7.TEMATS Trigonometriskie vienādojumi un nevienādības Temata ...

7.TEMATS Trigonometriskie vienādojumi un nevienādībasTemata aprakstsSkolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedisUzdevumu piemēriStundas piemērsM_11_SP_07_01_P1 Trigonometrisko izteiksmju pārveidojumi Skolēna darba lapaM_11_SP_07_02_P1 Trigonometriskie vienādojumi un nevienādības Skolēna darba lapaM_11_SP_07_02_P2 Trigonometriskie vienādojumi un nevienādības Skolēna darba lapaM_11_UP_07_P1 Trigonometriskas identitātes Skolēna darba lapaM_11_LD_07_P Redukcijas formulas Skolēna darba lapa1.variants2.variantsVērtēšanas kritērijiLai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.

T R I G O N O M E T R I S K I E V I E N Ā D O J U M I U N N E V I E N Ā D Ī B A STRIGONOMETRISKIE VIENĀDOJUMI UN NEVIENĀDĪBAST E M A T A A P R A K S T STemata apguve paplašina priekšstatu par funkciju lietojumu, pilnveido vienādojumuun nevienādību atrisināšanas prasmes, attīsta algoritmisko domāšanu, dodpieredzi vizuālu modeļu (trigonometriskais vienības riņķis) daudzpusīgai izmantošanai.Trigonometrijas pamatjēdzieni ir neatņemama matemātiskās kultūras sastāvdaļa,jo tos lieto citu tematu apguvē. Trigonometrisko funkciju, sakarību izpratnesekmē atsevišķu fizikas tematu apguvi. Vienādojumu atrisināšanas metožu saskatīšanaun lietošana būs noderīga arī turpmākajos algebras tematos.Pamatskolā ir apgūtas trigonometriskās sakarības taisnleņķa trijstūrī, 10. klasēpaplašinot leņķa jēdzienu, ieviests trigonometrisko funkciju jēdziens. Skolēni protizpildīt algebriskus pārveidojumus, viņiem ir pieredze lietot dažādas vienādojumuatrisināšanas metodes, risinot algebriskus vienādojumu.74Skolēniem jauni ir jēdzieni: arcsina, arccosa, arctga, arcctga, kuri ieviešami, kāleņķa apzīmējums, ja to nav iespējams precīzi izteikt; nav paredzēts izvērst ciklometriskofunkciju jēdzienu.Salīdzinājumā ar līdzšinējo pieeju, šī temata satura apjoms ir samazināts, saturāatstāts būtiskākais un mainīti daži akcenti. Skolotāja galvenais uzdevums – parādīttieši risināšanas metožu zināmu universālumu un funkcionālo sakarību daudzveidību,pilnveidot izpratni par definīcijas apgabala nozīmi un vienādojuma atrisināšanu.Tematā turpinās pamatošanas prasmju pilnveide, pierādot dažādas trigonometriskāssakarības. Jāpievērš uzmanība darbam ar informāciju, tās atlasi, piemēram, izvēlotiesnepieciešamo formulu. Svarīgi, ka nevis sarežģītu un samākslotu vienādojumurisināšana, bet gan nelielu, tomēr pilnīgi izprastu uzdevumu atrisināšana liecina ganpar temata apguvi, gan arī par to, ka skolēnos veidojas zināmas kompetences šajājomā.

T R I G O N O M E T R I S K I E V I E N Ā D O J U M I U N N E V I E N Ā D Ī B A SMATEMĀTIKA 11. klaseC E Ļ V E D I SGalvenie skolēnam sasniedzamie rezultātiSTANDARTĀIzprot izteiksmju definīcijasapgabala nozīmi, izpildamatemātisku izteiksmju(algebrisku, eksponenciālu,logaritmisku,trigonometrisku)identiskos pārveidojumus.Izprot, ko nozīmē atrisināt vienādojumu,vienādojumu sistēmu; lieto vienādojumam,vienādojumu sistēmai piemērotusatrisināšanas algoritmus vai vispārīgāsmetodes.Izprot, ko nozīmē atrisināt nevienādību,nevienādību sistēmu, lieto nevienādībai,nevienādību sistēmai piemērotus atrisināšanasalgoritmus vai vispārīgās metodes.Atrod nepieciešamoinformāciju dažādosinformācijas avotos,novērtē tās pietiekamību,derīgumu.Izprot pierādījumanepieciešamību, būtībuun struktūru, lieto dažāduspierādījumu veidus.Plāno risinājumu; izvēlas vaiizveido problēmai atbilstošumatemātisko modeli.PROGRAMMĀ• Reducē, lieto sakarībasstarp viena argumentatrigonometriskāmfunkcijām, divkāršaargumenta formulas unargumentu saskaitīšanasformulas izteiksmjupārveidojumos,identitāšu pierādījumosun izteiksmju skaitliskovērtību aprēķināšanā,pārveidojottrigonometriskosvienādojumus parpamatvienādojumiem.• Atrisina trigonometriskospamatvienādojumus: sinx = a,cosx = a, tgx = a, ctgx = a, izmantojotatrisināšanas formulas vai nolasotatrisinājumu vienības riņķī, izprot to, katrigonometriskajiem vienādojumiem var būtbezgalīgi daudz atrisinājumu.• Atrisina trigonometriskās pamatnevienādības:sinx < a, cosx < a, tgx < a, ctgx < a, (>,≤,≥),izmantojot vienības riņķi.• Saskata vispārīgo vienādojumu risināšanasmetožu (sadalīšana reizinātājos,substitūcijas metode) pielietošanas iespējastrigonometrisko vienādojumu risināšanā;izprot definīcijas apgabala nozīmi.• Atrod atbilstošoformulu uzziņasliteratūrā un protto pielietot, veicottrigonometriskospārveidojumus.• Pamato trigonometriskāssakarības, izmantojotvienības riņķi, citassakarības vai ģeometriskofigūru īpašības.• Izmanto vienības riņķitrigonometrisko funkcijuvērtību, zīmju, vienādojumuun nevienādību atrisinājumunoteikšanai un/vai attēlošanai.75STUNDĀVizualizēšana. Uzdevumurisināšana.SP. Trigonometriskoizteiksmju pārveidojumi.VM. Trigonometriskoizteiksmju pārveidojumi.Uzdevumu risināšana. Situācijas analīze.SP. Trigonometrisko vienādojumu unnevienādību risināšanas prasmju novērtēšana.KD. Trigonometriskās nevienādības.Izpēte.LD. Redukcijas formulas.KD. Trigonometrisko formulupierādīšana.Demonstrējums.VM. Vienības riņķis.VM. Vienādojuma un nevienādībasatrisinājums vienības riņķī.

