Algoritmi per l'interpolazione polinomiale Implementazione MATLAB

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4 POSIZIONAMENTO DEI NODI 1110.50−0.5T 0(x)T 1(x)T 2(x)−1−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 14.2 cheby.mFigura 5: Polinomi di ChebychevLa function xi = cheby(n) restituisce un vettore x che contiene i primi n nodidi Chebychev. Il nodo k-esimo viene calcolato implementando la relazione( 2k + 1)x k = cos2n + 2 π k = 0, . . . , nnel modo seguente:xi = [0:n-1];xi = cos( (2*xi + 1)/(2*n + 2) * pi );In figura 5 sono plottati i primi 3 polinomi di Chebychev.Lo script test_cheby.m interpola la funzione f = sin(πx) utilizzando sia nodiequispaziati che nodi di Chebychev. Per il calcolo dei polinomi interpolanti sonostate usate le function neville e newton.In figura 6 è mostrato l’errore di interpolazione al variare del grado del polinomiointerpolante e del posizionamento dei nodi. Dal plot si nota che sebbene entrambigli errori decrescano al crescere di n, l’errore dovuto all’utilizzo di nodi di Chebychevsi mantiene più basso.Risulta invece interessante verificare un caso in cui i nodi equispaziati si comportanomolto male. Lo script test_runge.m interpola la funzione di Rungef(x) =11 + 25x 2
5 INTERPOLAZIONE 2D 1210 0 f = sin(π x)nodi equispaziatinodi di Chebychev10 −210 −410 −6||f−p|| ∞10 −810 −1010 −1210 −143 5 7 9 11 13 15 17 19nFigura 6: Errore di interpolazione in funzione del grado del polinomio interpolantesu nodi equispaziati e nodi di Chebychev. La funzione è stata valutata su 100 puntinell’intervallo [−1, 1] e <strong>per</strong> il calcolo dei polinomi interpolanti sono state utilizzatele function newton e neville.In figura 7 sono riportati i plot della funzione di Runge con i polinomi interpolantie il plot dell’errore di interpolazione in funzione del grado del polinomio p n , che èstato scelto pari <strong>per</strong> sfruttare la simmetria della funzione f.Osservando il grafico a sinistra, si può notare come l’interpolazione su nodi diChebychev si mantiene buona anche in prossimità degli estremi dell’intervallo,dove invece quella su nodi equispaziati tende ad oscillare vistosamente. Dall’esamedell’errore di interpolazione si vede immediatamente che l’errore dovuto all’utilizzodi nodi equispaziati cresce velocemente al crescere di n, al contrario di quellodovuto ai nodi di Chebychev che decresce in maniera rapida.5 Interpolazione 2dData una funzione reale di due variabili reali z = f(x, y) e una griglia equispaziatasu [a, b] × [c, d] (x ∈ [a, b], y ∈ [c, d]), supponiamo di conoscere i valoriAllora il polinomio(5) p(x, y) =f ij = f(x i , y j )n∑i=0n∑f ij L (1)j=0j = 0, . . . ni (x)L (2)j(y)
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