Algoritmi per l'interpolazione polinomiale Implementazione MATLAB

4 POSIZIONAMENTO DEI NODI 104 Posizionamento dei nodiData una funzione f e il polinomio p n (x) interpolante (n + 1) nodi, possiamodefinire la funzioneE n (x) = f(x) − p n (x)che fornisce l’errore di interpolazione punto per punto.funzione E n si trova cheAndando a studiare la∀xE n (x) = f (n+1) (ξ)(n + 1)! ω n(x)doveω n (x) = (x − x 0 )(x − x 1 ) . . . (x − x n )e gli {x i } sono i nodi di interpolazione.Questa relazione ci mostra che all’errore di interpolazione contribuiscono sia lafunzione f che abbiamo campionato, sia la scelta dei nodi (attraverso il fattoreω n (x)). Il posizionamento e il numero dei nodi influisce quindi sull’errore E n (x)che si commette interpolando. D’altra parte un risultato dovuto a Weierstrass cidice che se f ∈ C [a,b] allora esiste sempre un polinomio p ∈ Π n che rende ||f −p n || ∞piccolo a piacere, ma non fornisce alcuna informazione sulla scelta dei nodi. Restaquindi il problema di come posizionare i nodi di interpolazione per minimizzare illoro contributo all’errore.4.1 Nodi di ChebychevPoichè il contributo all’errore di interpolazione dovuto ai nodi è contenuto nelfattore ω n (x), possiamo provare a studiare il problema di minimaxmin max ‖ω n(x)‖{xi} x∈[a,b]Studiando tale problema nell’intervallo [−1, 1] si trova che prendendo come nodigli zeri del polinomioT n+1 (x) = cos(n + 1)θx = cos θottenuto calcolando cos(n + 1)θ e ponendo x = cos θ, il contributo all’errore diω n (x) cresce in maniera logaritmica (quindi lenta).I nodi ottenuti in questo modo prendono il nome di nodi di Chebychev ecostituiscono una scelta ottimale per l’interpolazione.