T R I G O N O M E T R I S K I E V I E N Ā D O J U M I U N N E V I E N Ā D Ī B A SU Z D E V U M U P I E M Ē R ISasniedzamais rezultāts I II IIIIzpilda algebriskuspārveidojumus artrigonometriskāmizteiksmēm.Izpildi darbības!a) sinx+sinx–sin2xtgx⋅tgxb)2tgx–tgx1. Izpildi darbības!(cosx–3) 2 –cosx⋅cosx+6cosx2. Sadali reizinātājos!5–15cosx+15cos 3 x–5cos 2 xVai doto izteiksmju vērtības ir vienādas visāmpieļaujamām x vērtībām! Atbildi pamato!a) sin 2x, sinx 2 , (sinx) 2b) cos3x, 3cosx76Reducē, lieto sakarībasstarp viena argumentatrigonometriskāmfunkcijām, divkāršaargumenta formulas unargumentu saskaitīšanasformulas izteiksmjupārveidojumos,identitāšu pierādījumosun izteiksmju skaitliskovērtību aprēķināšanā,pārveidojottrigonometriskosvienādojumus parpamatvienādojumiem.1. Vienkāršo!a) sin 22t+cos 2 2tb) tg3x⋅ctg3xc) tg3π2 –α2. Pārveido doto trigonometrisko vienādojumupar pamatvienādojumu!sinxcos2x–sin2xcosx=–11. Aprēķini 75° un cos75°, ņemot vērā, ka75°=45°+30°!2. Pierādi identitāti!cos 2 α(1–tg 2 α)=cos2α3. Dots, ka cosα= 2 3πun ≤α≤π. Aprēķini3 2izteiksmes sinα skaitlisko vērtību!1. Vienkāršo!cos36°sin54°2. Pierādi, ka izteiksmes vērtība nav atkarīga noα vērtības!cos 2 α+cos 2 (120°+α)+cos 2 (120°–α)3. Sastādi dotā vienādojuma risināšanas plānu!sin3x=cosx

T R I G O N O M E T R I S K I E V I E N Ā D O J U M I U N N E V I E N Ā D Ī B A SMATEMĀTIKA 11. klaseSasniedzamais rezultāts I II IIIAtrisinatrigonometriskospamatvienādojumus:sinx = a, cosx = a, tgx = a,ctgx = a, izmantojotatrisināšanas formulasvai nolasot atrisinājumuvienības riņķī, izprot to,ka trigonometriskajiemvienādojumiem varbūt bezgalīgi daudzatrisinājumu.1. Atrisini vienādojumu!cosy=0,5sinx=0sinx=–22. Kuras no dotajām vērtībām ietilpstvienādojuma cosx=0 atrisinājumu kopā?πa) ,25πb) ,29πc) ,2–3πd) .2Atrisini vienādojumu!sin0,5y=–0,5tg(a–30°)= 3cos(2x+ π 2 )= 221. Kādām parametra a vērtībām vienādojumam2cosx=a ir atrisinājums?2. Atrisini abus vienādojumus un nosaki tokopīgos atrisinājumus!cosx=0 un cos2x=0Uzraksti vēl trīs leņķa x vērtības, kas ietilpstvienādojuma cosx=0 atrisinājumu kopā?Izprot jēdzienus –arcsina, arccosa,arctga, arcctga –, lietotos vienādojumu unnevienādību risināšanā.Kura no vienādībām ir patiesa?1. Vienības riņķī attēlo leņķus arcsin 2a) arccos – 1 2 =120°3 ,–arcsin 2 3 , π+arcsin2 3 , π–arcsin2 3 !b) arccos – 1 2 =60°2. Atrisini vienādojumu!c) arccos – 1 cosx= 12 =–60° 51. Atrodi vienu x vērtību, ar kuru dotā vienādībair patiesa, un vienu x vērtību, ar kuru dotāvienādība nav patiesa!arcsin(sinx)=x2. Pamato identitātes, izmantojot dotoszīmējumus (M_11_UP_07_P1)!77Atrisinatrigonometriskāspamatnevienādības:sinx

T R I G O N O M E T R I S K I E V I E N Ā D O J U M I U N N E V I E N Ā D Ī B A SMATEMĀTIKA 11. klaseSasniedzamais rezultāts I II IIIPamatotrigonometriskāssakarības, izmantojotvienības riņķi,citas sakarības vaiģeometrisko figūruīpašības.Zīmējumā dots vienības riņķis. Daudzpunktesvietā ieraksti atbilstošo leņķa funkciju!-1y1CO-1αAB=…OB=…OB 2 +AB 2 =…+…=1BAx11. Trijstūrī ABC novilkta mediāna CK. Pierādi, kasin(∠AKC)=sin(∠CKB), izmantojot trijstūruAKC un CKB laukumus!2. Pierādi, ka cos(p–x)=–cosx, izmantojotvienības riņķi!3. Izmantojot trigonometrisko funkcijuīpašības, redukcijas formulas un formulusin(α+b)=sina⋅cosb+cosa⋅sinbizsaki dotās izteiksmes ar leņķu a un btrigonometriskajām izteiksmēm!a) sin( a–b)b) cos( a+b)1. Zināms, ka šauriem leņķiem a ir spēkāsakarība sin(90°+a)=cosa. Pierādi, ka šīsakarība ir spēkā jebkuram pagrieziena leņķima?2. Izmantojot doto zīmējumu un zināšanaspar trijstūra laukumu, pierādi formulusin2a=2sinacosa!Kādiem leņķiem a ir pierādīta formula?1 1Atrod atbilstošo formuluuzziņas literatūrā unprot to pielietot, veicotpārveidojumus.Izmanto pretpiemēru,novērtējot vienādībaspatiesumu.Sameklē atbilstošu formulu un pārveido summucos3x+cos5x reizinājumā!Izmantojot konkrētu leņķa x vērtību, pamato, kavienādība sin2x=2sinx nav patiesa!Aprēķini izteiksmes sin a vērtību, ja cosa=0,28un a∈(270°;360°)!2Pamato, ka sakarība sin(a+b)=sina+sinb navpatiesa !Atrisini vienādojumu!2sinx–3cosx=1Vai sakarība tgx⋅cosx=sinx ir patiesa visām xvērtībām?79

