skyrius 4 Å ilumos laidumo ir difuzijos lygtys

30 SKYRIUS 4. ŠILUMOS LAIDUMO IR DIFUZIJOS LYGTYS
4.3 Koši uždavinio sprendimas
Begalinio strypo aušinimas
Spręsime uždavinį
kai −∞ < x < +∞, t 0.
∂u
∂t = a2 ∂2 u
∂x 2, u(t,x)| t=0
= ϕ(x), (4.5)
4.3.1 Kintamųjų atskyrimo metodas
Ieškosime netrivialių (nenulinių) (4.5) lygties spendinių tokiu pavidalu
u(t,x) = T(t)X(x).
Tada u t = T ′ (t)X(x), u xx = T(t)X ′′ (x) ir įrašę šiuos reiškinius į (4.5) lygtį,
gauname
T ′ (t)
T(t) = a2 X′′ (x)
X(x) = const.
Nagrinėsime atvejį const < 0 (priešingas atvejis neturi fizikinės prasmės) ir
pažymėkime const · a 2 = −λ 2 . Tada
T(t) = C e −λ2 a 2 t , X(x) = Acos λx + B sin λx.
Taigi pastebėję, kad λ yra bet kuris neneigiamas realusis skaičius, gauname
be galo daug lygties sprendinių
4.3.2 Furjė metodas
u(t,x) = e −λ2 a 2 t (A(λ)cos λx + B(λ)sin λx).
Tiesioginiu patikrinimu įrodome, kad integralas
u(t,x) =
∫
+∞
−∞
irgi yra (4.5) lygties sprendinys.
Iš pradinės sąlygos gauname:
u(0,x) =
∫
+∞
−∞
e −λ2 a 2 t (A(λ)cos λx + B(λ)sin λx) dλ (4.6)
(A(λ)cos λx + B(λ)sin λx) dλ = ϕ(x).