confronto fattorizzazioni - UniversitÃ degli studi di Cagliari.

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pessimistica in quanto vale per ogni possibile termine noto b.L'errore inerente è indipendente dal metodo utilizzato per la risoluzione.Errore analitico. I metodi diretti in aritmetica esatta danno soluzione esatta; non siha quindi errore analitico.Nel caso dei metodi iterativi occorre invece troncare la generazione della successionedi vettori tramite un opportuno criterio di arresto tale da approssimare il limite edando così origine ad un errore analitico.Errore algoritmico. L'errore algoritmico è l'errore indotto sul risultato dall'usodell'aritmetica finita. Anche un'operazione fra due numeri macchina può avere comerisultato un numero non di macchina; tale numero risultante necessiterà di essereapprossimato con un numero macchina e tale approssimazione avrà ovviamente delleconseguenze sui calcoli successivi. Tale tipo di errore è connesso alla cosiddettastabilità del metodo di calcolo.Un elemento importante è rappresentato dal costo computazionale.Il costo computazionale si distingue fra il costo di memorizzazione e il costo intermini di operazioni moltiplicative. Per quanto concerne il costo di memorizzazionela differenza può essere significativa nel caso delle matrici sparse (matrici il cuinumero di elementi diversi da zero è O(n) anziché n 2 ). Infatti le operazioni difattorizzazione possono far aumentare il numero di elementi non nulli, dando luogoalla necessità di predisporre altro spazio di memoria per la loro memorizzazione;mentre i metodi iterativi visti non alterano la struttura della matrice ed eventualmentepuò essere caricata in memoria una sola riga di A per volta. Per quanto concerne ilcosto in termini di operazioni di tipo moltiplicativo si ha che è dell'ordine di n 3 /3 perla fattorizzazione LU e pari a n 2 per ogni iterazione nei metodi iterativi. Nel caso diconvergenza in meno di n passi il vantaggio può essere rilevante.1.1.1 La stabilità dei metodi diretti per sistemi lineariIl condizionamento intrinseco del problema, se valutato in termini di errore relativo, èlegato al cosiddetto numero di condizionamentok * (A)=||A|| * ||A -1 || * della matrice A rispetto alla norma ||•|| *Se si perturba solo il termine noto b, la soluzione x+δx del sistemaA(x+δx) = b+δb è affetta da una perturbazione relativa∥δx∥⩽K (A)∥δb∥∥x∥ ∥b∥3
Nel caso più generale, si ha una espressione più complessa ma conclusioniqualitativamente simili.La stabilità dei metodi diretti tipo MEG o fattorizzazione LU aumenta decisamentecon la pivotazione, ed è migliore per metodi quali le fattorizzazioni QR e diCholesky. E’ comunque difficile risolvere accuratamente sistemi malcondizionati indimensione alta. La valutazione a posteriori della accuratezza tramite il residuodipende anch’essa dal condizionamento del sistemaSistemi di grandi dimensioni, specie se malcondizionati, si risolvono spesso in modopiù efficiente ed accurato con metodi iterativi.1.2 FATTORIZZAZIONE DI CHOLESKYSia la matrice A una matrice simmetrica definita positiva 1 (vedi Teorema di Cholesky).La fattorizzazione per una matrice di questo tipo risulta semplificata per due ragioni:non è necessario alcun pivoting ed è possibile operare solo sul triangolo inferioredella matrice, essendo quello superiore il trasposto dell'inferiore, essendo la matrice Asimmetrica. Pertanto, la fattorizzazione della matrice consisterà nel prodotto di duematrici R e R T , la prima triangolare inferiore, la seconda trasposta della prima. Ladeterminazione degli elementi della matrice R={R ij} avviene nel seguente modo:r ij= 1 i−1(ar ij−∑ r kir kj),ii k =1i< jj−1r jj =(a jj −∑ r kjk =112 )2 , i= j.La matrice deve risultare positiva, altrimenti si darebbe luogo a delle radici r jjcomplesse che comporterebbero l' impossibilità di realizzazione dell'algoritmo.Una volta calcolato R si procede alla risoluzione dei due sistemi triangolari:Ry=be R T x=y;In matlab la fattorizzazione di Cholesky si realizza con il comando chol1Il teorema di Cholesky afferma che una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se esiste una e una sola matrice Rtriangolare inferiore con elementi diagonali positivi tale che A=R T R.4
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