Appunti di Fluidi - Dipartimento di Fisica

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005La Statica dei FluidiUn fluido non possiede forma propria ma si adatta a quella del contenitore che locontiene. Può essere nella fase liquida (es. acqua) o gassosa (es. un gas). Anche se nonpossiede una forma propria, una massa M di fluido possiede un volume V . Inoltre se,a parità di condizioni, consideriamo una massa2 M dello stesso fluido, questaoccuperà un volume 2 V .La densità del fluido è definita come il rapportoρ = MV. Si misura in3kg/m oppure3g /cm (3 3 31 g/cm = 10 kg/m ). Per la proprietà precedentemente vista, la densità di unfluido, a parità di condizioni, è costante indipendentemente dal valore della massaconsiderata.Altra caratteristica del fluido è di esercitare la forza nella direzione perpendicolaread una qualunque superficie toccata dallo stesso. Esempi:a) l’acqua contenuta in una bottiglia esercita una forza verso l’esterno normale alla paretedella stessa;b) l’acqua del mare esercita sui pesci una forza diretta verso l’interno del corpo;c) l‘aria esercita su di noi una forza diretta verso l’interno del nostro corpo.La pressione è definita come il rapportop =F⊥Stra la componente della forzaortogonale alla superficie e la superficie su cui la forza è applicata. La pressione èquindi una grandezza scalare che ci dice quale può essere la forza esercitata dalfluido su una superficie (anche immaginaria in mezzo al fluido!) con cui si trova incontatto. Può variare da punto a punto. Nel sistema SI si misura in Pascal2( 1 Pa = 1N/m ). Altre unità di misura utilizzate nella pratica sono l’atmosfera ( atm), ilbar con il sottomultiplo millibar ( mbar ) ed il torr. Sono legate tra loro dalla seguenterelazione:51atm = 760torr = 1013mbar = 1.013 • 10 Pa. Si noti che 1 mbar= 1hPa.35

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005Secondo il principio di Pascal se in un punto di un fluido la pressione p è variata perqualunque motivo di una quantità∆ p, questa variazione si trasmette in ogni altropunto del fluido:p1→ p1+ ∆p⇒ p2→ p2+ ∆pSecondo la legge di Stevino la pressione in un fluido dipende dalla profondità a cuiviene misurata: p p + g( h − )= ρ ovvero se due punti si trovano a diversa altezza2 1 1h2nel fluido la pressione sarà maggiore nel punto di profondità maggiore, inoltre in duepunti che si trovano alla stessa altezza nel fluido la pressione è la stessa. Questaequazione ci dice che una delle cause della pressione è la forza peso esercitata daglistrati di fluidi sovrastanti il volume interessato. La legge di Stevino se scritta nellaformap+ ρ gh = p + ρghcostante assume un significato profondo. Moltiplicando2 2 1 1=il terminep + ρghper il volume V pari ad una massa m = ρVdi fluido, si ottienel’espressionepV + mgh dove pV rappresenta il lavoro necessario per liberare ilvolume nel fluido pre-esistente mentre mgh rappresenta l’energia potenziale.Secondo il principio di Archimede un corpo di volume V immerso in un fluido di densitàρ è soggetto ad una forza da parte del fluido diretta verso l’alto e d’intensitàpari al peso del volume V imdi fluido spostatoFA= ρVg . Se il corpo galleggia avremoimV im< V mentre se è completamente immerso V e V imcoincidono.36

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005Esempi1. Calcolare la pressione in una piscina piena d’acqua ( ρ= 103 kg/m 3) alla profondità di 2 m.Soluzione: non appena conosciamo il valore della pressione in un punto 1 della piscina, potremoapplicare la legge di Stevino. Questo punto è la superficie dove l’acqua è in contatto con l’aria(altro fluido). Quindi sulla superficie la pressione è pari alla pressione atmosferica5p = 1013mbar = 1.013 10 Pa. A due metri di profondità la pressione è di conseguenza0 •p = p + ρ g h5 3 325( h − ) = 1.013 • 10 Pa + 10 kg/m × 9.8m/s × ( 0 + 2m) = 1.21 10 Pa0 1 2•(si noti che ogni 10 metri di profondità la pressione nell’acqua aumenta di 1 atmosfera).2. Calcolare la differenza di pressione tra pAnel volume in figura20 e quella atmosferica sapendo che l’altezza dellacolonna di acqua è h = 10cme che l’estremità superiore deltubo è aperta.1p 0hSoluzione: non appena conosciamo il valore della pressione in unpunto della colonna d’acqua, potremo applicare la legge diStevino. Questo punto è la superficie dove l’acqua è in contattocon l’atmosfera per cui p1= p0. Quindip + ρgh= p + ρghA201p A2pA− p0= ρgh= 103kg/m3× 9.8m/s2× 0.1m = 908PaFig. 20. Problema 2.La differenza p A− p0è detta anche pressione relativa (del volume A rispetto all’atmosfera)e diversamente dalla pressione assoluta può assumere anche valori negativi.3. Calcolare la pressione a 20 cm dal tappo in una bottiglia sigillata e colma d’acqua.Soluzione: non appena conosciamo il valore della pressione in un punto della bottiglia, potremoapplicare la legge di Stevino. Questo punto è la superficie dove l’acqua è in contatto conil tappo. Poiché il tappo isola l’acqua dall’atmosfera esterna, la pressione è praticamente zerop 0Pa . Ad una profondità di 20 cm la pressione è quindi1 =p = p + ρ g h3 323( h − ) = 0 + 10 kg/m × 9.8m/s × 0.2m = 1.96 10 Pa1 1 2•37

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/20054. Descrivere il funzionamento del barometro di Torricelli.Soluzione: il barometro di Torricelli è costituito da un tubo divetro di altezza superiore ad 1 metro, riempito di mercurio eposto in verticale in una vasca colma di mercurio e conl’estremità superiore sigillata in modo che non ci sia contattodiretto tra il mercurio contenuto nel tubo e l’atmosfera. Perconoscere l’altezza cui si dispone il livello del mercurio neltubo, è necessario applicare la legge di Stevino fra i due puntie ‚ dove la pressione del liquido è nota. Il punto è lasuperficie dove il mercurio è in contatto con i vapori dimercurio (altro fluido) dove la pressione è pari alla tensione di21p 0hvapore e pertanto talmente piccola da poter essere trascurata( p 0Pa) mentre il punto ‚ è quello in contatto con l’aria1 =(altro fluido) e pertanto la pressione è pari a quella atmosferica ( p2= p0). Pertanto:5p 1.013 10 Pa 0Pa2− p• −1p2 = p1+ ρHgg ( h1− h2) da cui h = == 0.760m4 32g 1.36 • 10 kg/m × 9.8m/sρ HgFig. 21. Problema 4.5. Descrivere il comportamento del barometro di Torricelli quando si trova in un contenitoresigillato in cui viene fatto il vuoto.Soluzione: poiché la pressione sulla superficie libera del mercurio (fuori dal tubo) adesso ènulla ( p 0 ) il livello del mercurio all’interno del tubo scenderà allo stesso livello del2 =mercurio nella vaschetta.6. Spiegare il significato del prodotto pV per un fluido incomprimibile (densità costante).Soluzione: dimostriamo che pV rappresenta il lavoro necessarioper svuotare il volume V . Consideriamo per semplicità un fluido apressione p posto all’interno di un volume V di forma cubica.Immaginiamo inoltre che allo scorrere della superficie S il fluidopossa fuoriuscire attraverso la superficie opposta mantenendocostante la pressione idrostatica p . Per svuotare il volume V dalfluido è necessario, quindi, esercitare sulla superficie S unaforza F rtale da annullare l’effetto pS della pressione( F = pS) e fare in modo che la parete S possa scorrere per iltratto l fino a raggiungere la parete opposta. Il lavoro compiutodalla forza F r è quindi pari a L = Fl = pSl = pV .p SlFig. 22. Problema 6.F r38

