.1 – Proprietà della trasformata di Fourier
Proprietà Segnale Trasformata Note
n
n
Linearità
∑ a i s i (t)
a
i =1
∑ i S i ( f )
a
i =1
i costanti
∞
Area del segnale
∫ s(t)dt
S(0)
Area della trasformata s(0) S( f )df
−∞
Simmetria S(t) s(− f)
Segnale coniugato
s
* () t
S
* ( − f)
Trasformata coniugata
s
* ( − t)
S
* ( f )
Traslazione nel dominio del tempo
s(t − t 0 ) e − j 2πft 0
S( f ) t 0 qualsiasi
Traslazione nel dominio della frequenza
e j 2πf 0t s(t ) S( f − f 0 ) f 0 qualsiasi
Cambiamento di scala
s(at)
1 ⎛ f ⎞
S ⎜ ⎟
a ⎝ a ⎠
a ≠ 0
Derivazione nel dominio del tempo
Derivazione nel dominio della frequenza
Integrazione nel dominio del tempo s()
τ d τ
−∞
Integrazione nel dominio della frequenza
S( ϕ)
dϕ
f
Convoluzione nel dominio del tempo
Convoluzione nel dominio della frequenza
∫
∞
−∞
d n s(t)
dt n ( j2πf ) n S( f)
(− j2πt) n s(t) d n S( f )
df n
∫
∫
∫
∫
t
−∞
∞
−∞
∞
−∞
s 1 (τ)s 2 (t −τ)dτ
s 1 (t −τ)s 2 (τ)dτ
s 1 (t)⋅ s 2 (t)
S( f)
j2πf
s()
t
−
j2πt
S 1 ( f )⋅ S 2 ( f )
∫
∫
∞
−∞
∞
−∞
S 1 (ϕ)S 2 ( f −ϕ)dϕ
S 1 ( f −ϕ)S 2 (ϕ)dϕ
∫
∫
∞
−∞
∞
−∞
stdt () = S(0) = 0
S( f) df ≡ s(0) = 0