skyrius 4 Å ilumos laidumo ir difuzijos lygtys

skyrius 4
Šilumos laidumo ir difuzijos
lygtys
4.1 Difuzijos matematinis modelis
Dėl medžiagos (pavyzdžiui, druskos; 4.1 pav.) molekulių chaotinių judėsių
kinta jos koncentracija (molekulių kiekis) kitoje medžiagoje (pavyzdžiui,
vandenyje). Difuzuojančių medžiagų sąveikos procesas paprastai vyksta du-
4.1 pav: Difuzijos proceso modelis
jose ir skysčiuose ir vadinamas difuzija. Per laiko intervalą ∆t ≪ 1 per
vamzdžio pjūvį (S – pjūvio plotas) praeina difuzuojančios medžiagos kiekis,
kurio masė yra m. Šis kiekis priklauso nuo medžiagos (pavyzdžio atveju
– druskos) koncentracijos C(t,x) ir nuo difuzijos koeficiento λ. Masė m
išreiškiama Fiko (A.Fick) dėsniu:
m = −λ ∂C S ∆t. (4.1)
∂x
27

28 SKYRIUS 4. ŠILUMOS LAIDUMO IR DIFUZIJOS LYGTYS
Pastebėkime, kad iš (4.1) išplaukia
( ∂C(t,x + ∆x)
∆ x m = m(t,x + ∆x) − m(t,x) = −λ
∂x
− ∂C(t,x) )
S ∆t.
∂x
Kita vertus, per laiko intervalą ∆t ≪ 1 medžiagos (druskos) koncentacija
indo dalyje tarp x ir x + ∆x pasikeis taip:
−∆ x m = (C(t + ∆t, ˜x) − C(t, ˜x)) ∆V.
Čia ∆V – indo dalies tarp taškų x ir x + ∆x tūris, ˜x ∈ (x,x + ∆x). Kai
S–const, ∆V = S ∆x. Taigi gauname
C(t + ∆t, ˜x) − C(t, ˜x)
S = λS ∂ ( )
C(t,x + ∆x) − C(t,x)
.
∆t
∂x ∆x
Perėję prie ribos, kai ∆t → 0 ir ∆x → 0, gauname difuzijos lygtį
čia a = √ λ.
4.2 Šilumos laidumas strype
4.2.1 Modeliavimo prielaidos
∂C
∂t = a2 ∂2 C
∂x 2 , (4.2)
• strypas yra tiek plonas, kad kiekvieno skersinio pjūvio taškuose tempertūra
laikoma vienoda;
• u(t,x) – strypo skersmenyje, kurio koordinatė yra x temperatūra laiko
momentu t;
• S(x) > 0 – strypo skerspjūvio plotas;
• p(x) > 0 – skerspjūvio perimetras;
• ρ(x) > 0 – tankis;
• C(x) > 0 – specifinė šiluma (šilumos kiekis strypo elemente x, x+∆x
lygus CρS∆xu);
• k(x) > 0 – šilumos laidumo koeficientas;
• κ(x) > 0 – spinduliavimo (aušimo) koeficientas;
• f(t,x) – oro temperatūra strypo aplinkoje.

4.2. ŠILUMOS LAIDUMAS STRYPE 29
4.2.2 Diferencialinė lygtis
C(x)ρ(x) S(x) ∂u
∂t = ∂ (
k(x)S(x) ∂u )
− κ(x)p(x)(u − f(t,x)).
∂x ∂x
Kai visi modelio parametrai yra konstantos (vienalytė medžiaga ir vienodas
skerspjūvis),
∂u
∂t = a2 ∂2 u
− b(u − f(t,x)),
∂x2 √
k
a =
Cρ , b = κp
CρS .
Jei strypas yra izoliuotas (κ = 0), gauname homogeninę lygtį
∂u
∂t = a2∂2 u
∂x 2.
Šilumos sklidimas esant šilumos šaltiniui
Kai strypas yra izoliuotas ir veikia šilumos šaltinis, tai strypo temeratūrai
galioja nehomogeninė lygtis
∂u
∂t = a2 ∂2 u
+ h(t,x). (4.3)
∂x2 4.2.3 Šilumos laidumas erdvėje
Tarkime, kad ρ(x,y,z) – kūno tankis, C(x,y,z) – specifinė šiluma, k(x,y,x)
– šilumos laidumo koeficientas. Kūno temperantūrai u(t,x,y,z) galioja šilumos
laidumo lygtis
Cρ ∂u = div(k grad u). (4.4)
∂t
Kai parametrai ρ, C, k yra konstantos (homogeninis kūnas) gauname lygtį
čia a =
u t = a 2 ∆u,
√ k
ρC , ∆ ≡ ∂2
∂x 2 + ∂2
∂y 2 + ∂2
– Laplaso operatorius.
∂z2