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/20057. In una persona in posizione eretta, fissata l’altezza del cuore (e dell’aorta) come l’originedelle coordinate, si assuma che i piedi si trovino a circa hP= 135cmsotto il cuore e la partepiù alta della testa si trovi a circa h = 45cmsopra. Assumendo che la pressione relativa allivello dell'aorta siaT100 Torr e che la densità del sangue siapressione relativa al livello dei piedi e quella a livello della testa.Soluzione: applicando la legge di Stevino con p p + g( h −h)aortaaorta3ρ = 1.05g/cm calcolare la= ρ si verifichi chep p + ρ gh = 203Torr e p p − ρ gh = −65Torr.piedi=aorta Ptesta = aorta T8. Dimostrare il principio di Archimede.Soluzione: consideriamo un contenitore riempito con un fluido di densità ρ , ed un volumettoV di fluido posto ad una qualunque profondità nel contenitore. Poiché il sistema è in equilibrioe pertanto il volumetto non si muove, occorre che ci sia una forza F Arivolta verso l’alto cheannulli la forza peso P del volumetto, quindi F A− Mg = 0 da cui F A= ρVg. La forza FAèesercitata dal resto del fluido sul volumetto V e non dipende da cosa c’è in V , pertantosostituendo nel volume V un altro corpo questi subirà la stessa spinta verso l’alto.9. Sapendo che un blocco di ghiaccio immerso in acqua galleggia e che la frazione del volumeche rimane immersa è 11 12, calcolare la densità del ghiaccio ρ .ghSoluzione: posto V il volume del blocco di ghiaccio, l’equilibrio delle forze a cui è soggetto sipuò scrivere come la somma vettoriale della forza peso e della spinta di Archimede generatar rdalla parte di ghiaccio immersa nell’acqua P F = 0 da cuiρ Vimg − ρghVg=V+ Aim3 110 ⇒ ρgh= ρ = 1g/cm ×12=V0.92g/cm310. Determinare con che accelerazione sale in superficie un blocco di legno di densità3ρ = 0.7 g/cm lasciato libero dal fondo di un lago. Si trascuri la resistenza dell'acqua.Soluzione: la forza totale che agisce sul corpo immerso è data dalla risultante tra la forzapeso e la spinta di Archimede: F = F − Mg = ρ Vg − ρVg= ( ρ − ρ)VgavendoAespresso la massa del corpo M = ρV. Possiamo ricavare dal Secondo Principio della Dinamica:( ρfluido− ρ ) Vg ⎛ ρfluido⎞2a = FM== ⎜ − 1 ⎟g= 4.2m/sρV⎝ ρ ⎠fluidofluido39

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/200511. Una sfera di metallo di massa m = 1kge densitàρ = 7 .8 • 103 kg/m 3ècompletamente immersa in acqua, ancorata al fondo di un recipiente mediante una molla dicostante elastica k = 250N/m. Calcolare la spinta di Archimede, valutare se la molla ècompressa o allungata e determinare lo spostamento dalla posizione di equilibrio.1kg−43Soluzione: noto il volume, ottenuto come V = m =3 3 = 1.28 • 10 m , siρ 7.8 • 10 kg/mpuò ricavare la spinta di Archimede FA = ρ Vg = 1.25 Nfluido. Perché la sfera sia ferma occorrer r rche la risultante delle forze sia nulla: FA+ P + Fmolla= 0 . Scelta come positiva la direzionerivolta verso l’alto dell’asse verticale, l’espressione precedente diventa F A − mg + kx = 0 dacui si ricavax = −3.4 cm, Quindi la molla è compressa ed il modulo x = 3.4cmrappresentalo scostamento dalla posizione di equilibrio.12. In quali condizioni un corpo immerso in un fluido di densità ρfgalleggia?Soluzione: per poter galleggiare occorre che la risultante delle forze che agiscono sul corpor rsia positiva, cioè P F ≥ 0 . Posti V e ρ rispettivamente il volume e la densità del corpo,+ Aoccorre osservare che la massima intensità della spinta di Archimede si ha quando il corpo ècompletamento immerso ovvero quando V im= V , quindi ρ Vg − ρVg≥ 0f. Questa condizione èsoddisfatta se la densità del corpo è minore della densità del fluido in cui è immerso ρ < ρf.13. Un cubo di legno di lato L = 20cmcon una densitàρ = 0 .65 • 103 kg/m 3galleggiaparzialmente immerso in acqua: calcolare la distanza d fra la faccia superiore del cubo e lasuperficie dell'acqua. Determinare il peso massimo P che può essere messo sul cubo affinchéla sua faccia superiore sia a livello dell'acqua.Soluzione: il corpo è soggetto a due forze: la forza peso rivolta verso il basso e la spinta diArchimede rivolta verso l’alto. La spinta di Archimede è proporzionale al volume2V = L della parte del cubo immersa nell’acqua: F = V g . Poiché il corpoimmersoh immersoè in equilibrio il modulo delle due forze deve essere uguale. Pertantoρcui h immerso= Lρfluido=13 cmed = 7 cm.Aρ fluido immersofluidoV immersoQuando il cubo è completamento sommerso la spinta di Archimede diventaAnche in questo caso la risultante delle forze deve essere nulla, pertantoda cui P = (fluido− ρ ) Vg = 27.44Nρ .ρ g = VρgdaF ′ = ρ Vg .Aρ Vg + P = ρfluidofluidoVg40

