skyrius 4 Å ilumos laidumo ir difuzijos lygtys

34 SKYRIUS 4. ŠILUMOS LAIDUMO IR DIFUZIJOS LYGTYS
u(t,x,y,z) =
∫+∞
1
( √ ) 3
2a πt
∫+∞
∫
+∞
−∞ −∞ −∞
4.3.4 Kraštinės sąlygos
ϕ(ξ,η,ζ)e −(ξ−x)2 +(η−y) 2 +(ζ−z) 2
4a 2 t
dξ dη dζ.
Baigtinio strypo galuose x = 0 ir x = l palaikoma kintanti temperatūra α(t)
ir β(t) – pirmosios rūšies kraštinės sąlygos:
u(t,x)| x=0 = α(t), u(t,x)| x=l = β(t).
Strypo galuose yra žinoma šilumos srovė (ji proporcinga temperatūros gradijentui)
– antrosios rūšies kraštinės sąlygos:
∂u(t,x)
∂u(t,x)
∂x ∣ = γ(t),
x=0
∂x ∣ = δ(t).
x=l
Trečiosios rūšies kraštinės sąlygos – strypo galuose vyksta šiluminis
spinduliavimas į aplinką:
∂u(t,x)
− h 0 (u(t,x) − f 0 (t))
∂x
∣ = 0,
x=0 ∂u(t,x)
+ h l (u(t,x) − f l (t))
∂x
∣ = 0.
x=l
4.3.5 Kraštinio uždavinio sprendimas Furjė metodu
Baigtinio izoliuoto strypo aušinimas
u t = a 2 u xx , 0 < x < l, t > 0,
u(0,x) = ϕ(x),
u ′ x (t,0) = 0, u′ x (t,l) = 0.
Taikome kintamųjų atskyrimo metodą (4.3.1, 30 p.):
Iš čia gauname
T ′ (t)
T(t) = −a2 λ 2 , X ′′ (x) + λ 2 X(x) = 0.
T(t) = Ce −a2 λ 2t ,
X(x) = Acos λx + B sin λx.