30 SKYRIUS 4. ŠILUMOS LAIDUMO IR DIFUZIJOS LYGTYS
4.3 Koši uždavinio sprendimas
Begalinio strypo aušinimas
Spręsime uždavinį
kai −∞ < x < +∞, t 0.
∂u
∂t = a2 ∂2 u
∂x 2, u(t,x)| t=0
= ϕ(x), (4.5)
4.3.1 Kintamųjų atskyrimo metodas
Ieškosime netrivialių (nenulinių) (4.5) lygties spendinių tokiu pavidalu
u(t,x) = T(t)X(x).
Tada u t = T ′ (t)X(x), u xx = T(t)X ′′ (x) ir įrašę šiuos reiškinius į (4.5) lygtį,
gauname
T ′ (t)
T(t) = a2 X′′ (x)
X(x) = const.
Nagrinėsime atvejį const < 0 (priešingas atvejis neturi fizikinės prasmės) ir
pažymėkime const · a 2 = −λ 2 . Tada
T(t) = C e −λ2 a 2 t , X(x) = Acos λx + B sin λx.
Taigi pastebėję, kad λ yra bet kuris neneigiamas realusis skaičius, gauname
be galo daug lygties sprendinių
4.3.2 Furjė metodas
u(t,x) = e −λ2 a 2 t (A(λ)cos λx + B(λ)sin λx).
Tiesioginiu patikrinimu įrodome, kad integralas
u(t,x) =
∫
+∞
−∞
irgi yra (4.5) lygties sprendinys.
Iš pradinės sąlygos gauname:
u(0,x) =
∫
+∞
−∞
e −λ2 a 2 t (A(λ)cos λx + B(λ)sin λx) dλ (4.6)
(A(λ)cos λx + B(λ)sin λx) dλ = ϕ(x).

4.3. KOŠI UŽDAVINIO SPRENDIMAS 31
Tarkime, kad funkciją ϕ(c) galima išreikšti Furjė integralu. Tada
A(λ) = 1 ∫
2π
+∞
−∞
B(λ) = 1 ∫
2π
+∞
−∞
ϕ(ξ)cos λξ dξ,
ϕ(ξ)sin λξ dξ.
Iš čia, taikydami formulę cos λxcos λξ+sin λxsin λξ = cos λ(ξ−x), gauname
⎛
⎞
u(t,x) = 1 ∫+∞
∫+∞
∫+∞
e −λ2 a 2 t ⎝cos λx ϕ(ξ)cos λξ dξ + sin λx ϕ(ξ)sin λξ dξ⎠ dλ =
2π
−∞
1
π
∫
+∞
0
⎛
∫
⎝
+∞
−∞
−∞
Pakeitę integravimo tvarką, gausime
čia
I(ξ) =
⎞
−∞
e −λ2 a 2 t ϕ(ξ)cos λ(ξ − x)dξ⎠ dλ.
u(t,x) = 1 π
+∞
Raskime funkcijos I(ξ) išvestinę
∫
0
∫
I ′ (ξ) = −
1
2a 2 t
+∞
0
∫
+∞
0
∫
+∞
−∞
ϕ(ξ)I(ξ)dξ,
e −λ2 a 2 t cos λ(ξ − x)dλ.
e −λ2 a 2 t λsin λ(ξ − x)dλ =
sin λ(ξ − x)de −λ2 a 2 t
Diferencijavimu dalimis gauname diferencialinę lygtį
I ′ (ξ) = − ξ − x
2a 2 t I(ξ).