T R I G O N O M E T R I S K I E V I E N Ā D O J U M I U N N E V I E N Ā D Ī B A SSasniedzamais rezultāts I II IIISaskata trigonometriskoizteiksmju pārveidojumuun vienādojumulietojumu fizikā(svārstības, viļņi),mūzikas teorijā u.c.Skolas fizikas kursā brīvās krišanas paātrinājumsg tiek uzskatīts par konstantu lielumu, lai gang mainās atkarībā no ģeogrāfiskā platuma θ(grādos). Šo atkarību tuvināti apraksta formulag≈9,78049(1+0,005288sin 2 θ–0,000006sin 2 2θ).Aprēķini brīvās krišanas paātrinājumu Rīgā(θ=57°) un Dakārā (θ=15°), lietojot kalkulatoru!Grafikā attēlota svārstību kustībā esoša ķermeņanovirze no līdzsvara stāvokļa atkarībā no laika(1 sekunde atbilst 16 rūtiņām).10x, mm801. Dota izteiksme, kas raksturo strāvas stiprumaI (ampēros) svārstības maiņstrāvas ķēdēI=30sin(120p⋅t), kur t – laiks sekundēs.a) Nosaki strāvas maksimālo stiprumu!b) Sastādi vienādojumu, kura atrisināšanaļautu noteikt laika momentus, kuros strāvasstiprums vienāds ar 0!c) Sastādi vienādojumu, kura atrisināšanaļautu noteikt laika momentus, kuros strāvasstiprums ir maksimāli iespējamais!2. No fizikas kursa zināms, ka, gaismas starampārejot no vienas vides otrā, krišanas leņķa αsinusa attiecība pret laušanas leņķa γ sinusuir vienāda ar gaismas stara ātruma otrajāvidē attiecību pret gaismas stara ātrumupirmajā vidē. Atkarībā no ātrumu skaitliskajāmvērtībām laušanas leņķis ir vai nu lielāks vaimazāks, salīdzinot ar krišanas leņķi (skat. zīm.).αγαγ0-100,250,5 0,75 1t, sSvārstības raksturo formula x=Asin 2p t , kur x–svārsta novirze no līdzsvara,TA – amplitūda (novirzes maksimālā vērtība),T – periods (laiks, kurā notiek pilns kustībascikls), t – laiks.Izmantojot doto informāciju, aprēķini pirmos trīslaika momentus, kuros ķermenis būs novirzījies5 mm no līdzsvara stāvokļa!Dots, ka gaismas stars pāriet no gaisa ūdenī.Gaismas stara ātrums gaisā ir 3⋅10 8 km/s, betgaismas stara ātrums ūdenī ir 2,25⋅10 8 km/s.Kurš no leņķiem šajā gadījumā ir lielāks –krišanas vai laušanas leņķis? Atbildi pamato!

T R I G O N O M E T R I S K I E V I E N Ā D O J U M I U N N E V I E N Ā D Ī B A SMATEMĀTIKA 11. klaseS T U N D A S P I E M Ē R STRIGONOMETRISKO IZTEIKSMJU PĀRVEIDOJUMIMērķisNostiprināt prasmes pārveidot trigonometriskās izteiksmes, pamatot savas domasun uzklausīt citu viedokli, veicinot skolēnu sadarbību.Skolēnam sasniedzamais rezultāts• Izpilda trigonometrisko izteiksmju pārveidojumus.• Pamato pārveidojumu gaitu.• Sadarbojas, strādājot grupā.Nepieciešamie resursi• Izdales materiāli grupai (M_11_SP_07_01_P1).• Vizuālais materiāls (M_11_SP_07_01_VM1).Mācību metodesVizualizēšana, uzdevumu risināšana.Mācību organizācijas formasGrupu vai pāru darbs. Sadalīties grupās vēlams jau stundas sākumā.VērtēšanaSkolēni vērtē savu prasmi veikt pārveidojumus, salīdzinot savus rezultātus ar atbildēmun risinājumu paraugiem, un viens otra ieguldījumu darba veikšanā. Skolotājsvērtē skolēnu prasmi pārveidot trigonometriskās izteiksmes un pamatot risinājumus,klausoties skolēnu komentārus, skaidrojumus; sadarbības prasmes, vērojotgrupu darbu.Skolotāja pašnovērtējumsSecina par stundas mērķa sasniegšanu, izmantotās metodes lietderību un efektivitāti,par to, kas izdevās un kādiem jautājumiem būtu jāpievērš lielāka uzmanība.81Stundas gaitaSkolotāja darbībaIzdala grupām 1. veida kartītes (M_11_SP_07_01_P1).Iepazīstina ar uzdevumu: atrast kartīšu pārus, kuri kopā veido kādu no trigonometriskāmformulām, neizmantojot pierakstus, grāmatas un formulu lapas.Lūdz skolēniem atbildēt uz jautājumiem:1) Kādus trigonometrisko formulu nosaukumus skolēni atceras?Uzraksta formulu nosaukumus uz tāfeles. Tāfele ir sadalīta 4 kolonnās, kurunosaukumus ieraksta skolotājs, rakstot skolēnu nosauktos formulu nosaukumus.Aicina skolēnus pie tāfeles atbilstošajā kolonnā ierakstīt formulas, kuras saliktas,izmantojot kartītes. Sarakstu uz tāfeles papildina ar citām zināmām formulām,tādējādi atkārtojot visas apgūtās trigonometriskās identitātes.2) Kāpēc būtu jāzina, jāiegaumē trigonometriskās formulas? Kuras no formulām navnepieciešamas iemācīties?Vizualizēšana (10 minūtes)Skolēnu darbībaSaņem kartītes, noklausās uzdevumu.Atrod kartīšu pārus. Atceras/atpazīst formulas, pārdomā pazīmes, pēc kā var atpazītformulas arī tad, ja precīzi neatceras.Atceras iepriekšējās stundās dzirdētos formulu nosaukumus, nosauc tos.Piemēram, viena argumenta formulas, divkārša argumenta formulas, argumentusaskaitīšanas formulas, redukcijas formulas.Klasificē ar kartītēm saliktās formulas, salīdzina viedokļus. Raksta formulas uz tāfeles.Papildina formulu sarakstu.Iespējamās skolēnu atbildes:Lai vienkāršotu kādu izteiksmi, tajā vispirms jāatpazīst kāds „fragments” notrigonometriskas identitātes, kuru varētu izmantot. Formulu var precizēt, atrodot toliteratūrā, bet jāzina, jābūt priekšstatam par identitātes „formu, izskatu”.Nav nepieciešams iegaumēt redukcijas formulas, tās var „izdomāt”, jāzina princips, ka varreducēt, kā tas notiek.

