IV skyrius. ANTROS EILĖS KREIVĖS IR PAVIRŠIAI

2. Elipsoido ir jo ašių sankirtos taškai vadinami elipsoido viršūnėmis. Yra šešios elipsoido viršūnės: A1( a, 0, 0),A2 ( − a, 0, 0),B1( 0, b,0),B2 ( 0, − b,0),C1( 0, 0, c),C2 ( 0, 0 − c). Raskite jas savarankiškai.3. Elipsoidas yra aprėžta erdvės figūra. Jis yra gretasienyje, kurio matmenys 2a, 2b, 2c.▲ Kiekvienam elipsoido taškui M ( x y,z)− a ≤ x ≤ a, − b ≤ y ≤ b,− c ≤ z ≤ c . ▲2222x y z x y z, ≤1,≤1,≤1, nes + + = 1 . Iš čia |x|≤a, |y|≤b, |z|≤c arba2 2 22 2 2a b c a b c223.2.3. Elipsoido pjūviaiTirsime elipsoidą, „pjaustydami“ jį plokštumomis, lygiagrečiomis su koordinačių plokštumomis. Elipsoidąplokštumoje vaizduosime pjūviais.2 2 2⎧ x y z⎪ + + = 1,I. Pirmiausiai kertame elipsoidą Oyz plokštuma, kurios lygtis yra x=0. Pjūvio lygčių sistema2 2 2⎨ab c⎪⎩x= 02 2⎧ y z⎪ + = 1,ekvivalenti sistemai2 2⎨bc Ši lygčių sistema apibrėžia elipsę l 1 , kurios⎪z⎩x= 0.centras – koordinačių pradžia O, ašys – Oy ir Oz ašys, pusašės b ir c.l 1II. Kirskime elipsoidą Oxy plokštuma, kurios lygtis z=0. Pjūvio lygčių sistemal 2⎧ 2 2 2x y z⎧ 2 2x yc⎪ + + = 1,⎪ + = 1,⎨ 2 2 2a b c ekvivalenti sistemai ⎨ 2 2a b ir apibrėžia elipsę l 2 , kuriosa O b⎪⎩z= 0⎪⎩z= 0centras – O, ašys – Ox ir Oy ašys, pusašės a ir b.xElipsės l 1 ir l 2 vaizduoja elipsoidą (4.27 pav.).4.27 pav.III. Ištirsime elipsoido pjūvius, gautus kertant elipsoidą plokštumomis,lygiagrečiomis su Oxz plokštuma (statmenomis Oy ašiai). Tokių plokštumų lygtys⎧ 2 2 2x y z⎧ 2 2 2x z h⎪ + + = 1,⎪ + = 1−,yra y=h. Pjūvio lygčių sistema ⎨ 2 2 2a b c ekvivalenti sistemai ⎨ 2 2 2a c b⎪⎩y= h⎪⎩y= h.Galimi trys atvejai.22hh1. Tarkime, kad h < b . Tada 1− > 0 . Padaliję abi pirmos lygties puses iš 1−, gauname ekvivalenčiąb2b2y⎧ x⎪+sistemą 2⎨( a′) ( c′)2⎪⎩y= h,hpusašės a′= a 1− ,2bz222= 1,kuri apibrėžia elipsę. Jos centras – taškas C ( 0,h,0)⎧ 2 22x zh⎪ + = 1,c′ = c 1− . Kai h = 0, gauname elipsę l :2⎨ 2 23 a cb⎪⎩y= 0.2⎧ 2 2x zh⎪ + = 0,2. Kai h = b,tuomet = 1;sistema2⎨ 2 2a c apibrėžia elipsoidob⎪⎩y= ± bB ,b, 0 , B 0,− b 0 (4.28 pav.).viršūnes ( ) ( )1 0 2 ,2h3. Jei h > b,tuomet − < 0;b12sistema yra nesuderinta. Pjūvis yra tuščiojiaibė.IV. Pjūvius, gautus kertant elipsoidą plokštumomis, lygiagrečiomis su Oxyir Oyz plokštumomis, ištirkite savarankiškai., ašys lygiagrečios su Ox ir Oz ašimis,B2yxZl 1l 3c A2B1CAOy1 a4.28 pav.94