Algoritmi per l'interpolazione polinomiale Implementazione MATLAB

2 INTERPOLAZIONE POLINOMIALE 3Sostituendo nella (1) otteniamo:n∑(2) Φ(x i ) = a j φ j (x i ) = y ij=0i = 0, . . . , nLa (2) è in realtà un sistema lineare di (n + 1) equazioni in (n + 1) incognite cheha la formaΦa = ydove φ ij = φ j (x i ) è la matrice dei coefficienti e a è la soluzione del sistema.Quest’ultima esiste se e solo se(3) detΦ ≠ 0 (determinante di Haar)La (3) è detta condizione di unisolvenza e assicura che la funzione interpolanteesista e sia unica.2 Interpolazione polinomialeUn caso molto importante è quello in cui le funzioni {φ i } vengono scelte nellospazio Π n dei polinomi di grado ≤ n.La scelta naturale è quella della base canonica {1, x, x 2 , . . . , x n } di Π n , in modo dapoter scrivere il polinomio interpolante comen∑p n (x) = a j x jPer quanto detto prima, il sistema lineare che ci permette di determinare i coefficientidel polinomio interpolante sarà del tipo Xa = y dove y = (y 0 , . . . , y n ) è ilvettore delle ordinate e X è una matrice detta matrice di Vandermonde, chesi costruisce a partire dai nodi {x i } e ha la forma⎛⎞1 x 0 x 2 0 . . . x n 0X = ⎜1 x 1 x 2 1 . . . x n 1⎟⎝. . . . . . . . . . . . . . ⎠1 x n x 2 n . . . x n nUn risultato importante è che, siccomej=0detX = ∏ i>j(x i − x j )il polinomio interpolante esiste ed è unico se e solo se i nodi sono tutti diversi fraloro. 11 Indicheremo con n il grado del polinomio interpolante su (n + 1) nodi