T R I G O N O M E T R I S K I E V I E N Ā D O J U M I U N N E V I E N Ā D Ī B A SMATEMĀTIKA 11. klaseS T U N D A S P I E M Ē R STRIGONOMETRISKO VIENĀDOJUMU UN NEVIENĀDĪBU RISINĀŠANAS PRASMJU NOVĒRTĒŠANAMērķisPilnveidot skolēnu pašnovērtēšanas prasmes, uzdevumu risinājumu izvērtēšanasrezultātā, formulējot savas trigonometrisko vienādojumu un nevienādību risināšanasprasmes.Skolēnam sasniedzamais rezultāts• Atrisina trigonometriskos vienādojumus un nevienādības.• Novērtē temata apguves laikā iegūto zināšanu un prasmju līmeni.• Noskaidro jautājumus, kuri vēl jāatkārto un kuri jāapgūst papildus.Nepieciešamie resursi• Izdales materiāli katram skolēnam (M_11_SP_07_02_P1), atbilžu lapa pārim(M_11_SP_07_02_P2).• Formulu lapa.Stundas gaitaSkolotāja darbībaJautā, vai skolēni zina teiku par balodi, kurš mācījās vīt ligzdu, ja nezina, īsi izstāsta.Lūdz katram skolēnam individuāli pārdomāt, kā vērtēt savas šī brīža prasmes atrisināttrigonometriskos vienādojumus un nevienādības. Akcentē, ka gadījumā, ja kaut koneprot, ir svarīgi saprast, kāds tam iemesls – precīzi formulēt problēmas. Lūdz skolēnusīsi uzrakstīt, ko vēl labi neprot, kas sagādā grūtības, jautājumus, kas jānoskaidro,jāprecizē. Var aicināt dažus skolēnus, kuri vēlas, raksturot savas prasmes, pateikt problēmas.Izstāsta par stundas mērķi, galvenajiem rezultātiem un stundas gaitu. Uzsver, ka stundaslaikā skolēniem būs iespēja novērtēt savas zināšanas trigonometrisko vienādojumu unnevienādību atrisināšanā, noskaidrot, kas vēl jāapgūst.Izdala darba lapu ar uzdevumiem (M_11_SP_07_02_P1).Aicina strādāt patstāvīgi, izmantojot tikai formulu lapu, jo šajā brīdī ir svarīgi novērtētkatram savas zināšanas un prasmes.Aicina skolēnus sadalīties pa pāriem, salīdzināt un apspriest risinājumus un atbildes, unvienoties par pareizo atrisinājumu.Izdala katram pārim atbilžu lapu un lūdz novērtēt savu risinājumu.Uzdevumu risināšana (25 minūtes)Mācību metodesUzdevumu risināšana, situācijas analīze.Mācību organizācijas formasPāru darbs, individuāls darbs.VērtēšanaSkolotājs vērtē visas klases prasmes kopumā, uzklausot skolēnu formulētos jautājumus,secina par skolēnu prasmi formulēt problēmas. Skolēni veic savu prasmjupašnovērtējumu.Skolotāja pašnovērtējumsSecina par stundas mērķa sasniegšanu, izmantoto metožu lietderību un efektivitāti,par to, kas izdevās un kādiem jautājumiem būtu jāpievērš lielāka uzmanība.Atceras teiku par „Protu, protu!”Skolēnu darbībaPārdomā savas trigonometrisko vienādojumu un nevienādību risināšanas prasmes.Formulē secinājumus par savām prasmēm, īsi pieraksta.Gūst informāciju par stundas gaitu un uzdevumiem, ja nepieciešams, uzdod jautājumus.Saņem darba lapu.Atrisina piedāvātos trigonometriskos vienādojumus un nevienādības.Sadalās pāros. Apspriež atbildes, vienojas pārī par pareizajiem atrisinājumiem.Ja nepieciešams, izmanto grāmatas, pierakstu klades, uzdod jautājumus skolotājam.Salīdzina atbildes, novērtē tās, liekot punktus, saskaita visus iegūtos punktus.83

