Appunti di Fluidi - Dipartimento di Fisica

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M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005Esempi1. Calcolare la velocità v con cui l’acqua inizia ad uscire dalforo di scarico di una vasca da bagno dove il livello inizialedell’acqua è h = 30cm.Soluzione: dobbiamo applicare l’equazione di Bernoulli sul puntodello scarico ed in un altro punto ‚ della vasca dove conosciamoil valore per p , v e h . Il punto ‚ in questione è il livellosuperiore dell’acqua dove p2= p0, h2= h e v = 20 perchénon appena l’acqua inizia a defluire dal fondo, quella postasulla superficie è ancora praticamente ferma. Al punto valeinvece h 0 , v = v p = perché la superficie del1 =2e1p0fronte d’acqua che sta uscendo dallo scarico si trova in direttocontatto con l’atmosfera. Quindi:p1+12ρv21+ ρgh1= p2+12ρv22+ ρgh221Fig. 23. Problema 1.hp0+12ρv2= p0+ ρgh⇒v=2gh=2 × 9.8m/s2× 3010−2•m = 2.425m/s2. Spiegare qualitativamente perché la sezione del filo d’acqua che fluisce da un rubinettodiminuisce con l’aumentare della distanza dal rubinetto.Soluzione: l’acqua nella caduta aumenta la propria velocità secondo l’equazione di Bernoulli1 21 22ρ v1+ ρgh1=2ρv2+ ρgh2essendo la pressione uguale in tutti i punti a quella atmosferica.Deve inoltre valere l’equazione di continuità Sv = costanteper cui i punti dove la velocità èmaggiore sono i punti in cui la sezione sarà minore.3. In un adulto normale a riposo, la velocità media del sangue attraverso l'aorta èv = 33cm/s0. Calcolare la portata attraverso un'aorta di r = 9 mm .20 00≈23Soluzione: Q = S v = π R v = 3.14 × ( 0.9cm) × 33cm/s = 84cm /s 5litri/minDall'aorta il sangue fluisce nelle arterie maggiori, poi in quelle più piccole e infine nei capillari.Ad ogni stadio successivo ciascuno di questi vasi si divide in molti vasi più piccoli e il flusso disangue si ripartisce fra questi in modo che la portata totale sia costante. Se conosciamo lasezione complessiva di tutte le arterie Sarteriee di tutti i capillari S dovrà valere lacapillarirelazione: Q = S v = S v = S . Pertanto il sangue si muove più0 0 arterie arterievcapillari capillarilentamente verso la periferia perché la sezione complessiva dei vasi sanguigni è maggiore. Se22per esempio la sezione totale di tutte le arterie è 20 cm e di tutti i capillari è 0 .25mpossiamo ricavare la velocità del sangue v = Q S 4.2cm/sev = Q S 0.33mm/s .capillari/ capillari=arterie/ arterie=2 −73in un singolo capillare di raggio r = 20µ mavremo Q = π r v = 4.1 • 10 cm /s .capillari42
M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/20054. Utilizzando i dati dell’esercizio precedente stimare il numero di capillari nel corpo umano.Soluzione: la portata è costante in tutto il sistema cardiocircolatorio, pertanto deve valereQaorta8Qaorta = N • Q1capillareda cui N = ≈ 2 •10 .Q1capillare5. Spiegare qualitativamente cosa succede quando in un’arteria è presente un aneurisma.Soluzione: in presenza di un aneurisma la sezione dell’arteria S2è maggiore di quella naturaleS1e dovendosi conservare la portata dell’arteria, la velocità v 2sarà minore di quella naturaleS1v1( v2= v1). Supponiamo per semplicità che l’arteria sia orizzontale. In queste condizioni laS2pressione sanguigna p2all’altezza dell’aneurisma sarà maggiore di quella naturale p 1in accordoall’equazione di Bernoulli1 2 1 22ρ v1+ p1=2ρv2+ p2.Pertanto, nel punto dove c'è l'aneurisma, può rompersi la parete dell'arteria.6. Spiegare qualitativamente cosa succede quando in un’arteria è presente una stenosi.Soluzione: in presenza di un stenosi la sezione dell’arteria S2è minore di quella naturale S1econ un procedimento simile a quello seguito nell’esempio precedente si può dimostrare che lapressione sanguigna p2all’altezza della stenosi sarà minore di quella naturale p1.Pertanto, nel punto dove c'è la stenosi, l'arteria può occludersi completamente.7. Due punti di un condotto orizzontale che trasporta acqua hanno diverse sezioni, con raggioR 1.2cm e R 0.5cm, mentre la differenza di pressione tra di loro è pari a un dislivello1 =2 =di h = 5.0cmd’acqua. Calcolare:a) le velocità dell’acqua v 1e v 2;b) la portata del condotto.Soluzione: consideriamo i punti e ‚ che si trovanosull’asse del condotto alla stessa altezza z1= z2. La primarelazione che possiamo ricavare dalle condizioni iniziali èquella fra le due pressioni e la differenza d’altezza nei tubiverticali. Infatti avremo che la pressione sull’asse delcondotto è legata a quella atmosferica da p1 = p0+ ρgh1ep2 = p0+ ρgh2da cui si ricava: p 1− p 2= ρgh.Poiché i punti e ‚ si trovano sull’asse del condotto,l’equazione di Bernoulli si semplifica e diventa2 1 2p11+2ρ v1= p2+2ρv2. Poiché le incognite sono due ( v 1, v2)è necessario trovare un’ulteriore condizione che è datasemplicemente dall’equazione di continuità S1v1= S2v2essendo note le due sezioni del condotto.Si tratta ora di risolvere il sistema:43hS2S11Fig. 24. Problema 6.2
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