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005La Dinamica dei Fluidi IdealiUn fluido ideale in movimento può essere immaginato costituito da tante lamine sottiliin grado di scorrere l’una sull’altra senza attrito. Il movimento del fluido è sempre paralleloalla superficie delle lamine. Esempi:- in un fiume il movimento dell’acqua, supposta un fluido ideale, può essere scompostonello scorrimento di tante lamine orizzontali sovrapposte che si muovono parallele alletto del fiume;- in un condotto di sezione cilindrica il movimento può essere scomposto in tante laminecircolari concentriche con raggio crescente a partire dall’asse centrale del condottoche si muovono parallele all’asse del condotto.Il movimento è descritto da due equazioni che devono essere soddisfatte contemporaneamente.1) L’equazione di continuità che stabilisce che la quantità di fluido che attraversanell’unità di tempo una qualunque sezione del condotto (portata), è costante (il fluidonon si perde per strada!). Può essere scritta in due forme:portata volumetrica:portata massica:Q = Sv = costante nel sistema SI si misura in m 3 /sQ m = ρ Sv = costante nel sistema SI si misura in kg/sdove con ρ si è indicata la densità del fluido.1 22) L’equazione di Bernoulli: p + ρ v + ρgh= costante che fissa il valore della2pressione, della velocità e dell’altezza di una qualunque parte del fluido in movimento.Si ricava direttamente dalla conservazione dell’energia. L'equazione di Bernoulli siapplica a fluidi incomprimibili ( ρ = costante ), non viscosi e irrotazionali ( ω = 0 ) inmoto stazionario, tale cioè che la velocità del fluido in un dato punto è sempre lastessa. In conseguenza all’equazione di Bernoulli, la pressione idrostatica p di unfluido può essere diversa secondo lo stato di quiete o di moto del fluido. Si rimandaagli esempi riportati di seguito.41

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005Esempi1. Calcolare la velocità v con cui l’acqua inizia ad uscire dalforo di scarico di una vasca da bagno dove il livello inizialedell’acqua è h = 30cm.Soluzione: dobbiamo applicare l’equazione di Bernoulli sul puntodello scarico ed in un altro punto ‚ della vasca dove conosciamoil valore per p , v e h . Il punto ‚ in questione è il livellosuperiore dell’acqua dove p2= p0, h2= h e v = 20 perchénon appena l’acqua inizia a defluire dal fondo, quella postasulla superficie è ancora praticamente ferma. Al punto valeinvece h 0 , v = v p = perché la superficie del1 =2e1p0fronte d’acqua che sta uscendo dallo scarico si trova in direttocontatto con l’atmosfera. Quindi:p1+12ρv21+ ρgh1= p2+12ρv22+ ρgh221Fig. 23. Problema 1.hp0+12ρv2= p0+ ρgh⇒v=2gh=2 × 9.8m/s2× 3010−2•m = 2.425m/s2. Spiegare qualitativamente perché la sezione del filo d’acqua che fluisce da un rubinettodiminuisce con l’aumentare della distanza dal rubinetto.Soluzione: l’acqua nella caduta aumenta la propria velocità secondo l’equazione di Bernoulli1 21 22ρ v1+ ρgh1=2ρv2+ ρgh2essendo la pressione uguale in tutti i punti a quella atmosferica.Deve inoltre valere l’equazione di continuità Sv = costanteper cui i punti dove la velocità èmaggiore sono i punti in cui la sezione sarà minore.3. In un adulto normale a riposo, la velocità media del sangue attraverso l'aorta èv = 33cm/s0. Calcolare la portata attraverso un'aorta di r = 9 mm .20 00≈23Soluzione: Q = S v = π R v = 3.14 × ( 0.9cm) × 33cm/s = 84cm /s 5litri/minDall'aorta il sangue fluisce nelle arterie maggiori, poi in quelle più piccole e infine nei capillari.Ad ogni stadio successivo ciascuno di questi vasi si divide in molti vasi più piccoli e il flusso disangue si ripartisce fra questi in modo che la portata totale sia costante. Se conosciamo lasezione complessiva di tutte le arterie Sarteriee di tutti i capillari S dovrà valere lacapillarirelazione: Q = S v = S v = S . Pertanto il sangue si muove più0 0 arterie arterievcapillari capillarilentamente verso la periferia perché la sezione complessiva dei vasi sanguigni è maggiore. Se22per esempio la sezione totale di tutte le arterie è 20 cm e di tutti i capillari è 0 .25mpossiamo ricavare la velocità del sangue v = Q S 4.2cm/sev = Q S 0.33mm/s .capillari/ capillari=arterie/ arterie=2 −73in un singolo capillare di raggio r = 20µ mavremo Q = π r v = 4.1 • 10 cm /s .capillari42

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/20054. Utilizzando i dati dell’esercizio precedente stimare il numero di capillari nel corpo umano.Soluzione: la portata è costante in tutto il sistema cardiocircolatorio, pertanto deve valereQaorta8Qaorta = N • Q1capillareda cui N = ≈ 2 •10 .Q1capillare5. Spiegare qualitativamente cosa succede quando in un’arteria è presente un aneurisma.Soluzione: in presenza di un aneurisma la sezione dell’arteria S2è maggiore di quella naturaleS1e dovendosi conservare la portata dell’arteria, la velocità v 2sarà minore di quella naturaleS1v1( v2= v1). Supponiamo per semplicità che l’arteria sia orizzontale. In queste condizioni laS2pressione sanguigna p2all’altezza dell’aneurisma sarà maggiore di quella naturale p 1in accordoall’equazione di Bernoulli1 2 1 22ρ v1+ p1=2ρv2+ p2.Pertanto, nel punto dove c'è l'aneurisma, può rompersi la parete dell'arteria.6. Spiegare qualitativamente cosa succede quando in un’arteria è presente una stenosi.Soluzione: in presenza di un stenosi la sezione dell’arteria S2è minore di quella naturale S1econ un procedimento simile a quello seguito nell’esempio precedente si può dimostrare che lapressione sanguigna p2all’altezza della stenosi sarà minore di quella naturale p1.Pertanto, nel punto dove c'è la stenosi, l'arteria può occludersi completamente.7. Due punti di un condotto orizzontale che trasporta acqua hanno diverse sezioni, con raggioR 1.2cm e R 0.5cm, mentre la differenza di pressione tra di loro è pari a un dislivello1 =2 =di h = 5.0cmd’acqua. Calcolare:a) le velocità dell’acqua v 1e v 2;b) la portata del condotto.Soluzione: consideriamo i punti e ‚ che si trovanosull’asse del condotto alla stessa altezza z1= z2. La primarelazione che possiamo ricavare dalle condizioni iniziali èquella fra le due pressioni e la differenza d’altezza nei tubiverticali. Infatti avremo che la pressione sull’asse delcondotto è legata a quella atmosferica da p1 = p0+ ρgh1ep2 = p0+ ρgh2da cui si ricava: p 1− p 2= ρgh.Poiché i punti e ‚ si trovano sull’asse del condotto,l’equazione di Bernoulli si semplifica e diventa2 1 2p11+2ρ v1= p2+2ρv2. Poiché le incognite sono due ( v 1, v2)è necessario trovare un’ulteriore condizione che è datasemplicemente dall’equazione di continuità S1v1= S2v2essendo note le due sezioni del condotto.Si tratta ora di risolvere il sistema:43hS2S11Fig. 24. Problema 6.2