T R I G O N O M E T R I S K I E V I E N Ā D O J U M I U N N E V I E N Ā D Ī B A SSkolotāja darbībaAicina skolēnus individuāli izveidot un aizpildīt tabulu, izvērtējot savas zināšanas unprasmes. Jāvērš uzmanība uz to, lai skolēni precīzi formulētu problēmas – ko tieši nezina,neprot, kur, kāpēc kļūdās (neder – nemāku atrisināt 4. uzd.).Situācijas analīze (15 minūtes)Skolēnu darbībaPārdomā savas zināšanas un prasmes, uzdevumu risināšanā konstatēto, iespējami precīziformulē prasmes un „neprasmju” cēloņus. Izveido un aizpilda tabulu:Es jau zinu, protuEs nezinu, neprotuAicina skolēnus nosaukt jautājumus, kuri ierakstīti kolonnā „Es nezinu, neprotu” unkuru apguvei vēl nepieciešama palīdzība. Palīdz precizēt formulējumus. Veic piezīmes,fiksējot problēmas, lai varētu precīzi novērtēt situāciju klasē kopumā, sniegtu ieteikumuskonkrētiem skolēniem, plānotu nākamo stundu.Secina, kopā ar skolēniem plāno turpmāko darbu.1) 1)2) 2)……84Aicina salīdzināt stundas sākumā fiksēto par savām prasmēm ar stundas gaitākonstatēto.Uzdod mājas darbu – pārskatīt visus tabulā ierakstītos jautājumus, pievēršot lielākuuzmanību labās puses ailītei. Izdala darba lapu, kura ir līdzīga stundā izmantotajām. Katrsskolēns risina tikai tos uzdevumus, kuru risināšanai prasmes ir nepietiekamas Ja skolēnamotrā tabulas ailīte ir tukša, viņš risina paaugstinātas grūtības pakāpes uzdevumus.Skolēni nosauc jautājumus, kuri ierakstīti kolonnā „Es nezinu, neprotu”. Precizēformulējumus, papildina.Secina par savu un klases kopējo situāciju. Komentē, iesaka turpmāko rīcības plānu, kasļautu novērst trūkumus – ko spēs paši, ko noskaidros patstāvīgi, kur vēl nepieciešamaskolotāja palīdzība.Salīdzina stundas sākumā un stundas gaitā secināto par savām prasmēm.Pārdomā mājās veicamo.Saņem darba lapu.

REDUKCIJAS FORMULAS14Darba izpildes laiks 40 minūtesM_11_LD_07MērķisVeidot izpratni par pagrieziena leņķa trigonometrisko funkciju vērtību reducēšanuuz šaura leņķa trigonometrisko funkciju vērtībām, saskatot likumsakarības.Sasniedzamais rezultāts• Izmantojot vienības riņķi, saskata un pierāda redukcijas formulas.• Vispārina iegūtos rezultātus, saskatot likumsakarības redukcijas formulās.Saskata un klasificē lielumus, formulē pētāmo problēmuVeido plānuIegūst un apstrādā informācijuFormulē pieņēmumu/ hipotēzi –Veic pierādījumuAnalizē un izvērtē rezultātus, secinaPrezentē darba rezultātusSadarbojas, strādājot grupā (pārī)DotsDotsPatstāvīgiPatstāvīgiMācāsPatstāvīgiMācāsDarbu veic pāros vai grupās. Jāparedz laiks prezentācijai, kā arī materiāli prezentācijunoformēšanai un demonstrēšanai. Ja darbs tiek veikts grupās, skolotājsvar ieteikt darba gaitas pirmajos divos soļos paredzēto darbu sadalīt starp grupasdalībniekiem.Situācijas aprakstsFunkcijas y=sinx un y=cosx ir periodiskas ar periodu 360 o . Šo īpašību raksturoformulas sin(360°+a)=sina un cos(360°+a)=cosa.Mācoties par pagrieziena leņķi un tā atlikšanu vienības riņķī, tika iegūtas formulassin(180°–a)=sina un cos(180°–a)=–cosa, kas ir spēkā jebkuram šauramleņķim a.Izceltajās formulās šaurais leņķis a tiek atņemts/pieskaitīts no/pie leņķiem 180°un 360°, kuri ir vienības riņķa kvadrantu robežleņķi. Kā zināms, ir vēl divi kvadranturobežleņķi, 90° un 270°.Pētāmā problēmaVai funkciju y=sinx un y=cosx vērtības leņķiem 90°±a, 180°±a, 270°±a un360°±a vienmēr var izteikt kā šaura leņķa a trigonometrisko funkciju vērtības?Ja skolotājs uzskata par nepieciešamu, uzreiz var apskatīt arī funkcijas y=tgx uny=ctgx, bet tas var aizņemt pārāk daudz laika.Darba gaita1. Izmantojot vienības riņķi, noskaidro, vai izteiksmju sin(360°– a),cos(360°–a), sin(180°+a) un cos(180°+a) vērtības var izteikt ar leņķa asinusa vai kosinusa palīdzību.2. Izmantojot vienības riņķi, iegūst analoģiskas formulas attiecībā pret leņķiem90°±a un 270°±a.3. Analizējot visas iegūtās formulas kopumā, saskata principu, kuru lietojot,varētu noteikt funkcijas veidu un zīmi formulu labajā pusē.Datu apstrāde un iegūto formulu pierādīšanaSkolēnus nodrošina ar papildu darba lapām.Skolēniem vajadzētu atgādināt, ka, veidojot zīmējumus vienības riņķī, uzskatāmībaslabad leņķis a jāizvēlas samērā šaurs.Rezultātu izvērtēšanaKādas iespējas vispārināt darbā iegūtos rezultātus tu saskati?Ja skolēns ir ticis galā ar šo darbu, iezīmējas vismaz divi tālāku pētījumu virzieni:1) vai iegūtie rezultāti ir attiecināmi arī uz funkcijām y=tgx un y=ctgx;2) vai iegūtie rezultāti ir spēkā arī gadījumos, ja a ir jebkurš leņķis.

