IV skyrius. ANTROS EILĖS KREIVĖS IR PAVIRŠIAI

3.7. Paviršių tiesinės sudaromosiosKūginiai ir cilindriniai paviršiai sudaryti iš tiesių – sudaromųjų. Yra ir daugiau paviršių,sudarytų iš tiesių. Pavyzdžiui, erdvės kreivės liestinės sudaro paviršių, sudarytą iš tų liestinių. 3.2–3.4 punktuose mes nagrinėjome elipsoidus, hiperboloidus, paraboloidus. Ar jie turi tiesiniųsudaromųjų, t. y. tiesių, esančių paviršiuje?Elipsoidas yra apibrėžta figūra, todėl nėra tiesių, priklausančių elipsoidui. Galima įrodyti [7],jog tiesinių sudaromųjų neturi elipsinis paraboloidas ir dvišakis hiperboloidas.I. Vienašakis hiperboloidas tiesinių sudaromųjų turi. Tai mes matėme 3.3.2 papunktyje. Įrodyta[7], [4], kad egzistuoja dvi vienparametrinės vienašakio hiperboloido tiesinių sudaromųjų šeimos:⎧ ⎛ x z ⎞ ⎞⎪⎜⎛ y ⎧k ⎜ + ⎟ = l 1 + ⎟,⎛ x z ⎞ ⎞11⎝ a c ⎠ ⎝ b⎪⎜⎛ yk−2⎜+ ⎟ = l21 ⎟,⎠⎨ir⎝ a c ⎠ ⎝ b ⎠4.45a pav.⎪ ⎛ x z ⎞ ⎞⎜ − ⎜⎛ ⎨yl ⎟ = k 1 −11 ⎟ ⎪ ⎛ x z ⎞ ⎞⎪⎜ − ⎜⎛ yl ⎟ = 1 +2k2⎟;⎩ ⎝ a c ⎠ ⎝ b ⎠ ⎪⎩ ⎝ a c ⎠ ⎝ b ⎠priklausančios atitinkamai nuo parametrų λ1=k 1 :l 1 ir λ2=k 2 :l 2 .Vienos šeimos dvi tiesės nesikerta, skirtingų šeimų tiesės visada kertasi.Per kiekvieną vienašakio hiperboloido tašką eina lygiai po vieną tiesę iš kiekvienos šeimos (4.45a pav.).II. Hiperbolinis paraboloidas taip pat turi dvi vienparametrines tiesinių sudaromųjų šeimas:⎧ ⎛ x z ⎞ ⎧ ⎛ x z ⎞⎪k1⎜+ ⎟ = l1z,⎪k1⎜+ ⎟ = 2l2,⎝ a c ⎠⎨ir⎝ a c ⎠⎨⎪ ⎛ x z ⎞l1⎜− ⎟ = 2k⎪ ⎛ x z ⎞1l1⎜− ⎟ = k2z,⎪⎩ ⎝ a c ⎠ ⎪⎩ ⎝ a c ⎠priklausančias atitinkamai nuo parametrų λ1=k 1 :l 1 ir λ2=k 2 :l 2 [4].Dvi vienos šeimos sudaromosios prasilenkia, dvi skirtingų šeimų sudaromosioskertasi.Per kiekvieną hiperbolinio paraboloido tašką eina lygiai po vieną tiesę iškiekvienos šeimos (4.45b pav.).4.45b pav.2 2x yPavyzdys. Raskime hiperbolinio paraboloido − = z tiesines sudaromąsias,einančias4 9per tašką M o (0, 3, -1).⎧ ⎛ x y ⎞⎪k1⎜+ ⎟ = l1z,Sprendimas. Parašome hiperbolinio paraboloido tiesinių sudaromųjų šeimos lygčių sistemą:⎝ 2 3 ⎠⎨⎪ ⎛ x y ⎞l1⎜− ⎟ = k1.⎪⎩ ⎝ 2 3 ⎠⎧k1= −l1,Raskime tokią parametro k 1 :l 1 reikšmę, kad tiesė eitų per tašką M o : ⎨⎩−l1= k1.⎧ x y⎪ + = −z,2 3⎨⎪ x y− = −1.⎪⎩2 3Analogiškai ieškome kitos šeimos tiesės. Taškas M o priklauso tiesei⎧k2= l2,⎨⎩−l2= −k2,t. y., kai λ2=1. Iš čia ieškomos tiesės lygčių sistema yra⎧3x+ 2y+ 6z= 0,Ats.: ⎨ir⎩3x− 2y+ 6 = 0⎧3x+ 2y− 6 = 0,⎨⎩3x− 2y− 6z= 0.⎧ x y⎪ + = 1,2 3⎨⎪ x y− = z.⎪⎩2 3Taigi λ1= –1, tiesės lygčių sistema yra⎧ ⎛ x y ⎞⎪k2⎜+ ⎟ = l2,⎝ 2 3 ⎠⎨⎪ ⎛ x y ⎞l2⎜− ⎟ = k2z⎪⎩ ⎝ 2 3 ⎠tada ir tik tada, kai104