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005⎧⎪Sv1 1−S2v⎨⎪⎩ p1− p2+212= 0ρv21−12ρv22= 0potendo effettuare la sostituzione⎧⎪S1πRv2= v =⎪ S2πR⎨⎪1 2⎪ρgh+2ρv1−⎪⎩212212v1R=R⎛Rρ⎜⎝R21222122v12⎞v ⎟1⎠⎧⎪⎪v⎪⇒ ⎨⎪= 0 ⎪⎪v⎩1 2 1 2p 1− p 2= ρghche porta a2ρ v1−2ρv2+ ρgh= 0 .21⎛R= ⎜⎝R=122⎞⎟v⎠1⎡⎛R2gh⎢⎢⎜⎣⎝R⎧⎡⎪2−2⎛v⎪1= 2 × 9.8m/s × 5 • 10 m × ⎢⎜con soluzione ⎨⎢⎣⎝2⎪ ⎛ 1.2 ⎞⎪v2= ⎜ ⎟ × 0.17 m/s = 1.0m/s⎩ ⎝ 0.5 ⎠La portata è data semplicemente daQ = S v = π R v22222= 3.14 ×12⎞⎟⎠41.20.5⎞⎟⎠⎤− 1⎥⎥⎦4− 1 2⎤− 1⎥⎥⎦−12= 0.17 m/s−22−53( 0.5 • 10 m) × 1.0m/s = 7.85 • 10 m /sSi noti che in assenza di movimento del fluido la pressione idrostatica sarebbe costante:p = .1p 28. Verificare che nell’esercizio precedente il risultato finale è lo stesso anche se la pressionedel fluido non viene calcolata sull’asse del condotto.Soluzione: immaginiamo di considerare due punti posti ad un’altezza z 1e z2rispetto all’assedel condotto. In questo caso avremo che la pressione sull’asse del condotto è legata a quellaatmosferica da p′ 1= p0+ ρ g ( h1− z1)e p′ 2= p0+ ρ g ( h1− z2) da cui si ricava:p′ 1− p′2= ρ gh − ρg( z1− z2).1 21 2Anche l’equazione di Bernoulli cambia e diventa p′ 1+2ρ v1+ ρgz1= p′2+2ρv2+ ρgz2esostituendovi la relazione precedente si ottiene di nuovo l’equazione dell’esercizio precedente:122 1 2ρ v − ρv+ ρgh= 0 .1229. Spiegare il significato fisico dell’equazione di Bernoulli.Soluzione: moltiplicando tutti i termini per il volume unitario V l’equazione diventa21 2pV + 1 Vρ v + Vρgh= pV + mv + mgh = costante .22Il secondo e terzo termine rappresentano rispettivamente l’energia cinetica e l’energiapotenziale del volume di fluido considerato. Per comprendere il significato del primo termineimmaginiamo che il volume unitario abbia la forma di un cubetto di lato x ed usiamo laF F 3definizione della pressione per riscrivere il prodotto pV come V = x = Fx2cheS xrappresenta il lavoro fatto dal fluido per occupare il volume V . Questa relazione è generale.44

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005La Dinamica dei Fluidi RealiA differenza del caso ideale, nel fluido reale in movimento (anche in regime laminare)le lamine sottili, di cui possiamo ancora immaginare essere costituito, non sono più ingrado di scorrere l’una sull’altra senza attrito. Anche in questo caso il movimento delfluido è sempre parallelo alla superficie delle lamine ma stavolta, proprio a causa dellapresenza dell’attrito nel movimento sarà speso del lavoro. L’intensità di queste forzed’attrito può essere espressa secondo la seguente espressione:Fdv= η ∆Sdove ∆ Sdydvè la superficie di contatto fra due lamine contigue, il gradiente di velocità fra ledydue lamine ed infine η la viscosità del fluido. La viscosità viene misurata inSI oppure in poise ( P) nel sistema CGS ( 1 Pa • s = 10 P ).Pa • s nelEsempio: in un condotto di sezione cilindrica il movimento può essere scomposto intante lamine circolari concentriche con raggio crescente a partire dall’asse centraledel condotto che si muovono parallele all’asse del condotto. A causa della maggiore superficiedi contatto la forza d’attrito sarà maggiore verso le pareti del condottoquindi la velocità sarà maggiore verso il centro del condotto.Legge di Hagen-Poiseuille: per mantenere in movimento un fluido reale con portata Qcostante, è necessario fare un lavoro, occorre cioè mantenere una differenza di pressionefra i punti d’ingresso e d’uscita. Nel caso di un condotto cilindrico orizzontale diraggio costante R e lunghezza l la portata del condotto è legata alla differenza dipressione4π R∆ p = p uscita− pingressoagli estremi del condotto dall’equazione: Q = ∆p.8 ηlSi definisce perdita di carico di un condotto la variazione di pressione per unità di45

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005∆p8ηQlunghezza del condotto =4l πR, mentre la resistenza R del condotto è data da8ηlR =4pertanto l’espressione diventa ∆ p = RQ.πRRicordando quanto visto nel capitolo precedente per far passare un volume V entro ilcondotto è necessario un lavoro pari aL = ∆pVed una potenza pari aP∆pV= = ∆pQ.tLa legge di Hagen-Poiseuille è valida in regime laminare, quando cioè si può pensare chegli strati di fluido scorrano gli uni sugli altri parallelamente senza mescolarsi.L'approssimazione a regime laminare è valida nei fluidi viscosi quando la velocità èmolto bassa, all'aumentare della velocità gli strati di fluido si mescolano tra loro inmoto vorticoso dando luogo ad un regime turbolento.Per stabilire se un fluido reale in movimento possa essere considerato in regime laminareoccorre calcolare il numero di Reynolds2ρvR QN R= dove v = è la velocità2ηπRmedia del fluido di densità ρ e viscosità η nel condotto cilindrico di raggio R , everificare che sia N < 1000. Per valori maggiori a 3000 il moto è sicuramenteRturbolento mentre per valori intermedi il regime è instabile.46

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005Esempi31. Un fluido di densità ρ = 1.0g/cm e viscosità η = 0.1 Pscorre in un condotto di raggio costante R = 1cm. Calcolare laportata sapendo che la differenza di altezza tra le due colonneposte ad una distanza l = 30cmè h = 3cm.hSoluzione: trattandosi di un fluido viscoso dobbiamo applicarel’equazione di Hagen-Poiseuille, sapendo inoltre che ladifferenza di pressione fra i due punti vale:p = p − p = ρgh∆1 2.p1p2Fig. 25. Problema 1.Q( 1cm)4π R π3= ∆p=1.0g/cm × 9.8 • 108 ηl8 0,1P × 30cm42cm/s23× 3cm = 384.8cm /s = 0.38litri/s2. Approssimando l'aorta di un adulto a riposo come un cilindro lungo L = 30cmdi raggioR = 9mm, si calcoli la caduta di pressione nel sangue quando attraversa l'aorta e la perdita−2di carico nell'aorta. Si assuma la viscosità del sangue η = 4.75 • 10 P e la portata del sanguenell’aorta Q = 83cm3/s.Soluzione: la caduta di pressione si ottiene applicando l’equazione di Hagen-Poiseuille(passando al sistema SI):−3−638ηLQ8 × 4.75 • 10 Pa • s × 0.3m × 83 • 10 m /s∆p = == 45.9Pa ≈ 0.3Torr;4 −34πRπ × 9 • 10 mmentre la perdita di carico è data daoppure∆pLaorta( )∆pLaorta0.3Torr= = 0.01Torr/cm.30cm45.9Pa2= = 1.53 • 10 Pa/m0.3m3. Calcolare la caduta di pressione e la perdita di carico in un capillare di lunghezza L = 1cm−7 3e raggio R = 20µm. Si assuma la portata volumetrica del capillare Q = 4.1 • 10 cm /s e la−2viscosità del sangue η = 4.75 • 10 P.Soluzione: la caduta di pressione si ottiene applicando l’equazione di Hagen-Poiseuille(passando al sistema SI):−3−1338ηLQ8 × 4.75 • 10 Pa • s × 0.01m × 4.1 • 10 m /s2∆ p = == 3.1 • 10 Pa ≈ 2.3Torr ;4 −64πRπ × 20 • 10 mmentre la perdita di carico è data da( )∆pLcapillare=34•2.1 • 10 Pa= 3.10.01m10Pa/m47

