IV skyrius. ANTROS EILĖS KREIVĖS IR PAVIRŠIAI

Elipsės centras – „naujoji“ koordinačių pradžia O′ , ašys O ′ X Ox, O′Y Oy , pusašės a = 12 , b = 2 .Elipsė braižoma taip. Nubrėžiamas reperis R , po to R′ . Brėžiama elipsė, kurios lygtis reperio R′ atžvilgiu yra2 2X Y+ = 1 (4.17a pav.).12 4b) Lygtį 2y 2 + 3x− 4y−1= 0 pertvarkome į kanoninę:2( ) 2 2y − 2x+ 1 − 2 + 3x−1= 0 arba 2( y −1) = −3( x −1). Pažymėję x − 1 = X , y −1= Y,Yt. y. perkėlę koordinačių pradžią O į tašką O′ ( 1;1) R(koordinačių ašių krypčiųr r jnekeičiame), gauname parabolės kanoninę lygtį reperio R ′ ( O ′,i= i , j ) atžvilgiu:O2 3Y = − X (4.17b pav.).22c) Lygtis y = x − 4x+ 2 ekvivalenti lygčiai ( x − 2) 2 2= y + 2 arba X = Y .Lygybės X = x − 2 , Y = y + 2 yra koordinačių sistemos R lygiagretaus postūmiovektoriui OO′ { 2,− 2} {r ri , j}formulės. Matome, jog kreivė yra parabolė, kurios parametras O'1p = , viršūnė yra taškas O′ , ašis – O′ Y Oy (4.17c pav.).4.17c pav.23d) Iš (4.4) formulių matome, jog p λ = 3 , λ = 2 > 1, p = , todėl ši lygtis yra2d 2 yhiperbolės šakos h 1 polinė lygtis.3Pagal (4.6) formules hiperbolės pusašės: a = 1 , b = 3,todėl kanoninė jos lygtis2 2yra x − y = 11 3. Mus domina tik šaka h 1 (4.17d pav.).jF2 uždavinys ([5], p. 106). Kokią kreivę apibrėžia polinės lygtys:-2 -1 O i715a) ρ = ; b) ρ = ?4 + 4 cos ϕ 5 + 3cos ϕAts.: a) parabolę; b) elipsę.31.6. Savikontrolės klausimai ir užduotysX2 1-4.17d pav.h 1Fx1. Suformuluokite elipsės apibrėžimą, užrašykite elipsės kanoninę lygtį. Išvardykite jums žinomas elipsės savybes,vieną įrodykite.2. Suformuluokite hiperbolės apibrėžimą, užrašykite hiperbolės kanoninę lygtį. Išvardykite jums žinomashiperbolės savybes, vieną įrodykite.3. Ką žinote apie parabolę? Vieną jos savybę įrodykite.4. Kokias figūras koordinačių plokštumoje apibrėžia lygtys?2 2a) 3x+ y − 9 = 0;b) x2 − 4y2 −16= 0;2c) x + 5y= 0;1d) ρ = .5 + 2 cosϕ2. Antros eilės kreivės2.1. Antros eilės kreivės apibrėžimasA Antros eilės (laipsnio) kreive vadinama plokštumos figūra, kurios lygtis kurios nors stačiakampės Dekartokoordinačių sistemos atžvilgiu yra algebrinė antrojo laipsnio lygtis su dviem kintamaisiais:a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x + 2a 2 y + a=0, a 11 2 + a 12 2 + a 22 2 ≠0. (4.7)Elipsė, hiperbolė, parabolė yra antros eilės kreivės, nes jų kanoninės lygtys (4.1), (4.2), (4.3) yra antrojo laipsnioalgebrinės lygtys.Antros eilės kreivės lygties (4.7) koeficientai priklauso nuo koordinačių sistemos parinkimo. Jei reperįr rr rR = ( O , i , j ) pakeisime reperiu R ′ = ( O′, i ′ , j′) , naujosios koordinačių sistemos R′ atžvilgiu kreivės lygtis pasikeis,tačiau liks algebrine antrojo laipsnio lygtimi:85