S k o l ē n a d a r b a l a p aM_11_SP_07_01_P1TRIGONOMETRISKO IZTEIKSMJU PĀRVEIDOJUMI1. VEIDA KARTĪTEScos 2 a+sin 2 a 1sin2a2sina⋅cosacos(a–b)cosacosb+sinasinbtg(p+a)tgatg2a2tga1–tg 2 acos(180°–a)–cosa1+tg 2 a1cos 2 a33

S k o l ē n a d a r b a l a p aM_11_SP_07_01_P12. VEIDA KARTĪTES (ZAĻAS)1–2sin 2 x2 – sin2x2sinx(sinx+cosx) 2cos24°cos31°–sin24°sin31°–cos55°sin8xsin4x –2cos2 2x8sin15°cos15°(cos 2 15°–sin 2 15°)(cos 2 30°–sin 2 30°)tg( p 2cosx1=sinx +tgx–x)⋅cos(3p2 –x)⋅cos(–x)ctg(p–x)⋅sin( 3p2 +x)34

S k o l ē n a d a r b a l a p aM_11_SP_07_02_P1Vārds uzvārds klase datumsTRIGONOMETRISKIE VIENĀDOJUMI UN NEVIENĀDĪBASRisinājums un atbildes1. uzdevums Atrisini vienādojumu!Punktisinx=–11 punktscosx=0,51 punktstgx=– 31 punktsctg(x+1)=22 punkti2. uzdevums Atrisini nevienādību!ctgx>–11 punktscosx≤–21 punkts0

S k o l ē n a d a r b a l a p aM_11_SP_07_02_P13. uzdevumsPārveido vienādojumu par pamatvienādojumu!Vienādojums NAV jāatrisina.cos 2 x–sin 2 x=– 331 punktstg(90°–x)=– 331 punktssin2xcos3x+cos2xsin3x=01 punktssinxcosx=11 punkts4. uzdevumsNorādi metodi, kuru izmantosi vienādojuma atrisināšanai(substitūciju metode, sadalīšana reizinātājos)!Vienādojums NAV jāatrisina.tgx+2tg 2 x=01 punktscos 2 x–3cosx–4=01 punktssinx–1+sin 3 x–sin 2 x=01 punkts1ctgx+1 +ctgx+1=01 punkts5. uzdevumsAtrisini vienādojumu!cos4x=2sin2x– 1 2vaitg(x+1)ctg(2x+3)=17 punktiKopā punkti:37

S k o l ē n a d a r b a l a p aM_11_SP_07_02_P1TRIGONOMETRISKIE VIENĀDOJUMI UN NEVIENĀDĪBASMājas darbs1. uzdevumsAtrisini vienādojumu!sinx=–0,2cosx=0,1tgx=–1ctg(x+ p 3 )= 332. uzdevumsAtrisini nevienādību!tgx–212

S k o l ē n a d a r b a l a p aM_11_SP_07_02_P2TRIGONOMETRISKIE VIENĀDOJUMI UN NEVIENĀDĪBASRisinājums un atbildes1. uzdevums3x= 3p +2pn, n∈Z2 32333x=± p +2pn, n∈Z33x=– p +pn, n∈Z32x+1=arcctg2+pnx=–1+arcctg2+pn, n∈Z2. uzdevumsx∈ pn; 3p 4+pn , n∈Zn∈∅x∈ 2pn; p 2 +2pn ∪ p +2pn;p+2pn , n∈Z22x∈ – p 2 +pn; p +pn , n∈Z6x∈ – p 4 +pn 2 ; p 12 +pn 2 , n∈Z3. uzdevumscos2x= – 32ctgx=– 32sin(2x+3x)=0sin2x=239

S k o l ē n a d a r b a l a p aM_11_SP_07_02_P2Risinājums un atbildes4. uzdevumsSadalīšana reizinātājos (iznešana pirms iekavām).Substitūciju metode (cosx=t).Sadalīšana reizinātājos (grupēšanas paņēmiens).Substitūciju metode (ctgx+1=t).5. uzdevumscos4x=2sin2x– 1 2tg(x+1)ctg(2x+3)=1cos 2 2x–sin 2 2x–2sin2x+ 1 2 =0 tg(x+1)= 1ctg(2x+3) , ctg(2x1–sin 2 2x–sin 2 2x–2sin2x+ 1 2 =0 tg(x+1)=tg(2x+3) 2x+3≠p 2 +pk2sin 2 2x+2sin2x– 3 2 =0sin2x=t2x+3=x+1+pnx=–2++pn, n∈Z4t 2 +4t–3=0t 1 =– 3 2sin2x=– 3 2t 2 =– 1 2x∈∅sin2x= 1 22x=p6 +2pn, n∈Z5p12 +pn2x=p12 +pn, n∈Z5p12 +pn40

S k o l ē n a d a r b a l a p aM_11_UP_07_P1Vārds uzvārds klase datumsTRIGONOMETRISKAS IDENTITĀTESUzdevumsIzskaidro identitātes, izmantojot dotos zīmējumus!a)arctg 1 2 +arctg 1 3 = p 4b)arctg1+arctg2+arctg3=p41