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005oppure∆pLcapillare2.3Torr=1cm=2.3Torr/cm.4. Con i dati degli esercizi 2 e 3 verificare che la resistenza di un capillare è molto maggiore∆p ∆pdella resistenza dell'aorta: R = >> Rcapillareaorta= .QQcapillareaorta5. Calcolare il numero di Reynolds per il sangue che scorre con velocità media v = 10cm/sinun’arteria di raggioη = 4.7510−2•PR = 2mm. Densità del sangue a 37°Soluzione: è sufficiente applicare la definizione di NR32ρvR2 × 1.05g/cm × 10 cm/s × 0.2cmN R= =≈ 88−2η4.75 • 10 Pcon flusso laminare.3ρ = 1.05g/cm e viscosità6. Calcolare il numero di Reynolds nell’ipotesi che nell’arteria dell’esercizio precedente siapresente una stenosi che riduca il raggio dell’arteria a R '= 0.2mm.Soluzione: occorre anzitutto ricalcolare la velocità media del sangue nell’ipotesi che la portatadell’arteria sia costante:22 2 ⎛ R ⎞ ⎛ 2mm ⎞v ' π R'= v πR⇒ v ' = ⎜ ⎟ v = ⎜ ⎟⎝R'⎠0.2mm⎝ ⎠è quindi applicare la definizione di NR2× 10 cm/s = 103 32ρv' R'2 × 1.05g/cm × 10 cm/s × 0.02cmN R= =≈ 884−2η4.75 • 10 Pcon flusso prossimo ad essere turbolento.3cm/s48

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005Cenni alla Circolazione del SangueNel tratto dell'aorta c'è una caduta dipressione molto piccola: come i datidell'esempio 2 se la pressione del sangue è100 Torr, quando entra nell'aortaprovenendo dal ventricolo sinistro, essa siè ridotta di soli 0 .3Torrquando il sanguearriva alle arterie maggiori. Ma mano amano che il sangue procede verso i vasi piùperiferici, questi hanno via via raggisempre più piccoli e quindi la caduta dipressione sarà sempre maggiore. Nellafigura è rappresentata schematicamente lavariazione di pressione del sangue nei varidistretti. Vediamo dal grafico che quandoil sangue entra nelle vene la pressione è disoli 10 Torr con una caduta di pressione totale su tutto il circolo pari a:100806040200aortaarteriecapillarivene4∆p = 100Torr-10Torr = 90Torr = 1.2 • 10 Pa.Con questi dati possiamo calcolare la resistenza totale di tutto il sistema circolatorio aorta-−4∆p1.2 • 10 Pa83arterie - arterioli - capillari: R = == 1.44 • 10 N • s/m .−63Q 83 • 10 cm /s8ηLSi noti che se la resistenza del circuito aumenta (ricordando che R = , questo può4πRavvenire sia per un aumento della viscosità η che per una diminuzione del raggio R delcondotto) allora, per mantenere normale il flusso di sangue, la pressione sanguigna deveaumentare (ipertensione) con conseguente aumento del lavoro richiesto al cuore. Infatti,possiamo dimostrare semplicemente che il lavoro fatto dal cuore dipende dalla pressionesanguigna, calcolando la potenza sviluppata dal cuore. La potenza può essere espressa comeprodotto della velocità media con cui il sangue esce dal cuore per la forza media esercitatadal cuore sul sangue quando viene pompato fuori e la forza come prodotto della pressione pesercitata dal cuore per la sezione S dell'aorta:P = Fvmedia = pSvmedia= pQ da cui si vede chiaramente che il lavoro fatto dal cuore in 1 scresce al crescere della pressione sanguigna.Si verifichi che in un adulto conp = 100Torre Q = 83cm3/s si ha P = 1.1W.49

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005Lo SfigmomanometroLa pressione del sangue si misura con un manometro. Lo strumento tradizionale è unmanometro a mercurio collegato ad un bracciale che può essere gonfiato con aria utilizzandoun’apposita pompetta di gomma. Il bracciale viene avvolto intorno all’avambraccio, all’altezzadel cuore altrimenti bisognerebbe tener conto della correzione idrostatica dovuta alla leggedi Stevino. Si pompa aria in modo che il bracciale, gonfiandosi, vada a comprimere l’arteriabrachiale fino a bloccare completamente il flusso di sangue nell’arteria del braccio: in questomomento la pressione dell’aria nel bracciale è sicuramente maggiore della pressione sistolica(pressione massima). Successivamente l’aria viene lasciata uscire molto lentamente, azionandoun’apposita valvola, mentre con uno stetoscopio si ascolta il rumore di quando il sangueriprende a circolare nell’arteria. Il primo rumore si avverte quando la pressione nel bracciale èuguale alla pressione sistolica: in condizioni di massima pressione un po’ di sangue riesce apassare anche attraverso l’arteria schiacciata (sezione piccola → velocità grande → mototurbolento → rumore). Il dislivello della colonna di mercurio (in mm Hg) al primo rumorefornisce pertanto una misura della pressione massima (sistolica). Si fa uscire altra aria dalbracciale fino a quando il rumore cessa perchè il flusso sanguigno è tornato al regimelaminare; il dislivello del mercurio nell’istante in cui cessa il rumore rappresenta la presisoneminima (diastolica).50

