IV skyrius. ANTROS EILĖS KREIVĖS IR PAVIRŠIAI

Plokštumoje apibrėžkime specialią stačiakampę koordinačiųr rsistemą ( O, i , j ): koordinačių pradžią sutapatinkime su atkarposF 1 F 2 viduriu O, abscisių ašį su tiese F 1 F 2 (Ox ašies kryptįapibrėžia vektorius OF1). Tada židiniai įgyja koordinates:F c 0 , F − , 0 (4.7 pav.).( , )2( )T Taškas ( x y)1cM , priklauso hiperbolei tada ir tik tada, kaitaško M koordinatės tenkina lygtį:2 2x y2 2 2− = 1, b = c − a .(4.2)2 b2aĮrodymą galima rasti knygelėje [3].Lygtis (4.2) vadinama hiperbolės kanonine lygtimi.Dydis a > 0 vadinamas hiperbolės realiąja pusaše, oF2MA 2cyj Oi2a4.7 pav.aA 1F 1x2 2b = c − a > 0 – menamąja pusaše.1.2.2. Hiperbolės savybės1. Hiperbolė (4.2) yra simetriška koordinačių ašių ir koordinačių pradžios atžvilgiu. Įrodoma analogiškai kaip irelipsės atveju (IV, 1.1.2).Ox ašis vadinama realiąja hiperbolės ašimi, Oy – menamąja ašimi. Simetrijos centras O vadinamas hiperbolėscentru.2. Hiperbolės viršūnės yra hiperbolės ir jos simetrijos ašių sankirtos taškai. Hiperbolė turi dvi viršūnes:A1 ( a, 0) , A2( − a,0),gautas realiajai ašiai kertant hiperbolę.Daugiau viršūnių hiperbolė neturi, nes menamoji ašis hiperbolėsnekerta. Įrodykite.y3. Juostoje tarp tiesių x = a ir x = −ahiperbolės taškųdd21nėra. Pabandykite įrodyti savarankiškai.Vadinasi, hiperbolė sudaryta iš dviejų nesusijusių dalių,vadinamų hiperbolės šakomis.M D 2 D1c4. Dydis λ = > 1 vadinamas hiperbolės ekscentricitetu. F a2 A 2 OF 1( c, 0)AJis apibrėžia hiperbolės formą.1( a,0)xTiesės d 1 ir d 2 , statmenos hiperbolės realiajai ašiai ir2a anutolusios nuo hiperbolės centro atstumu = , vadinamosλ c2ahiperbolės direktrisėmis. Jų lygtys x = ± .4.8 pav.cT Esminė hiperbolės savybė: kiekvieno hiperbolės taško M atstumo iki židinio ir atstumo iki atitinkamosdirektrisės santykis yra pastovus dydis, lygus hiperbolės ekscentricitetui (4.8 pav.):MF1MF2= = λ > 1.MD1MD2Ši savybė yra esminė todėl, kad ja galima apibrėžti hiperbolę. Įrodymą galima rasti knygelėje [3] arba vadovėlyje[7].1.2.3. Hiperbolės asimptotėsTarkime, jog turime hiperbolę, apibrėžtą kanonine lygtimi2 2b x y(4.2). Tiesės a1ir a2, kurių lygtys y = ± x arba − = 0 ,2 2a a bvadinamos hiperbolės asimptotėmis (4.9 pav.).Koordinačių ašys dalija plokštumą į keturias dalis –ketvirčius. Kadangi hiperbolė yra simetriška koordinačių ašiųatžvilgiu, panagrinėkime jos formą viename ketvirtyje, tarkime,pirmajame. Kituose ketvirčiuose jos forma bus analogiška.Pirmajame ketvirtyje visų taškų abi koordinatės yrateigiamos. Įrodysime, jog kai x→∞, hiperbolės taškas⎛ 2 ⎞⎜ x ⎟bM x, b −1 neribotai artėja prie asimptotės a⎜21: y = x ,a ⎟a⎝ ⎠a2C 2(- a,b) C 1( a,b)j abO i4.9 pav.aNMx180