N - Vilniaus Gedimino technikos universitetas

išrinkimo etapai, naudojami šiame darbe, taikant dviguboėmimo imties planą, yra šie:a) pirmoje fazėje iš namų ūkių populiacijos U išrenkamen() 1dydžio imtįtikimybėmisp ki() 1pagal grąžintinės imties planą su, proporcingomis namų ūkio dydžiui, t.y.mkpk = (Kemzūraitė 2010).Mb) antroje fazėje, namų ūkių imtį() 1i skaidome įsluoksnius() 1pagal namų ūkio narių skaičiųi h() 1 () 1h,h = 1,2,...,H : i i ... i() 1=1∪ ∪H, čiaH max m k, k = 1,2,...,N . Pažymėję sluoksnioi h() 1n={ }dydį() , n h1() 1 () 1() 1n ... n n() 1+ + + .1 2H=h = 1,2,..., H , turime:Antroje fazėje iš kiekvieno pirmosios fazės imties() 1sluoksnio i hnepriklausomai renkame namų ūkių poimtį( 2)( 2) ( 1)i h, i h⊂ i h, h = 1,2,..., H , kurio dydis yra lygus() 1() 1 ( 2)⎡n⎤hsantykio n h/ h sveikajai daliai: nh= ⎢ .h⎥ Turime⎣ ⎦antrosios fazės paprastąjį atsitiktinį sluoksninį ėmimą.Kadangi tiek sluoksnių skaičius H, tiek ir imtiesdydžiai sluoksniuose nustatomi jau išrinkus pirmosiosfazės imtį, antrosios fazės imties planas priklauso nuopirmosios fazės imties realizacijos.Tyrimo kintamojo reikšmių sumos įvertinys taikantdviejų fazių ėmimą sluoksniavimui1 TEIGINYS (Krapavickaitė, Plikusas 2005: 92). Jei() 1( 1)turime n dydžio atsitiktinę grąžintinę imtį i iš Ndydžio baigtinės populiacijos, taia) populiacijos sumos įvertinys1n∑( 1k∈i )hypktˆyp=()(2)1yra nepaslinktasis.b) šio įvertinio dispersija yratˆypDtˆčia ssn2pkyp=(), (3)12pN⎛ y ⎞k= ∑⎜− ty⎟k =1⎝h M ⎠2Plačiau apie įvertinį pirmojoje fazėje nagrinėjamuatveju skaitykite straipsnyje (Kemzūraitė 2010: 69–70).⋅hM.Sudarykime sumost yįvertinį dviejų fazių ėmimoatveju. Perrašykime (2) įvertinį atsižvelgdami į tai, kad( 1)sluoksnio i namų ūkiuose yra po h narių:tˆyp=n1=nM HhH∑∑yphkM=n() 1() 1∑()th,1∑ ∑( 1h= k∈i) h= k∈i( 11)h k1h1hh=1h= ∑ y hk∈ ( 1k )čia t .i ht hSuma vertinama nepaslinktuoju įvertiniu iš( 2)imties i duomenų:h( 1)nhtˆh=( )y = 1 22 hk, h , , ..., H .(5)nh∑( 2k∈i )hĮrašius vietojthgaunamas naujas sumostˆ( 2)M=n() 1H∑1 n⋅h n( 1)h( 2)H1hšios sumos įvertinįt y∑yhkhh k i( 2= 1∈)hįvertinys:.yk(4)tˆhį (4) lygybę,2 TEIGINYS. Taikant dviejų fazių ėmimąsluoksniavimui kintamojo reikšmių sumosįvertinys (6) yra nepaslinktasis.Įrodymas. Šio teiginio įrodymui naudosime sąlyginiovidurkio savybę:( ( i)( 2) ( 2) ( 1 )E tˆ = E E tˆ(7)Jos įrodymas pateiktas vadovėlyje (Krapavickaitė,( 2)Plikusas 2005: 25). Į (7) formulę įrašę išraišką (6),gauname:Etˆ( 2)⎛⎛ H () 1⎜ ⎜M 1 nh= E E() ∑ ⋅1( 2)∑⎛ M⎜ n⎝⎜⎝H⎜⎝ n1hh=1⎜() 1= E⎜() ∑ n E1h( 2)∑Kadangi⎛E⎜1⎜ n h⎝( 2)h⎛ 1⎜⎝nnhyh= 1h k∈i( 2 )h∑yhk( 2k∈i)hi() 1⎞⎟ 1=⎟ n h⎠() 1khk∈( 2k i)h∑tˆ()⎞⎞1y i ⎟⎟⎟⎠⎠⎞⎞() 1y ⎟⎟hki⎟⎟⎠⎠yhk( 1k∈i)hįrašę (9) į (8) ir žinodami, jog įvertinysnepaslinktasis , gauname:,tˆyp(6)ty(8)(9)iš (2) yra2