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005Il Moto dei Corpi nei Fluidi RealiVediamo ora l’effetto della viscosità sul moto di un corpo all’interno di un fluido reale.La forza di Stokes è la forza che un fluido reale di viscosità η oppone ad un corpo inmovimento con velocità v in regime laminare. Questa forza dipende dalle dimensioni edalla forma del corpo: nel caso in cui il corpo abbia forma sferica con raggio r vale:F S= 6πrηv. Questa relazione è valida solo se il movimento non crea turbolenze nelfluido ovvero se il numero di Reynolds in questo caso definito comeρvrN R= èηminore di 0.2. Se N > 1000 il moto è sicuramente turbolento eR2F S∝ v , mentre pervalori intermedi il regime è instabile. Inoltre questa forza, essendo una forzad’attrito, sarà sempre diretta nel verso opposto alla velocità del corpo.Conseguenza diretta è la sedimentazione. Immaginiamo dei corpuscoli di forma sfericadi densità ρ in sospensione in un liquido di densità ρ '. Le forze cui sono soggetti sonoinizialmente forza peso e spinta di Archimede la cui somma, rivolta verso il basso,genera un moto accelerato che porta il corpuscolo a scendere verso il fondo. A causadell’aumento della velocità la forza di Stokes, inizialmente nulla, cresce d’intensitàfino ad equilibrare le prime due. A questo punto la risultante delle forze è nulla e lavelocità del corpuscolo raggiunge il valore limite fissato dal Primo Principio dellarDinamica: F = 0 ⇒ P − F −F= 0 ⇒ ρVg− ρ ′ Vg − 6πrηv= 0 da cui si∑ricava la relazionev sA( ρ − ρ ′)V g= equivalente a6πηrs( ρ − ρ )s2 ′ r 2 gv s= dove si è usato9ηl’espressione del volume della sfera V4 r 3= π3.Lo stesso principio può essere usato per la centrifuga. Immaginiamo dei corpuscoli diforma sferica in sospensione in un liquido posto in una provetta in rotazione intorno adun asse verticale con velocità angolare ω . In questo caso, trascurando la forza peso,si può dimostrare che il corpuscolo in sospensione ad una distanza R dall’asse di51

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005rotazione è soggetto ad una forza centripetaF C2= ρ′ VωR ed applicando il PrimoPrincipio della Dinamica si ottiene:FC222+ F = MωR ⇒ ρ′VωR + 6πrηv= ρVωRss⇒( ρ − ρ′)2V ω Rv s= 6 πrηsimile alla velocità di sedimentazione nel campo gravitazionale dove al posto di g sideve sostituire l’accelerazione centripetaω 2 R .52

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005Esempi−41. Approssimando un globulo rosso ad una sferetta di raggio r = 2 • 10 cm e densitàρ = 1 .3 • 103 kg/m 3 , determinare il tempo necessario affinché si abbia un sedimento di 1 mm3 3nel plasma ( ρ0= 1 .0 • 10 kg/m ) alla temperatura T = 37° C (coefficiente di viscosità−3η = 4 • 10 Pa • s ): a) nel campo gravitazionale, b) in una centrifuga in cui l’accelerazione è5a = 3 • 10 g .Soluzione: lo spessore s del sedimento è funzione della velocità di sedimentazione v se delV ( ρ − ρ ′)gtempo t secondo la formula s = vst. Nel caso a) avremo v s = per cui:6πηr−3−3s 6πηrs9 × 4 • 10 Pa • s × 10 mt = =1530s3 =4 123 33 32− 2×4 10 cm×1.3 10 kg/m −1.010 kg/m × 9.8 m/s= ,−v πrρ ρ g •••s3( ) ( )0( ) ( )2V ρ − ρ′ω R V ρ − ρ ′ amentre nel caso b) avremo v s= =da cui6 πrη6 πrη−3−3πη rs9 × 4 • 10 Pa • s × 10 mt ==−123 33 34 3( )2 × 4 • 10 cm × ( 1.3 • 10 kg/m − 1.0 • 10 kg/m ) × 3 •πrρ − ρ100 a36 −3= 5.1 • 1052× 9.8m/ss2. Una sfera d’alluminio di densitàρ = 2 .7 • 103 kg/m 3 cade in un recipiente contenente olio3 3lubrificante ( ρ0= 1 .0 • 10 kg/m e η = 0 .6Pa • s ) raggiungendo la velocità limitev = 12cm/s. Determinare il raggio r della sfera e verificare che il moto è laminarecalcolando il numero di Reynolds.( ρ − ρ ′)V gSoluzione: la velocità limite della sfera è data dell’espressione v s = , il volume è6πηr4 3legato al raggio della sfera da V = πr , per cui il raggio della sfera valer=23 33 3( ρ − ρ′) g 2 × ( 2.7 • 10 kg/m − 1.0 • 10 kg/m )39 × 0.6Pas × 0.12m/s9ηvs•−3== 4.4 • 1022× 9.8m/s3 3−3ρvsr1.0 • 10 kg/m × 0.12m/s × 4.4 • 10 minfine NR= == 0. 44η0.6Pa • sm3. Dimostrare che in una centrifuga le particelle in sospensione nel liquido di densità ρ′ sonosoggette alla forza centripetaF C2= ρ′ VωR .Soluzione: basta osservare che se al posto delle particelle ci fosse un pari volume di liquido,questi rimarrebbe in rotazione alla distanza R . Affinché questo avvenga è necessaria la2presenza di una forza centripeta il cui modulo soddisfi a F C= ρ′ VωR . Poiché questa forza èesercitata dal resto del fluido non dipende da cosa occupa il volume V , pertanto inserendoora la particella questa subirà la stessa forza centripeta.53

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005I Fenomeni di Superficie dei LiquidiPer capire l'importanza di questi fenomeni in biologia, basta considerare che gliscambi di energia e materia di una cellula con l'ambiente esterno avvengonoattraverso la sua superficie. Questi fenomeni diventano molto importanti quando ilrapporto superficie volume è molto grande, come ad esempio nei polmoni, dovel'eliminazione di anidride carbonica e l'apporto di ossigeno al sangue avvieneattraverso la superficie degli alveoli polmonari per diffusione, processo molto lento,che pertanto richiede una superficie di contatto (membrana alveolare) molto estesa,circa270 m (contro i22 m della superficie del corpo umano).Le superfici di separazione fra mezzi diversi - ad esempio tra due liquidi non miscibilio tra un liquido e un gas - possiedono particolari proprietà che danno luogo ad effettidetti fenomeni di superficie. Questi sono essenzialmente dei fenomeni molecolaridovuti alle forze di coesione (forze di attrazione che esistono fra le molecole e cheagiscono entro un raggio di azione dell'ordine di 10 − 9m ).Consideriamo per esempio due molecole poste in un liquido21in posizione diversa rispetto alla superficie di•separazione liquido-aria, come riportato in figura 26:quella immersa in profondità nel liquido (1) è soggetta alle•forze attrattive da parte di tutte le altre molecole che lacircondano e che si trovano dentro la sfera il cui raggio èpari al raggio d’azione della forza di coesione. Poichéqueste forze sono esercitate da tutte le direzioni edFig. 26. Effetto di superficie.Le molecole considerate neltesto si trovano al centro deicircoletti.hanno in media la stessa intensità, la risultante è nulla e la molecola può muoversiliberamente all’interno del volume. Nei pressi della superficie (2), invece, venendo amancare una parte del liquido che circonda la molecola la forza di attrazioneesercitata dalle molecole contenute nella parte grigia del volume non è più compensata54

