Il dominio della frequenza

Cap. II – Rappresentazione dei segnali nel dominio della frequenza - 25-
• Proprietà 10. Cambiamento di scala.
Si ha, per a > 0 :
(II.4.14) F { sat 2
2
( )} ∞ sate ( ) 1 f
− j πft j a
( )
1 f
=
∫
dt = ∞ s e − π τ d S
a∫
τ τ = a
(
a
)
avendo posto τ= at . In modo analogo risulta, per a < 0 :
1 f
(II.4.15) F { sat ( )} =− S ( )
e quindi in generale:
1 f
(II.4.16) F { sat ( )} = S ( )
• Proprietà 11. Derivazione nel dominio del tempo.
s (n) (t)
−∞
Derivando n volte la (II.3.14) rispetto al tempo e supponendo che il segnale derivato
sia continuo ed ad energia finita, si ha:
n
d s()
t ∞
n j
(II.4.17) ( 2 ) ( ) 2 πft − 1 n
= j π f S f e df = {( j2 πf) S( f)
}
dt
n
−∞
a
a
−∞
∫ F
• Proprietà 12. Derivazione nel dominio della frequenza.
Derivando n volte la (II.3.13) rispetto alla frequenza e supponendo che il segnale derivato
S (n) ( f )
sia continuo ed ad energia finita, si ha:
n
d S( f)
∞
n −j (II.4.18) ( 2 ) ( ) 2 πft n
= −j π t s t e dt = {( −j2 πt) s( t)
}
df
n
∫
F
• Proprietà 13. Integrazione nel dominio del tempo.
Si ha:
j2
(II.4.19) F { s() τ dτ } = s()
τ dτ
e
che, integrato per parti fornisce:
(II.4.20)
Se si suppone che è
F
−∞
t
∞
⎡
⎢⎣
∫ ∫ ∫
−∞ −∞ −∞
t
a
a
⎤
⎥⎦
−
πft
t
{ } () 1 ∞ t
()
j2
ft
s d
⎡
s d
⎤ − π
∫ d( e )
−∞ ∫−∞ ⎢∫−∞
⎥
∫
∞
−∞
τ τ = τ τ =
−j2πf
⎣ ⎦
1 ⎧
2
t
∞
⎪ j ft
∞
⎫
− π −j2πft
⎪
= ⎨e s() τ dτ − s()
t e dt⎬
−j2πf
∫−∞
∫
−∞
−∞
⎩⎪ ⎭⎪
stdt () ≡ S(0) = 0, la precedente diviene:
t S( f)
(II.4.21) F { s()
d }
∫ τ τ = −∞ j2πf
• Proprietà 14. Integrazione nel dominio della frequenza.
In modo analogo può dimostrarsi che se è S( f) df ≡ s(0) = 0, è
−
f
(II.4.22) F { ∫
S( ) d
−∞
}
∫
∞
−∞
1 s()
t
ϕ ϕ =−
j2πt
• Proprietà 15. Convoluzione nel dominio del tempo.
La trasformata di Fourier della convoluzione vale:
ft
() t ∞ s1() s2( t ) d ∞ − π
φ = e
⎡
∞
s1() s2( t ) d
⎤
∫
τ −τ τ = dt
−∞ ∫
τ −τ τ
−∞ ⎢⎣
∫−∞
⎥⎦
j2
(II.4.23) F{ } F { }
che, invertendo l’ordine di integrazione e tenendo successivamente conto della proprietà 7,
è:
j
(II.4.24) { } 2 ft j
{ }
2 f
() t ∞ s1() ∞ − π
s2( t ) e dt d s2() t ∞ − π τ
F φ =
⎡ ⎤ ⎡
∫
τ −τ τ= s1()
τ e dτ
−∞ ⎢⎣∫−∞ ⎥
F
⎤
⎦ ⎢⎣∫−∞
⎥⎦
dt