IV skyrius. ANTROS EILĖS KREIVĖS IR PAVIRŠIAI

2.6. Uždaviniai1 uždavinys. Kokią kreivę koordinačių plokštumoje apibrėžia lygtys?a) 2x 2 +xy–y 2 +3x+3y=0;b) 9x 2 –6xy+y 2 +2x–4y+3=0.Sprendimas. a) Randame invariantus I 1 =1, = 0,1 32122 22 1 3I 2 < I3= −1= 0.1−12 223 302 2Pagal 2.5 punkto lentelę „kreivė“ yra dvi susikertančios tiesės. Vadinasi, lygties kairėje 4.20 pav.pusėje esantį daugianarį galima išskaidyti į du tiesinius daugianarius:Y2x 2 +xy–y 2 +3x+3y = 2x(x+y) – y(x+y) + 3(x+y)=(x+y)(2x – y+3).Prilyginę kiekvieną daugianarį nuliui, turime tų tiesių lygtis: x+y=0 ir 2x – y+3=0j′(4.20 pav.).19 − 3 110b) Lygties invariantai I 1 =10, I 2 =0, I3= − 3 1 − 2 ≠0. Kreivė yra parabolė,O′1 i ′ X−1 − 2 3104.21 pav.25kurios lygtis reperio ( O ′, i′, j′) atžvilgiu yra 10Y2 −2 10= −2X arba Y = − X1010(4.21 pav.).Ats.: a) dvi susikertančias tieses; b) parabolę.Pastaba. Lengvai apskaičiuojami antros eilės kreivės lygties invariantai mums leidžia nustatyti kreivės tipą, formą,nubrėžti kreivę pagal kanoninę lygtį reperio R ′ atžvilgiu. Tačiau ne visada galima nustatyti kreivės padėtį duotoreperio R atžvilgiu. Tam tikslui naudojame kitą metodiką, susijusią su elementariais, bet daug laiko reikalaujančiaisskaičiavimais.2 uždavinys. Kreivės lygtį 5x 2 – 4xy + 8y 2 + 26x + 4y + 5=0 pakeiskime kanonine.Sprendimas. Randame invariantus I 1 =13, I 2 =36>0, I 3