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005e l’effetto è una forza che attira la molecola verso l’interno. Per questo motivo, tuttele molecole che si trovano nello stato superficiale del liquido, di spessore pari aldiametro della sfera d'azione della forza di coesione, sono soggette ad una forza chetende a mantenerle nel liquido. Poiché questa forza attrattiva F agisce su tutta lasuperficie S del liquido, possiamo definire una pressione superficiale comeFp s = .SIn altre parole, a causa delle forze di coesione e della superficie di separazioneliquido-aria, il liquido viene a trovarsi in uno stato di compressione.Volendo aumentare la superficie libera di un liquido sarà necessario far passare uncerto numero di molecole dall'interno alla superficie, vincendo le forze di attrazioneesercitate dalle altre molecole; occorre quindi compiere un lavoro che si traduce inaumento di energia del sistema. Questo meccanismo ci fa capire come l'aumento disuperficie libera di un liquido non possa mai avvenire spontaneamente. Al contrario, latendenza spontanea di un liquido è di ridurre la propria superficie libera. Inparticolare, una goccia tende ad assumere la forma sferica (trascurando la gravità)perchè questo è il solido che presenta la minore superficie a parità di volumecontenuto ed alla superficie minore compete un'energia minore.Possiamo quindi immaginare l'energia totale che ha un liquido come formata da dueparti, un'energia di volume E Vlegata all'energia delle molecole interne ed un'energiasuperficialeESche, come abbiamo visto, dipende solo dalla superficie del liquido,pertanto possiamo scrivere: E E + E = E + τ Stot=V S VLa costante di proporzionalità τ fra l'energia richiesta e l'aumento di superficieottenuto, è detta tensione superficiale del liquido ( J2m55) e descrive la proprietà delliquido di assumere la configurazione con superficie minima, che nel caso di assenza digravità corrisponde ad una sfera.Possiamo arrivare ad un'altra definizione della tensione superficiale τ analizzando ilseguente esperimento che ci permette di misurare l’intensità delle forze di coesione.Immaginiamo di avere un telaio di filo metallico di forma rettangolare con un lato AB

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005mobile, di lunghezza l , che è stato immerso in un liquidoe pertanto trattiene una lamina liquida, come illustrato inAfigura 27. Per aumentare la superficie del velo di liquidoattaccato al telaio è necessario applicare una forza F rlBFche, per esempio, sposti di un tratto x il lato AB. Illavoro fatto in questo caso, assumendo la direzione dellaFig. 27. Effetto della tensionesuperficiale.forza parallela allo spostamento, saràL = Fx e l'aumento di superficie ∆ S = 2lx,dove il fattore 2 tiene conto che il velo di liquido ha due facce.Dalla definizione della tensione superficiale si ricavaenergia L Fτ == = da cuisuperficie ∆S2lsi vede che la tensione superficiale si può anche interpretare come quella forza perunità di lunghezza che tiene uniti i bordi di un immaginario taglio di lunghezza unitariadella lamina ( Nm). Come si può vedere nelle tabelle in fondo al paragrafo la tensionesuperficiale dipende dal liquido e, per uno stesso liquido, dipende dalla temperatura(all'aumentare della temperatura τ diminuisce perché diminuisce l'intensità delleforze di legame) e dal mezzo con cui il liquido è a contatto. Si chiamano tensioattivi(sapone, alcool, ecc) quelle sostanze che, se aggiunte ad un liquido, hanno la proprietàdi concentrarsi sullo strato superficiale di liquido e pertanto, non essendo attrattecon forza dalle molecole del liquido sottostante, ne abbassano la tensione superficiale.La capacità di un tensioattivo di ridurre la tensione superficiale dipende dalla suaconcentrazione.La tensione superficiale compare in diverse proprietà delle superfici:- lungo i bordi estremi della superficie (per esempio a contatto coi bordi del recipiente)agisce una forza parallela alla superficie, perpendicolare alla linea di contattoe d‘intensitàF= τldove l è la lunghezza della linea di contatto;- legge di Laplace: se la superficie di un liquido è curva (bolla d'aria in acqua o gocciadi liquido in aria, per esempio), la risultante delle forze dovute alla tensionesuperficiale determina una differenza di pressione fra l'interno del liquido e56

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005l'ambiente esterno conp > pint est(possiamo pensare che sia questa sovrappressioneinterna che mantiene la bolla). Chiamiamo pressione di contrattilità la differenza dipressionepc= p int− peste si può dimostrare che questa pressione cp è direttamenteproporzionale alla tensione superficiale τ ed inversamente proporzionale al raggio dicurvatura. In particolare:- per una qualunque superficie sferica (goccia)p c2τ= (per una superficie piana saràRp = 0 , mentre per una sfera di raggio infinitamente piccolo p → ∞)cc- per una superficie cilindricap cτ=R- per una bolla (in cui si hanno 2 superfici sferiche di separazione: quella interna ariaint/liquido e quella esterna liquido/aria est)p c4τ= (questo ci spiega, per esempio,Rperché le bolle di acqua saponata resistono di più, mentre le bolle di acqua pura sirompono subito, dato che τ < τ )acqua saponataacqua puraL'espressione generale della legge di Laplace è data per ogni punto della superficiedap ⎛⎟ ⎞= τ ⎜1 1+c⎝R1R2⎠dove R e R 1 2sono i raggi di curvatura calcolati lungo due direzioniqualsiasi ortogonali fra loro, della superficie che delimita una massa liquida. Peresempio nel caso della superficie sferica si avrà sempre lo stesso valore R R = R1= 2,mentre nel caso della superficie cilindrica uno dei due raggi di curvatura sarà ∞. Lalegge di Laplace vale anche per membrane elastiche sottoposte a due effettiantagonisti, una pressione interna pinte una pressione esterna pest. In particolare perun vaso sanguigno, applicando la legge di Laplace valida per una superficie cilindrica, siottieneτ = R che in questo caso prende il nome di tensione elastica. Si confrontino ip cvalori per l'aorta e per un capillare, consultando le tabelle in fondo al paragrafo.Fenomeni alla superficie di separazione fra sostanze diverse. Quando si depositauna goccia di liquido su una superficie solida, il liquido può spargersi sulla superficie(come avviene per esempio per l'acqua) o può rapprendersi tendendo a formare una57

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005goccia (per esempio il mercurio). Questo diversocomportamento dipende dalle intensità relative delleforze di coesione (forze che le molecole del liquidoesercitano fra loro) e di adesione (forza che laaasuperficie solida esercita sulle molecole del liquido).Una goccia d'acqua, come si dice, tende a bagnare lasuperficie distendendosi sulla superficie, mentre unaFig. 28. Effetto della tensionesuperficiale in presenza dipareti.goccia di mercurio no. Analogamente, per un liquido contenuto in un recipiente, l'angolodi raccordo fra la superficie del liquido e il recipiente è determinato dalle forze dicoesione e da quelle di adesione. In figura 28 sono mostrati due esempi in cui, asinistra, le forze di adesione sono maggiori di quelle di coesione (il liquido “bagna” lasuperficie ovvero menisco concavo, con angolo di contatto acuto) e viceversa, a destra,sono le forze di coesione a predominare (menisco convesso, angolo di contatto ottuso).In entrambi i casi, alla superficie di separazione liquido-aria, ci sarà una diversapressione fra l'interno e l'esterno del liquido e si genererà una pressione dicontrattilità regolata dalla legge di Laplace.Acqua-vetroEsempi di a˜ 0Acqua-paraffina 110Mercurio-vetro 148Trementina-vetro 17Cherosene-vetro 2658

