Algoritmi per l'interpolazione polinomiale Implementazione MATLAB

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INDICE 1Indice1 Il problema dell’interpolazione 21.1 Il caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Interpolazione polinomiale 32.1 canonical.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 pointinteractive.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Rappresentazione del polinomio interpolante 53.1 Forma di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 lagrix.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 lagrange.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Formula di Neville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.5 neville.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.6 Formula di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.7 newton.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Posizionamento dei nodi 104.1 Nodi di Chebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 cheby.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Interpolazione 2d 125.1 lag2d.m e newnev2d.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1 IL PROBLEMA DELL’INTERPOLAZIONE 21 Il problema dell’interpolazioneIl problema dell’interpolazione può essere presentato in due modi diversi:1. Dato un insieme di (n + 1) punti (x i , y i ), i = 0, . . . , n vogliamo trovare unafunzione Φ(x) che passi per ciascun punto, cioè tale cheΦ(x i ) = y ii = 0, . . . , nUna tale funzione prende il nome di funzione interpolante e gli x i sonodetti nodi.2. Se f(x) ∈ C [a,b] e (x i , y i ), i = 0, . . . , n sono (n + 1) punti di campionamentodella f, ci possiamo chiedere qual è la qualità dell’approssimazione di f(x)fatta dalla funzione interpolante Φ .Il primo caso è tipico di molte applicazioni in cui si ha a che fare con misure effettuatesu un certo fenomeno fisico di cui però non si conosce il modello matematico.In questo caso i nodi rappresentano le misurazioni effettuate e Φ mira a descriverel’andamento del fenomeno.Il secondo caso è in sostanza una possibile soluzione al problema dell’approssimazionedi una funzione f con una funzione Φ che in genere si vuole più facile datrattare rispetto alla f (si pensi ad esempio a problemi di integrazione e derivazione).Nel seguito, se non altrimenti specificato, si farà sempre riferimento al caso unidimensionale.1.1 Il caso generaleIn generale, dati (n + 1) punti (x i , y i ), i = 0, . . . , n cercheremo la funzione interpolanteΦ in un sottospazio di funzioni a dimensione finita. In tal modo, fissatauna base {φ i }, potremo scrivere Φ come combinazione lineare delle φ i :(1) Φ(x) =n∑a j φ j (x)j=0con gli a j come coefficienti. Facciamo ora vedere che gli a j sono in realtà leincognite del nostro problema. Affinchè sia interpolante, la Φ deve verificare lecondizioni di interpolazioneΦ(x i ) = y ii = 0, . . . , n
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