S k o l ē n a d a r b a l a p aM_11_LD_07_PVārds uzvārds klase datumsREDUKCIJAS FORMULASSituācijas aprakstsFunkcijas y=sinx un y=cosx ir periodiskas ar periodu 360 o . Šo īpašību raksturo formulas sin(360°+a)=sinaun cos(360°+a)=cosa.Mācoties par pagrieziena leņķi un tā atlikšanu vienības riņķī, tika iegūtas formulas sin(180°–a)=sina uncos(180°–a)=–cosa, kas ir spēkā jebkuram šauram leņķim a.Izceltajās formulās šaurais leņķis a tiek atņemts/pieskaitīts no/pie leņķiem 180° un 360°, kuri ir vienības riņķakvadrantu robežleņķi. Kā zināms, ir vēl divi kvadrantu robežleņķi, 90° un 270°.Pētāmā problēmaVai funkciju y=sinx un y=cosx vērtības leņķiem 90°±a, 180°±a, 270°±a un 360°±a vienmēr var izteikt kāšaura leņķa a trigonometriskās funkcijas vērtības?Darba gaita1. Izmantojot vienības riņķi, noskaidro, vai izteiksmju sin(360°– a), cos(360°–a), sin(180°+a) uncos(180°+a) vērtības var izteikt ar leņķa a sinusa vai kosinusa palīdzību!2. Izmantojot vienības riņķi, iegūsti analoģiskas formulas attiecībā pret leņķiem 90°± a un 270°±a!3. Analizējot visas iegūtās formulas kopumā, saskati principu, kuru lietojot, varētu noteikt funkcijas veidu unzīmi formulu labajā pusē!4. Sagatavo iegūto rezultātu prezentāciju!Datu apstrāde un iegūto formulu pierādīšanaUzdevumu veic uz papildu darba lapas!Rezultātu izvērtēšanaKādas iespējas vispārināt darbā iegūtos rezultātus tu saskati?16

K Ā R T Ē J Ā S V Ē R T Ē Š A N A S D A R B SM_11_KD_07_01Vārds uzvārds klase datumsTRIGONOMETRISKO FORMULU PIERĀDĪŠANAIzmantojamās formulassin(a+b)=sinacosb+sinbcosacos(a+b)=cosacosb–sinasinbsin(–a)=–sinacos(–a)=cosasin 2 a+cos 2 a=11. uzdevums (3 punkti)Izmantojot dotās formulas, pierādi formulu sin 3p 2+a =–cosa!2. uzdevums (3 punkti)Izmantojot dotās formulas, turpini formulas sin(a–b)=sinacosb–sinbcosa pierādīšanu!sin(a–b)=sin(a+(–b))=18

K Ā R T Ē J Ā S V Ē R T Ē Š A N A S D A R B SM_11_KD_07_013. uzdevums (3 punkti)Izmantojot dotās formulas, pierādi formulu cos2a=cos 2 a–sin 2 a!4. uzdevums (6 punkti)Izmantojot dotās formulas, pierādi formulu sin3a=3sina–4sin 3 a!19

K Ā R T Ē J Ā S V Ē R T Ē Š A N A S D A R B SM_11_KD_07_02Vārds uzvārds klase datumsTRIGONOMETRISKĀS NEVIENĀDĪBASUzdevums (10 punkti)Aizpildi tabulas tukšās ailes un pabeidz zīmējumus!NevienādībaAttēlojums vienības riņķa līnijāNevienādības atrisinājuma pieraksts, izmantojotkopu simboliku1. sinx>02. x∈ p 2 +2pn; 3p 2+2pn , n∈Z3.5pp6 6124. cosx< 225. x∈ – p 2 +pn; p +pn , n∈Z3p26.x∈ p +2pn , n∈Z220

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B SM_11_ND_07_V1Vārds uzvārds klase datumsTRIGONOMETRISKIE VIENĀDOJUMI UN NEVIENĀDĪBAS1. variants1. uzdevums (8 punkti)Aizpildi tabulu, kreisajā ailē ierakstot attiecīgā piemēra atbildi!PiemērsAtbildea)Vienkāršo izteiksmi!2sin 2 x–sin 2 xb)Nosaki izteiksmes vērtību!sin 2 40°+cos 2 40°c) Reducē par argumenta α trigonometrisko funkciju!cos 3p 2 +ad)Atrisini vienādojumu!cosx=–1e) α, ja a=arccos 1 3 ! xAttēlo vienības riņķī leņķi1y-11-1f)Atrisini vienādojumu!tgx=2g) Aprēķini izteiksmes sin3p vērtību!h) Kurā no zīmējumiem attēlots nevienādības cosx> 1 2 atrisinājums?A 1B C D 11-11 -11 -11 -11-1-1-1-163

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B SM_11_ND_07_V12. uzdevums (5 punkti)Atrisini vienādojumu!2sin 2 x+3sinx–2=03. uzdevums (4 punkti)Attēlo nevienādības cosx≤ 2 atrisinājumus vienības riņķī!2Uzraksti nevienādības cosx≤ 22 atrisinājumu!64

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B SM_11_ND_07_V14. uzdevums (5 punkti)Atrisini vienādojumu!cos3xsin2x =05. uzdevums (5 punkti)Dots, ka ∠A, ∠B un ∠C ir trijstūra ABC iekšējie leņķi un ∠A=a, ∠B=b.Pierādi, kasinCcosA⋅cosB =tgA+tgB!65

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B SM_11_ND_07_V2Vārds uzvārds klase datumsTRIGONOMETRISKIE VIENĀDOJUMI UN NEVIENĀDĪBAS2. variants1. uzdevums (8 punkti)Aizpildi tabulu, kreisajā ailē ierakstot attiecīgā piemēra atbildi!PiemērsAtbildea)Vienkāršo izteiksmi!3cos2x–cos2xb)Nosaki izteiksmes vērtību!tg50°⋅ctg50°c) Reducē par argumenta α trigonometrisko funkciju!sin(p+a)d)Atrisini vienādojumu!sinx=–1e) α, ja a=arcsin 1 3 ! xAttēlo vienības riņķī leņķi1y-11-1f)Atrisini vienādojumu!tgx=3g) Aprēķini izteiksmes cos3p vērtību!h) Kurā no zīmējumiem attēlots nevienādības sinx> 1 2 atrisinājums?A 1B C D 11-11 -11 -11 -11-1-1-1-166

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B S2. uzdevums (5 punkti)Atrisini vienādojumu!2cos 2 x–5cosx+2=03. uzdevums (4 punkti)Attēlo nevienādības sinx≤ 3 atrisinājumus vienības riņķī!2M_11_ND_07_V2Uzraksti nevienādības sinx≤ 32 atrisinājumu!67