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005Fenomeni di capillarità: quando un tubo di vetro disezione molto piccola (capillare) viene parzialmenteimmerso in un liquido, a seconda delle due situazionidescritte in precedenza (menisco concavo o convesso), siprodurrà nel capillare un innalzamento o un abbassamentodel liquido, rispetto al livello del liquido all'esterno.12hLa legge di Jurin ci permette di calcolare di quanto illiquido nel capillare si innalza (o si abbassa). ConsideriamoFig. 29. Effetto di capillarità.un tubicino immerso in un liquido e con un raggio R sufficientemente piccolo affinchéla superficie libera del liquido (menisco) sia una semisfera di raggio R , ovvero cheformi nel punto di contatto con il capillare, un angolo α = 0°. Analizziamo il caso di unliquido che “bagna” la superficie, per cui per quanto detto prima si avrà uninnalzamento h del liquido nel capillare. Per la legge di Laplace, a causa della curvaturanel punto 2 ci sarà una differenza di pressione fra l'interno della semisfera (allapressione atmosferica) e l'esterno della semisfera pari a2 τ2τ, cioè p0 − p2=RRpertanto nel punto 2 ci sarà una pressione minore rispetto a quella atmosferica pari ap2τ= p0e quindi il liquido salirà fino ad una altezza h . Poiché deve valere la leggeR2−di Stevino e anche nel punto 1 c'è la pressione atmosferica p0, dovrà essere2τp 1= p 2+ ρgh, e quindi = ρghRda cui si ricavah= 2τρgR.Si può dimostrare che per un angolo α qualsiasi la legge di Jurin diventah2τ cos α=ρgRda cui si vede per α = 90°(per esempio mercurio) si ha h < 0 (abbassamento).59

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005TABELLETensione superficiale tTensione superficiale tdell’acqua vs. temperaturaSostanza a 20°C (dine/cm) °C (dine/cm)Mercurio 476 0 75.6Acqua 72.8 10 74.2Glicerina 64.5 20 72.8Acqua saponata 25.0 80 62.6Benzolo 28.9 100 58.9Alcool etilico 22.3 140 50.8Etere etilico 12.0Saliva 18.0Tensione elastica nei vasi sanguigniVasi R (cm) Pressione (Torr) Tensione (N/m)Vena cava 1.6 10 21Aorta 1.3 100 170Piccole arterie 1.5 10 -2 60 1.2Capillari arteriosi 4 10 -4 30 0.4Vene 2 10 -2 15 0.016Tensioni interfacciali tSostanza(dine/cm)Etere-aria 17Acqua-aria 72.8Acqua-olio 21Olio-aria 32Benzina-aria 29Acqua-benzina 34Acqua-mercurio 427Mercurio-aria 47660

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005Esempi1. Determinare il raggio minimo di una goccia d’acqua che si può formare senza evaporare (si3assuma la tensione di vapore dell’acqua pari a p = 2 • 10 Pa e la tensione superficiale−2dell’acqua τ = 7.12 • 10 N/m ).2τSoluzione: la pressione di contrattilità p c = della superficie sferica della goccia d’acqua,Rche tende a contenere le molecole d’acqua nella goccia, deve contrastare la tensione di vaporeche spinge le molecole a staccarsi dalla goccia, per cui p = pR=−22τ2 × 7.12 • 10 N/m−5== 7.12 • 103p V2 • 10 Pam.VcV2. Un dischetto di metallo di raggio r = 1cme spessore h = 2mmgalleggia sull’acqua contenutain un bicchiere. Nell’ipotesi che le superfici del dischetto siano perfettamente lisce, determinarela massima densità del dischetto affinché lo stesso possa galleggiare sull’acqua (si−2assuma la tensione superficiale dell’acqua τ = 7.12 • 10 N/m ).Soluzione: la pressione esercitata dal peso del dischettodeformerà la superficie dell’acqua in modo che la stessaeserciti lungo il bordo di contatto tra dischetto e superficie(circonferenza del dischetto), una forza parallela allasuperficie e proporzionale alla tensione superficialeF = 2πrτ , la cui componente perpendicolare equilibra il pesodel dischetto. Nelle condizioni di massimo sforzo la superficiedi contatto diventerà perpendicolare per cui la forza F2eguaglierà la forza peso 2 πrτ= mg = πrhρgdove abbiamoespresso la massa attraverso la densitàm2= ρ V = ρπrh .La massima densità vale:−22τ2 × 7.12 • 10 N/m3 3ρ = == 0.73 • 10 kg/m .−2−32rhg 10 m × 2 • 10 m × 9.8m/sQuesto esempio ci permette di capire come, grazie alla tensione superficiale, piccoli oggetti(foglie, fiori, insetti....) possano essere sostenuti sulla superficie di un liquido senzaimmergersi e come alcuni insetti possano camminare sull'acqua.F rFig. 30. Problema 2.61

M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/20053. Un ragazzino, soffiando in una soluzione saponata di tensione superficiale−3τ = 25 • 10 N/m , forma una bolla di sapone di raggio R = 1.40cm. Calcolare:a) la differenza di pressione fra interno e l'esterno della bolla;b) il lavoro fatto dal ragazzino per gonfiare la bolla di saponeSoluzione: a) dalla legge di Laplace la pressione di contrattilità di una bolla è data dap c4τR4 ⋅25⋅10=21.4 ⋅10=−−3= 7.16PaEb) Ricordando la definizione di tensione superficiale come τ = possiamo ricavare il lavoro∆Scome aumento di energia in seguito all'aumento della superficie della bolla. L'aumento disuperficie è dato da (si noti il fattore 2)2 22−42−4∆S= 2 × 4πR −R= 2 × 4π1.40 - 0 • 10 m = 49.2 • 10( ) ( )22 1mpertanto−3−42L = τ∆S= 25 • 10 N/m × 49.2 • 10 m = 123µJ4. Determinare l’innalzamento dovuto alla capillarità in un tubo di vetro di diametro−3d = 4 • 10 cm con un estremo immerso in acqua. Si assuma l’angolo di raccordo sia uguale a−2zero e che la tensione superficiale dell’acqua sia τ = 7.12 • 10 N/m .2τSoluzione: l’altezza raggiunta dall’acqua nel capillare è data dall’espressione = ρgh.R−22τ2 × 7.12 • 10 N/mh = == 0.726m3 32−5g d.ρ 10 kg/m × 9.8m/s × 0.5 × 4 • 10 m2Da questo risultato si capisce come la capillarità ci permetta di spiegare fenomeni come lasalita della linfa nelle piante o la salita dei liquidi in sostanze porose.62