skyrius 4 Å ilumos laidumo ir difuzijos lygtys

28 SKYRIUS 4. ŠILUMOS LAIDUMO IR DIFUZIJOS LYGTYS
Pastebėkime, kad iš (4.1) išplaukia
( ∂C(t,x + ∆x)
∆ x m = m(t,x + ∆x) − m(t,x) = −λ
∂x
− ∂C(t,x) )
S ∆t.
∂x
Kita vertus, per laiko intervalą ∆t ≪ 1 medžiagos (druskos) koncentacija
indo dalyje tarp x ir x + ∆x pasikeis taip:
−∆ x m = (C(t + ∆t, ˜x) − C(t, ˜x)) ∆V.
Čia ∆V – indo dalies tarp taškų x ir x + ∆x tūris, ˜x ∈ (x,x + ∆x). Kai
S–const, ∆V = S ∆x. Taigi gauname
C(t + ∆t, ˜x) − C(t, ˜x)
S = λS ∂ ( )
C(t,x + ∆x) − C(t,x)
.
∆t
∂x ∆x
Perėję prie ribos, kai ∆t → 0 ir ∆x → 0, gauname difuzijos lygtį
čia a = √ λ.
4.2 Šilumos laidumas strype
4.2.1 Modeliavimo prielaidos
∂C
∂t = a2 ∂2 C
∂x 2 , (4.2)
• strypas yra tiek plonas, kad kiekvieno skersinio pjūvio taškuose tempertūra
laikoma vienoda;
• u(t,x) – strypo skersmenyje, kurio koordinatė yra x temperatūra laiko
momentu t;
• S(x) > 0 – strypo skerspjūvio plotas;
• p(x) > 0 – skerspjūvio perimetras;
• ρ(x) > 0 – tankis;
• C(x) > 0 – specifinė šiluma (šilumos kiekis strypo elemente x, x+∆x
lygus CρS∆xu);
• k(x) > 0 – šilumos laidumo koeficientas;
• κ(x) > 0 – spinduliavimo (aušimo) koeficientas;
• f(t,x) – oro temperatūra strypo aplinkoje.