32 SKYRIUS 4. ŠILUMOS LAIDUMO IR DIFUZIJOS LYGTYS
Iš čia ir iš funkcijos I(ξ) reiškimo integralu, kai ξ = x:
išplaukia, kad
∫ ∞
0
√ π
e −z2 dz =
2
I(ξ)| ξ=x
= 1 √ π
2a t ,
I(ξ) = 1 √ π
2a t e−(ξ−x)2 4a 2 t .
Taigi galime užrašyti (4.5) uždavinio sprendinį
⎧
+∞
⎨ ∫
1
u(t,x) = 2a √ ϕ(ξ)e −(ξ−x)2 4a
πt
2 t dξ, t > 0
−∞
⎩
ϕ(x), t = 0
(4.7)
4.3.3 Fundamentinio sprendinio fizikinė prasmė
Tarkime, kad funkcija ϕ(ξ) (4.7) formulėje yra tokia
⎧
⎨ 0, kai ξ < x 0 − δ,
ϕ(ξ) = ϕ
⎩ 0 , kai x 0 − δ ξ x 0 + δ,
0, kai ξ > x 0 + δ,
čia δ – mažas teigiamas skaičius.
Paimkime,
ϕ 0 = Q 0
2δSρC ,
S – strypo skerspjūvio plotas,
ρ – strypo medžiagos tankis,
C – specifinė šiluma,
Q 0 – šilumos kiekis, sukoncentruotas strypo atkarpoje [x 0 − δ,x 0 + δ].
Įrašę ϕ 0 į (4.7) formulę, gausime
u(t,x) = Q 0
SρC ·
1
2a √ πt ·
1
2δ
x∫
0 +δ
x 0 −δ
e −(ξ−x)2 4a 2 t
dξ
ir kai δ → 0:
Q 0
SρC · 1
2a √ 0 −x)2
πt e−(x 4a 2 t .

4.3. KOŠI UŽDAVINIO SPRENDIMAS 33
Paimkime šilumos kiekį Q 0 taip, kad jis galėtų pakelti vienetinio ilgio strypo
atkarpos temperatūrą vienu laipsniu: Q 0 = 1 · SρC · 1. Funkciją
v(t,x) = 1
2a √ πt e−(x 0 −x)2
4a 2 t (4.8)
vadiname fundamentiniu sprendiniu. Ši funkcija turi šaltinio prasmę,
kai taške x = x 0 pradine akimirka patalpintas šilumos kiekis (toks, kad
pakelti temperatūra taip, kaip buvo nurodyta), o kituose strypo taškuose jo
temperatūra lygi nuliui.
Funkcijos v(t,x) grafikas esant skirtingoms t reikšmėms t 1 < t 2 < t 3 < t 4
parodytas 4.2 paveiksle.
4.2 pav: Funkcijos (4.8) grafikas esant skirtingoms t reikšmėms
4.1 pratimas. Raskite laiko momentą t x , kai taške x ≠ x 0 strypo
temperatūra v (t x ,x) yra maksimali ir raskite šią temperatūrą.
Temperatūros formulė plokštumoje ir erdvėje
u(t,x,y) = 1
4πa 2 t
∫+∞
∫
+∞
−∞ −∞
ϕ(ξ,η)e −(ξ−x)2 +(η−y) 2
4a 2 t
dξ dη.

34 SKYRIUS 4. ŠILUMOS LAIDUMO IR DIFUZIJOS LYGTYS
u(t,x,y,z) =
∫+∞
1
( √ ) 3
2a πt
∫+∞
∫
+∞
−∞ −∞ −∞
4.3.4 Kraštinės sąlygos
ϕ(ξ,η,ζ)e −(ξ−x)2 +(η−y) 2 +(ζ−z) 2
4a 2 t
dξ dη dζ.
Baigtinio strypo galuose x = 0 ir x = l palaikoma kintanti temperatūra α(t)
ir β(t) – pirmosios rūšies kraštinės sąlygos:
u(t,x)| x=0 = α(t), u(t,x)| x=l = β(t).
Strypo galuose yra žinoma šilumos srovė (ji proporcinga temperatūros gradijentui)
– antrosios rūšies kraštinės sąlygos:
∂u(t,x)
∂u(t,x)
∂x ∣ = γ(t),
x=0
∂x ∣ = δ(t).
x=l
Trečiosios rūšies kraštinės sąlygos – strypo galuose vyksta šiluminis
spinduliavimas į aplinką:
∂u(t,x)
− h 0 (u(t,x) − f 0 (t))
∂x
∣ = 0,
x=0 ∂u(t,x)
+ h l (u(t,x) − f l (t))
∂x
∣ = 0.
x=l
4.3.5 Kraštinio uždavinio sprendimas Furjė metodu
Baigtinio izoliuoto strypo aušinimas
u t = a 2 u xx , 0 < x < l, t > 0,
u(0,x) = ϕ(x),
u ′ x (t,0) = 0, u′ x (t,l) = 0.
Taikome kintamųjų atskyrimo metodą (4.3.1, 30 p.):
Iš čia gauname
T ′ (t)
T(t) = −a2 λ 2 , X ′′ (x) + λ 2 X(x) = 0.
T(t) = Ce −a2 λ 2t ,
X(x) = Acos λx + B sin λx.

