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einleitung XXIII
(2) Konvergenz, Divergenz
Leibniz übernimmt den Ausdruck convergens (konvergent) ebenso wie den Ausdruck terminatio
(Grenzwert) von James Gregory, der ihn in seiner Vera circuli et hyperbolae
quadratura (Padua 1667, Definitionen) für eine Doppelfolge in, cn eingeführt hatte: Die
in bilden eine streng monoton wachsende, die cn eine streng monoton fallende, die Differenzen
cn − in eine Nullfolge. Dazu sagt Gregory: die Differenz wird kleiner als jede
vorgegebene Größe. Die Terme in, cn heißen convergentes, konvergierend, insofern sie sich
immer stärker zueinander neigen und bei unendlicher Fortsetzung einander und damit
dem Grenzwert gleich werden.
Im Anschluß daran definiert Leibniz: Eine Folge ist convergens, wenn die Differenz
zwischen zwei (aufeinanderfolgenden) Termen kleiner als jede gegebene Größe wird
(N. 64). Die Gregorysche bzw. Leibnizsche Folgenkonvergenz ist also als Spezialfall im
allgemeinen Konvergenzprinzip von Cauchy enthalten: | an − an+m | < ε mit m = 1.
Am Gregoryschen Begriff der series convergentes kritisiert Leibniz den Charakter
der Doppelfolge, da in der Regel eine einzige (im oben genannten Sinne konvergente)
Folge allein bereits ausreichend sei. Dem stellt Leibniz das andere Merkmal der meisten
Doppelfolgen von Gregory gegenüber, die series replicatae oder substitutrices, die rekursiv
definierten Folgen (N. 39, 60, 64, 68), deren Untersuchung er für weit nützlicher
hält. Leibniz setzt auch diese als konvergent voraus, wenn er fordert, daß in einer series
replicata für hinreichend großes n die Differenz zwischen an, an+1 und an+2 kleiner als
jede gegebene Größe wird.
Konvergente Reihen im modernen Sinne heißen series summabiles (N. 38, 43 u. ö.)
In Anlehnung an Gregorys konvergente Folgen führt Leibniz den Begriff series divergentes
(divergente Folgen) für eine Doppelfolge an, dn ein: Die Terme an, dn entfernen
sich zunehmend voneinander. Die an vergrößern eine Größe g, die dn vermindern g. Unter
bestimmten Bedingungen führt dieser Prozeß dennoch zu etwas Endlichem. Leibnizens
Divergenzbegriff ist also nur für zwei Folgen erklärt und führt — im Sinne des modernen
Divergenzbegriffes — gegebenenfalls auf zwei Häufungspunkte der Doppelfolge an, dn.
Das durch die Diskussion zwischen Leibniz und Grandi (LMG IV S. 215–217) berühmt
gewordene Beispiel 1 1
= = 1 − 1 + 1 − 1± etc. tritt bis Mitte 1674 (N. 30) und 1676
2 1 + 1
in einer Gesprächsaufzeichnung mit Tschirnhaus (N. 682) auf.
(3) Spezielle Folgen, Reihen
Eine harmonische Reihe (progressio harmonica) ist dadurch definiert, daß für drei be-
liebige, aufeinander folgende Glieder a, b, c gilt: a
c
= a − b
b − c
2ac
bzw. b = , das heißt
a + c