E tˆ( )⎛⎜M= E⎝ nEtˆt .⎞⎟ = E⎠ nH2 1 () 1 11() ∑ n1h() 1 ∑ yhk=∈( 1h 1 h nhk i)hyp=y() 1∑( 1k∈i)h= (10)Teiginys įrodytas.Tyrimo kintamojo reikšmių sumos įvertinio tikrojidispersija, taikant dviejų fazių ėmimą sluoksniavimui3 TEIGINYS. Populiacijos sumos įvertinio (6) tikrojidispersija yraDtˆH 22 1h 1 1( )=() 1 ∑nh=1Mh⎛ N⎜⎝ N⋅MsN M⎟ ⎞−⎠H 21 M Nh1 ⎛ h ⎞+()⋅1 ∑⎜ μh− ty ⎟n h=1 h N M N ⎝ M ⎠H ⎛ () 12( 2)() 1 2nhnhshM ∑ E()() ( ).h= h n nhn ⎟ ⎟ ⎞2 1 ⎜⎛⎞ ⎛ ⎞+⎜⎜⎟⎜1−⎟2 11 21⎝⎝⎠ ⎝ ⎠ h⎠čiat=H∑∑y,yhkh= 1 k∈Uhsh=1 21∑( yhk−μ) 2h, μh= ∑yhk,Nh−1k∈UNh h k∈U h()() 21 2 11 () 1 1h=() ∑ yhk− yh( )( ) , yh=1() 1 ∑n k in ( )h−111∈ h h k∈i hsĮrodymas. Norėdami surasti įvertinio22hyypkk(11)hk.tikrąjądispersiją, taikysime sąlyginių vidurkių ir dispersijųsavybę (Krapavickaitė, Plikusas 2005: 25):DE( tˆ )( )ED( tˆ ( ))( ) ( 1)( tˆ )( 2) ( 2) ( 1)2 1= i i(12)D tˆ+čiaE – sąlyginis populiacijos sumos įvertiniovidurkis pagal visas galimas antrosios fazės imtis,() 1fiksavus pirmosios fazės imties i realizaciją.( ) ( 1)Atitinkamai žymima ir sąlyginė dispersija – D tˆ2 i .tˆ( 2)( )Suraskime kiekvieną sumos (12) dėmenį atskirai.1. Populiacijos sumos įvertinio sąlyginio vidurkiodispersija. Kadangi tˆ iš (5) formulės yra sluoksnio=∑( 1k∈i )hsumos t hy hkvidurkis yra( ) ( 1)⎛ M( i ) E⎜() 1E tˆhįvertinys, tai sąlyginis įvertinioH() 1 ⎞= ∑ ⋅tˆh i ⎟⎝ n h=1 h ⎠2 1( 2)tˆM=n() 1H∑h=11E tˆh() 1( i ).h(13)Įvertinys tˆhiš (5) yra nepaslinktasis t hįvertinys,( 2)nes ihyra paprastoji atsitiktinė imtis, todėl Etˆh= th.Tęsiame (13):( 2) ( 1)ME( tˆ i ) =() 1M=nH∑∑nH∑h=11thyk1=h n() 1() 1() 1( 2) ( 1h= 1 k∈i)h k∈i hh∑ypkk= tˆAtlikę pertvarkymus, gavome:yp.(14)( ) ( 1)E ( tˆ )2 i yraHanseno ir Hurvico įvertinys, jo dispersija lygi (3):2( 2) ( 1)spDE( tˆ i ) = Dtˆyp=(), (15)1nAtsižvelgdami į populiacijos suskaidymą įsluoksnius pagal namų ūkių dydį h,s=2p=H∑H∑Mh∑h= 1 k∈UhMh∑h= 1 k∈Uh⎛⎜⎝⎛⎜ y⎝hk−hM( y − μ )hkH= M ⎛∑ ⎜∑h=1 h ⎝ k∈Uhk∈Uh⎛ h+ ∑⎜μ −k U ⎝ M∈ hh2⎞ty ⎟⎠2s p=⎛+ ⎜ μh−⎝hM2∑ ( yhk− μh) + 2 ( yhk− μh)ht yHM ⎛= ∑ ⎜∑h= 1 h ⎝ k∈Uh+ 2∑k∈Uhyhk2⎞ ⎞⎟ ⎟⎠⎠( y − μ )hkk∈Uhh2k∈UhNNhh−1−12 hμh− 2∑μh− 2∑yhkty+ 2Mgalime išreikšti:2⎞⎞ty ⎟⎟⎠⎠⎛⎜ μh−⎝∑k∈Uh+ 2⎛ ⎞−+ ∑h∑ μh2 ∑ μhty ⎜ ⎟ tk∈Uk∈UMk∈U⎝ M ⎠H= ∑h=1h2+ N μ + NhMhhh(( N −1)hh⎛⎜⎝hMh 22ys2h⎞⎟⎠− 222ty⎞⎟⎠hMhhN μ th yhM⎞⎟⎠hMμ t⎞ty ⎟⎠h y3

Dˆ E tˆ( ) ( 1)1( i )() 11nM ⎛n= ∑n h 1 h⎜= ⎝n() 1h1()⋅1 () 1 () 1⎞− ŝM⎟⎠H 22 1H+() 1 ∑h=1Mh2nm() 1h() 1⎛⎜⎝mh− tˆMn( 2)2h( 2)ˆ μ (24)hIš (24) formulės matome, kad sąlyginio vidurkiodispersijos įvertinys priklauso nuo imties dydžio abejosefazėse bei nuo kvadratinio nuokrypio, populiacijos sumosbei vidurkio antroje fazėje.2. Populiacijos sumos įvertinio sąlyginės dispersijosvidurkio įvertinys. Sąlyginės dispersijos vidurkioišraiškoje (21), tikrąjį vidurkį keičiame jo įvertiniu:H () 12( 2)( 2)2( 2) ( 1)2 1 ⎛ n ⎞ ⎛ ⎞hn( ) = ∑⎜()⎟⎜ −hŝhÊD tˆ i M1()⎟( ).