4.4. MAKSIMUMO PRINCIPAS 35
Iš kraštinių sąlygų gauname, kad nenuliniai sprendiniai egzistuoja, kai
B = 0,
λ = nπ
l , n = 1,2,...
Todėl (atskirai išnagrinėkite atvejį, kai λ = 0)
u(t,x) = 1 2 A 0 +
Iš pradinės sąlygos turime
∞∑
n=1
A n e − n2 π 2 a 2 t
l 2
cos nπx
l
u(0,x) = 1 2 A 0 +
∞∑
n=1
A n cos nπx
l
= ϕ(x).
Taigi apskaičiuojame Furjė eilutės koeficientus
A n = 2 l
∫ l
0
ϕ(ξ)cos nπξ
l
dξ, n = 0,1,...
4.4 Maksimumo principas
Pažymėkime stačiakampio G = {0 t T, 0 x l} kontūrą Γ =
{t = 0, x = 0, x = l} (4.3 pav.) Tarkime, kad M Γ = max u(t,x) funkcijos
Γ
u maksimumas kontūro Γ taškuose, M G = max u(t,x) – jos maksimumas
G
srities G taškuose. Kadangi Γ ⊂ G, galioja nelygybė M Γ M G . Tačiau
šilumos laidumo lygties sprendiniui galioja lygybė M Γ = M G .
4.1 teorema. Tarkime, kad funkcija u(t,x) – lygties u t = a 2 u xx –
spendinys yra tolydi srityje G. Tada egzistuoja toks kontūro Γ taškas
(t 0 ,x 0 ), kad
u(t 0 ,x 0 ) = M G = max u(t,x).
G
Įrodymas. Tarkime, kad (t 1 ,x 1 ) ∈ G \ Γ yra vidinis srities G taškas ir
u(t 1 ,x 1 ) = M Γ + ε, ε > 0. Sudarome pagalbinę funkciją (ji nėra šilumos
laidumo lygties sprendinys)
U(t,x) = u(t,x) + ε
2t 1
(t 1 − t).

36 SKYRIUS 4. ŠILUMOS LAIDUMO IR DIFUZIJOS LYGTYS
4.3 pav: Maksimumo principas
Jei padaryta prielaida yra teisinga, funkcijos U maksimumas srities G taškuose
lygus M Γ + ε, o kontūro Γ taškuose
U(t,x)| Γ
M Γ + ε
2t 1
t 1 = M Γ + ε 2 .
Taigi funkcija U(t,x) įgyja maksimalią reikšmę kažkuriame vidiniame (atskirai
reikia nagrinėti atvejį t 2 = T ) srities taške (t 2 ,x 2 ). Maksimumo taške turi
būti U xx (t 2 ,x 2 ) 0 ir iš funkcijos U apibrėžimo išplaukia, kad u xx (t 2 ,x 2 )
0. Kita vertus, ekstremumo taške gausime įvertį u t (t 2 ,x 2 ) ε
2t 2
(lygybė
galima tik, kai t 2 = T ). Tada funkcija u(t,x) nėra lygties u t = a 2 u xx sprendinys,
o tai prieštarauja teoremos sąlygai.
4.5 Uždavinys apie žemės temperatūrą
Spręsime uždavinį, kai žinoma vidutinė ilgametė temperatūra žemės paviršiuje
f(t) = Re
+∞∑
n=−∞
f n e 2πnt
T ,

4.5. UŽDAVINYS APIE ŽEMĖS TEMPERATŪRĄ 37
čia T – metų ilgis (pavyzdžiui, T = 365).
Žymėsime x = 0 – žemės paviršius, x = −∞ – didelis gylis.
Sprendinio ieškosime Furjė eilutės pavidalu
u(t,x) =
+∞∑
n=−∞
f n u n (x)e 2πnt
T .
Funkcija u(t,x) yra šilumos laidumo lygties sprendinys. Todėl
Bendrasis lygties sprendinys
2πin
T u n = a 2 u ′′ .
u n (x) = A n e (1±i)qnx + B n e −(1±i)qnx , q n =
√
|n|π
a 2 T
bus aprėžtas tik, kai A n = 0.
Iš pradinių sąlygų gauname, kad u n (0) = 1. Pastebėkime, kad f n =
f −n = |f n |e −iγn . Todėl
u(t,x) = f 0 + 2
∞∑
n=1
(
|f n |e −qnx cos 2πn t )
T + γ n − q n x .
Furjė eilutės koeficientas f 0 turi ilgametės vidutinės temperatūros prasmę.
Pavyzdžiui, šiaurės kraštuose f 0 < 0 ir tai reiškia amžinąjį įšalą.