Spazi affini Def. Si dice spazio affine di dimensione n sul campo K la ...

Spazi affini
Def. Si dice spazio affine di dimensione n sul
campo K la struttura An(K) costituita da:
•A un insieme non vuoto (insieme dei punti);
•Vn(K) uno spazio vettoriale;
• f : A2 ↦→ Vn(K)
(P, Q) ↦→ f((P, Q)) = v
un’applicazione tale che
1. ∀P ∈ A, ∀v ∈ V ∃! Q ∈ A tale che
f((P, Q)) = v, e si pone v = � P Q
2. ∀P, Q, R ∈ A, se v = � P Q e w = � QR
allora v + w = � P R.
Prop. In uno spazio affine valgono le seguenti
regole di calcolo:
1. ∀P ∈ A, � P P = 0;
2. ∀P, Q, R ∈ A, � P Q = � P R ⇔ Q = R;
3. ∀P, Q ∈ A, � P Q = 0 ⇔ P = Q;
4. v = �
P Q ⇒ −v = �
QP
5. ∀P1, P2, Q1, Q2 ∈ A,
P1P2
� = � Q1Q2 ⇔ � P1Q1 = � P2Q2;

Sottospazi lineari
Def. Si dice traslazione individuata dal vettore
v ∈ Vn(K) la biiezione
tv : A ↦→ A
P ↦→ tv(P ) = Q
dove v = �
P Q.
Def. In uno spazio affine An(K), si dice sottospazio
lineare di dimensione h l’insieme di
tutti e soli i punti traslati di un punto P , detto
origine, mediante i vettori di un sottospazio
di Vn(K) di dimensione h, sia V h(K), detto
spazio di traslazione. In simboli si scrive
S h = [P ; V h(K)]
Def. In An(K) i sottospazi lineari
S0, di dimensione 0, si dicono punti;
S1, di dimensione 1, si dicono rette;
S2, di dimensione 2, si dicono piani;
.
Sn−1, di dimensione n − 1, si dicono iper-
piani.

Proprietà di sottospazi lineari
Prop.1 Ogni punto di S h = [P ; V h(K)] può essere
scelto come origine.
Prop.2 Siano S h = [P ; V h(K)] e S k = [Q; V k(K)]
sottospazi lineari di An(K), allora
21 S h ⊆ S k ⇔ S h ∩ S k �= ∅ � V h ⊆ V k
22 S h ∩ S k �= ∅ ⇒ S h ∩ S k = [P ; V h ∩ V k],
dove P è un qualunque punto di S h ∩ S k.

Parallelismo fra sottospazi lineari
Def. Due sottospazi lineari S h = [P ; V h(K)]
e S k = [Q; V k(K)] si dicono paralleli se i loro
spazi di traslazione sono confrontabili per inclusione,
cioè: V h ⊆ V k oppure V k ⊆ V h.
Prop. Due sottospazi lineari paralleli e di ugual
dimensione hanno lo stesso spazio di traslazione.
Prop. Due sottospazi lineari paralleli e di ugual
dimensione, se sono distinti, hanno intersezione
vuota.

Sottospazi lineari di dimensione n = 1, 2
Def. Sia s = [P ; V1] la retta di origine P e spazio di
traslazione V1. Lo spazio vettoriale V1 si dice anche
direzione della retta s.
N.B. Due rette parallele hanno la stessa direzione
Def. Sia α = [P ; V2] il piano di origine P e spazio di
traslazione V2. Lo spazio vettoriale V2 si dice anche
giacitura del piano α.
N.B. Due piani paralleli hanno la stessa giacitura.
Def. Si dicono incidenti:
- due rette oppure un piano ed una retta aventi esat-
tamente un punto in comune;
- due piani aventi in comune esattamente una retta.
Def. Due rette appartenenti ad uno stesso piano si di-
cono complanari. Due rette non complanari si dicono
sghembe.
Prop. In An(K) con n ≥ 3
1. esistono rette sghembe;
2. date due rette sghembe r ed s, esistono
due piani paralleli α e β tali che r ⊆ α e s ⊆ β.

Punti, rette e piani: proprietà
Prop. In An(K), con n ≥ 2
1. per due punti distinti passa una ed una sola retta;
2. per due rette distinte, parallele o incidenti, passa
uno ed un solo piano;
3. due rette complanari aventi intersezione vuota
sono parallele;
4. per un punto passa una ed una sola retta parallela
ad una retta data;
5. per un punto passa uno ed un solo piano parallelo
ad un piano dato;
6. per tre punti non allineati passa uno ed un solo
piano;
7. una retta avente due punti distinti in un piano
giace interamente nel piano;
8. per un punto passano almeno due rette distinte.
Prop. In A3(K)
1. una retta ed un piano aventi intersezione vuota
sono paralleli;
2. due piani aventi intersezione vuota sono paralleli;
3. due piani distinti aventi in comune un punto
hanno in comune una retta passante per quel punto;
4. per una retta passano almeno due piani distinti.

Mutua posizione di punti, rette e piani
Siano r ed s due rette di An(K) con n ≥ 2
r∩s
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∅
⎧
⎨
⎩
complanari ⇔ parallele e distinte
non complanari, cioè sghembe
{P } incidenti (ovviamente complanari)
r = s coincidenti
(ovviamente complanari e parallele)
Siano⎧α ed s un piano e una retta di A3(K)
⎪⎨ ∅ paralleli e disgiunti
α ∩ s {P } incidenti
⎪⎩
s la retta è inclusa nel piano
(ovviamente paralleli)
Siano ⎧α
ed β due piani di A3(K)
⎪⎨ ∅ paralleli e disgiunti
α ∩ β {r} incidenti
⎪⎩
α = β coincidenti
(ovviamente paralleli)

Segmento. Punto medio. Simmetria
centrale
Def. In An(K), dove K è un campo ordinato,
siano H, K ∈ A. Sia s la retta per H e K.
Si dice segmento di estremi H e K l’insieme
HK = {Q ∈ s | � HQ = k � HK, con 0 ≤ k ≤ 1}
Def. In An(K) si dice punto medio di HK il
punto M = tv(H), dove v = 1 2 �
HK.
Def. In An(K) il punto K si dice simmetrico
del punto H rispetto al punto C se C è il
punto medio del segmento HK. Il punto C
è detto centro di simmetria e la simmetria è
detta simmetria centrale.