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B SM_11_ND_07_V24. uzdevums (5 punkti)Atrisini vienādojumu!sin4xcos3x =05. uzdevums (5 punkti)Dots, ka ∠A, ∠B un ∠C ir trijstūra ABC iekšējie leņķi un ∠B=b, ∠C=γ.Pierādi, kasinAcosB⋅cosC =tgB+tgC!68

TRIGONOMETRISKIE VIENĀDOJUMI UN NEVIENĀDĪBAS1. variants1. uzdevums (8 punkti)Aizpildi tabulu, kreisajā ailē ierakstot attiecīgā piemēra atbildi!a) Vienkāršo izteiksmi!2sin 2 x–sin 2 xPiemērsb) Nosaki izteiksmes vērtību!sin 2 40°+cos 2 40°c) Reducē par argumenta α trigonometriskofunkciju!cos 3p 2 +ad) Atrisini vienādojumu!cosx=–1Atbildee) Attēlo vienības riņķī leņķi α, ja a=arccos 1 3 ! xf) Atrisini vienādojumu!tgx=2g) Aprēķini izteiksmes sin3p vērtību!-11y-112. uzdevums (5 punkti)Atrisini vienādojumu!2sin 2 x+3sinx–2=03. uzdevums (4 punkti)Attēlo nevienādības cosx≤ 22atrisinājumus vienības riņķī!Uzraksti nevienādības cosx≤ 22 atrisinājumu!4. uzdevums (5 punkti)Atrisini vienādojumu!cos3xsin2x =05. uzdevums (5 punkti)Dots, ka ∠A, ∠B un ∠C ir trijstūra ABC iekšējie leņķi un ∠A=a, ∠B=b.Pierādi, kasinCcosA⋅cosB =tgA+tgB!h)Kurā no zīmējumiem attēlots nevienādībascosx> 1 2 atrisinājums? 1A 1B C 1D-11 -11 -11 -1124-1-1-1-1

MATEMĀTIKA 11. klaseTRIGONOMETRISKIE VIENĀDOJUMI UN NEVIENĀDĪBAS2. variants1. uzdevums (8 punkti)Aizpildi tabulu, kreisajā ailē ierakstot attiecīgā piemēra atbildi!a) Vienkāršo izteiksmi!3cos2x–cos2xPiemērsb) Nosaki izteiksmes vērtību!tg50°⋅ctg50°c) Reducē par argumenta α trigonometriskofunkciju!sin(p+a)Atbilde2. uzdevums (5 punkti)Atrisini vienādojumu!2cos 2 x–5cosx+2=03. uzdevums (4 punkti)Attēlo nevienādības sinx≤ 32atrisinājumus vienības riņķī!d) Atrisini vienādojumu!sinx=–1e) Attēlo vienības riņķī leņķi α, ja a=arcsin 1 3 ! xf) Atrisini vienādojumu!tgx=3g) Aprēķini izteiksmes cos3p vērtību!h) Kurā no zīmējumiem attēlots nevienādības-11y-11Uzraksti nevienādības sinx≤ 32 atrisinājumu!4. uzdevums (5 punkti)Atrisini vienādojumu!sin4xcos3x =05. uzdevums (5 punkti)Dots, ka ∠A, ∠B un ∠C ir trijstūra ABC iekšējie leņķi un ∠B=b, ∠C=γ.Pierādi, kasinAcosB⋅cosC =tgB+tgC!sinx> 1 2 atrisinājums? 1A 1B C 1D-11 -11 -11 -11-1-1-1-125

TRIGONOMETRISKIE VIENĀDOJUMI UN NEVIENĀDĪBASVērtēšanas kritērijiUzdevums1.2.3.4.KritērijiSavelk līdzīgos saskaitāmos – 1 punktsNosaka izteiksmes vērtību – 1 punktsReducē par izteiksmi, kas satur tikai argumentu α – 1 punktsAtrisina trigonometrisko pamatvienādojumu – 1 punktsAttēlo vienības riņķī prasīto leņķi – 1 punktsAtrisina trigonometrisko pamatvienādojumu – 1 punktsAprēķina izteiksmes vērtību – 1 punktsNosaka nevienādībai atbilstošo zīmējumu – 1 punktsSaskata vienādojumu attiecībā pret sinx (cosx) – 1 punktsAtrisina kvadrātvienādojumu – 1 punktsPāriet uz trigonometriskajiem pamatvienādojumiem – 1 punktsAtrisina vienu no trigonometriskajiem pamatvienādojumiem –1 punktsAtrisina otru trigonometrisko pamatvienādojumu – 1 punktsIezīmē leņķus, ar kuriem izpildās vienādība – 1 punktsIezīmē loku, kas satur dotās nevienādības atrisinājumus – 1 punktsPareizi nosaka intervālu galapunktus – 1 punktsPieraksta atbildi, ņemot vērā periodiskumu – 1 punktsIzmanto nosacījumu par to, kad daļa ir vienāda ar 0 – 1 punktsNosaka tās x vērtības, ar kurām skaitītājs ir vienāds ar 0 – 1 punktsNosaka tās x vērtības, ar kurām saucējs ir vienāds ar 0 – 1 punktsVeicot spriedumu par vienādojuma saknēm, ņem vērā definīcijasapgabalu (izmanto vienības riņķi vai uzraksta atbildi kā sistēmu) –1 punktsŅemot vērā veikto spriedumu (izanalizējot situāciju vienības riņķī vaiatrisinot sistēmu), uzraksta vienādojuma atrisinājumu – 1 punktsPunkti85455.Izsaka leņķi C (A) ar a (b) un b (γ) – 1 punktsReducē skaitītājā esošo izteiksmi – 1 punktsIzmanto argumenta saskaitīšanas formulu – 1 punktsDaļu izsaka kā divu daļu summu – 1 punktsSaīsina daļas – 1 punkts5Kopā 2726