IV skyrius. ANTROS EILĖS KREIVĖS IR PAVIRŠIAI

I Elipsinį paraboloidą galima gauti taip. Turime ,,nejudančią“ parabolęγ 1 ir ,,judančią“ parabolę γ 2 . Ji juda taip, kad viršūnė yra parabolėje γ 1 , ašislygiagreti su Oz ašimi, o parabolės plokštuma lygiagreti su Oxz plokštuma.Tada ,,judanti“ parabolė γ 2 ,,nubrėš“ elipsinį paraboloidą.Paraboles γ 1 ir γ 2 galima sukeisti vietomis. Įsitikinkite tuo ištirdamielipsinio paraboloido pjūvius, gautus kertant jį plokštumomis x=h,lygiagrečiomis su Oyz plokštuma.Pavyzdys. Pavaizduokime elipsinį paraboloidą 4x 2 +9y 2 – z=0.Sprendimas. Brėžiama parabolė(4.41 pav.).⎧ 2 1⎪y= z,⎨ 9⎪⎩x= 0,po to elipsė⎧ 2 2x y⎪ + = 1,1 1⎨⎪ 4 9⎪⎩z = 1x1/2z1/3y4.41 pav.3.5.3. Hiperbolinio paraboloido apibrėžimas ir savybėsA Hiperboliniu paraboloidu vadiname paviršių, kurio lygtis kurios nors stačiakampės koordinačių sistemosOxyz atžvilgiu yra2 2x y− = 2z,(4.20)2 2a bčia a > 0, b > 0.Kaip ir elipsinis paraboloidas, hiperbolinis paraboloidas turi vieną simetrijos ašį Oz, kuri vadinama tiesiog ašimi,dvi simetrijos plokštumas: Oxz, Oyz plokštumas. Daugiau simetrijų hiperbolinis paraboloidas neturi. Įrodymasanalogiškas kaip ir elipsinio paraboloido atveju.Hiperbolinis paraboloidas turi viršūnę, t. y. tašką, kuriame jį kerta simetrijos ašis. Tai koordinačių pradžia.3.5.4. Hiperbolinio paraboloido pjūviai1. Kirskime hiperbolinį paraboloidą Oyz plokštuma. Pjūvio⎧ 2 2x y⎪lygčių sistema− = 2z,⎪⎧y⎨ 2 2a bekvivalenti sistemai 2 = −2b2 z,⎨⎪⎪⎩ x = 0,⎩ x = 0,apibrėžia parabolę γ 1 , kurios viršūnė yra O, parametras p=b 2 , ašis yraOz ašis, šakos nukreiptos kryptimi, priešinga Oz ašies krypčiai (4.42pav.).2. Kirskime hiperbolinį paraboloidą Oxz plokštuma, kurios lygtisy=0. Pjūvio lygčių sistema⎧ 2 2x y⎪ − = 2z,⎨ 2 2a b, ekvivalenti sistemai⎪⎩ y = 0,⎪⎧x2 = 2a2 z,⎨ apibrėžia parabolę γ 2 , kurios viršūnė yra O, ašis – Oz ašis, parametras p=a 2 (4.42 pav.).⎪⎩ y = 0,3. Kirskime hiperbolinį paraboloidą plokštumomis x=h, lygiagrečiomis su Oyz plokštuma. Pjūvio lygčių sistema⎧ 2 2x y⎪ − = 2z,⎨ 2 2a b⎪⎩ x = h,ekvivalenti sistemai⎧2⎪ 2 2 hy = −2b( z − ),⎨22a⎪⎩x= h,2C1Ol 2apibrėžia paraboles γ, turinčias parametrą p=b 2 , t. y.2hkongruenčias su parabole γ 1 . Parabolių γ ašys lygiagrečios su Oz ašimi, o viršūnės O′ ( h,0,) priklauso parabolei γ22 .2aI Hiperbolinį paraboloidą galima gauti judant parabolei γ 1 taip, kad viršūnės O′ priklausytų parabolei γ 2 , ašiųkryptis nekistų, parabolių plokštumos liktų lygiagrečios su Oyz plokštuma.xγO'l 1zγC 214.42 pav.γy101