(25)2 11 2h=1 h ⎝ n ⎠ ⎝ nh⎠ nhTaikydami (23) formulę ir įvertinę abu dėmenis( 2)atskirai, gavome, jog tˆ įvertinio dispersijos įvertinysyra lygus (24) ir (25) įvertinių sumai:Dˆ tˆ( )=() 1 ∑1nh=1() 1⎛h⎜⎝ mH 22 1 M nh1Hn+() 1 ∑+ MMn2() 1h=1H∑h=12 H=Mn2∑h=1H+() 1 ∑h=1Mh12h2nm⎛ n⎜⎝ n() 1h() 1() 1h() 1() 11 ⎛⎜nhh⎝ m() 1() 11 nhh m() 1() 1⎛⎜ ˆ μh−⎝2⎞⎟⎠⎞− ŝM⎟⎠hM( 2)h() 1⎞ ⎛ n⎟⎜1−⎠ ⎝ nh2⎞tˆy ⎟⎠⎞ ŝ⎟⎠ n() 11 1 n − +hM h n⎛⎜⎝h− tˆM2() 1( 2)2h( 2)h2.( 2)2h⎛ n⎜1−⎝ n( 2)h⎞ 1⎟⎠ nh() 1 ( 2)h⎞⎟ŝ⎠( 2)( 2)ˆ μ (26)hIš (26) formulės matome, jog įvertinio( 2)tˆ dispersijos įvertinys gali būti išreikštas dviejųdėmenų suma, sudaryta iš atsitiktinių dydžių, gaunamų( 1) ( 1) ( 2) ( 2)2pirmoje ir antroje fazėse: nˆh,m , nh,ŝh, μhir( 2)tˆ .( 2)2. PASTABA. tˆ įvertinio dispersijos įvertinysnėra nepaslinktasis.Kadangi įvertinyje (24) atsiranda papildomas() 1atsitiktinis dydis m ir jo pavidalo negalime parašytitaikydami tik nepaslinktuosius įvertinius, šis įvertinysgali turėti gana ryškų poslinkį. Jo nepaslinktumas darnėra ištirtas. Nepaisant to, antrasis dispersijos įvertiniodėmuo (25) yra nepaslinktasis, kadangi jis nuopaprastosios atsitiktinės sluoksninės imties nepaslinktojo⎞⎟⎠2.h2dispersijos įvertinio pavidalo (Krapavickaitė, Plikusas2M2005: 154) skiriasi tik daugikliu2 , kuris nėrahatsitiktinis. Taigi, kadangi įvertinio (24) nepaslinktumas( 2)nėra pilnai ištirtas, įvertinio Dˆ tˆ negalime laikytinepaslinktuoju.Išvados1. Taikant dviejų fazių ėmimą sluoksniavimuisudarytas tyrimo kintamojo reikšmių sumos įvertinys yranepaslinktasis. Naudojant šį įvertinį, gauta jo tikrosiosdispersijos bei jos įvertinio išraiška.2. Minėto imties plano atveju siūlomas populiacijossumos įvertinio tikrosios dispersijos įvertinys gali turėtiposlinkį. Norint įvertinti jo įtaką, planuojama atliktiišsamesnę empirinių rezultatų, gautų modeliavimo metu,analizę.LiteratūraIlves, M. 2004. Variance and its estimator for one two-phasedesign, in: Workshop on Survey Sampling Theory andMethodology: June 18–22, 2004, Tartu, Estonia. Universityof Tartu, Estonia: 37–41.Kemzūraitė, E. 2010. Efficiency of two-phase sampling in thelabour fource survey, in Workshop on Survey SamplingTheory and Methodology: August 23–27, 2010, Vilnius,Lithuania. Vilnius: Statistics Lithuania, 68–74.Krapavickaitė, D.; Plikusas, A. Imčių teorijos pagrindai,Vilnius: Technika, 2005.ESTIMATION OF VARIANCE OF TOTAL ESTIMATORUSING TWO PHASE SAMPLING FORSTRATIFICATIONE. KemzūraitėAbstractThe structure of two-phase sampling for stratification design isshown in this paper. The estimator of parameters of interest ofthe population total is created using this sampling design and itsbias is analysed. The expressions of real variance and itsestimator of population total estimator are found using the basicoptions of conditional mean and conditional variance. Theproblem of estimator of this variance is also shortly analysed.Keywords: simple random stratified sample, two-phasesampling for stratification, estimator of variance5