1 7.5. Hipotēzes pārbaude vienam vidējam, ja ir maza izlase ...

7.5. Hipotēzes pārbaude vienam vidējam, ja ir maza izlaseIepriekšējā nodaĜā tika apskatīts gadījums, ka izlase ir liela (vārds “liels” šeit ir lietotsstatistikas nozīmē). Lielā izlasē ir ietverti 30 vai vairāk elementi (n ≥ 30). Tomērizglītības pētījumu praksē bieži izlasē ir mazāk nekā 30 elementi. Piemēram, klasē ir28 skolēni, basketbola nodarbības apmeklē 12 zēni, angĜu valodas grupā ir 9 astotāsklases skolēni. Mazas izlases gadījumā vairs nevar lietot z testu hipotēžu pārbaudei.Viens no biežāk lietotajiem testiem pie mazām izlasēm ir t tests. Tā lietošanasnosacījums ir, ka ăenerālās kopas sadalījumam jābūt aptuveni normālam(normālsadalījums). Šajā gadījumā hipotēzes pārbaudes procedūru nosaka 7.2.algoritms7.2. algoritms.Hipotēzes pārbaude, lai salīdzinātu izlases vidējo ar ăenerālkopas vidējoNosacījumsĂenerālkopai jābūt ar normālu sadalījumu1. solisNoformulē nulles un alternatīvo hipotēze2. solisNosaka nozīmīguma līmeni (parasti izglītības pētījumos α = 0,05)3. solisIzrēėina vai tabulās atrod kritiskās t vērtības:o ja ir abpusējā alternatīvā hipotēze, tad kritiskās vērtības ir ±t α/2 (skat 7.4. zīm);ja α = 0,05, tad ±t 0,025 ;o ja ir kreisā virziena alternatīvā hipotēze, tad kritiskā vērtība ir –t α (skat 7.5.zīm); ja α = 0,05, tad –t 0,05 ;1

o ja ir labā virziena alternatīvā hipotēze, tad kritiskā vērtība ir t α (skat 7.6. zīm);ja α = 0,05, tad t 0,05 .Kritiskās t vērtības ir atkarības no izlases lieluma. Gan izmatojot tabulas, ganaprēėinot ar MS Excel jālieto lielums “brīvības pakāpju skaits”, to apzīmē ar df. Šajāgadījumā to aprēėina pēc formulas df = n – 1, kur n ir izlases lielums.Kritiskās t vērtības t 0,025 un t 0,05 ir dotas tabulā. Lietojot MS Excel tās var atrast arfunkciju TINV. Šai funkcijai ir divi argumenti – pirmais ir nozīmīguma līmenis, betotrais – brīvības pakāpju skaits. Tikai jāĦem vērā viena īpatnība – pirmajamargumentam jālieto reizinātājs 2, t.i. TINV(α*2;df). Piemēram, labā virzienaalternatīvai hipotēzi nozīmīguma līmenī α = 0,05 20 izlases elementiem jāraksta:TINV(0,05*2;20–1).4. solisAtrod pētāmā datu masīva t vērtību:x − µt = ,s / nkur x ir vidējā vērtība, µ ir ăenerālkopas vidējais, s ir izlases standartnovirze, n irskolēnu skaits izlasē.5. solisSalīdzina datu masīva t vērtību ar kritisko t vērtību. Izdara secinājumus.7.3. tabula. t α vērtības pie dažādām brīvības pakāpēm df.df t 0,025 t 0,051 12,706 6,3142 4,303 2,9203 3,182 2,3534 2,776 2,1325 2,571 2,0156 2,447 1,9437 2,365 1,8952

8 2,306 1,8609 2,262 1,83310 2,228 1,81211 2,201 1,79612 2,179 1,78213 2,160 1,77114 2,145 1,76115 2,131 1,75316 2,120 1,74617 2,110 1,74018 2,101 1,73419 2,093 1,72920 2,086 1,72521 2,080 1,72122 2,074 1,71723 2,069 1,71424 2,064 1,71125 2,060 1,70826 2,056 1,70627 2,052 1,70328 2,048 1,70129 2,045 1,6993

7.6. zīmējums. Nulles hipotēzes noraidīšanas un nenoraidīšanasapgabali t testā abpusējās alternatīvās hipotēzes gadījumā pienozīmīguma līmeĦa α.7.7. zīmējums. Nulles hipotēzes noraidīšanas un nenoraidīšanasapgabali t testā kreisā virziena alternatīvās hipotēzes gadījumā pienozīmīguma līmeĦa α.4

7.8. zīmējums. Nulles hipotēzes noraidīšanas un nenoraidīšanasapgabali t testā labā virziena alternatīvās hipotēzes gadījumā pienozīmīguma līmeĦa α.Piemērs. Vidēji valstī fiziskās izturības pārbaudes testā astotās klases zēni ieguva1123 punktus. M pilsētas skola lepojas ar savu īpašo pieeju skolēnu fiziskās attīstībasveicināšanā. Šīs skolas visu astotās klases zēnu testa rezultāti ir doti tabulā. Vai Mpilsētas skolas astotās klases zēni vidēji ir izturīgāki nekā valstī kopumā?7.4. tabula. M pilsētas skolas astoto klašu zēnu fiziskās izturības testa rezultāti.1711 1293 1205 1351 11851369 1231 908 1521 16151790 1154 1227 1350 1254Par cik šis ir fiziskās izturības tests, tad nav pamata domāt, ka visas ăenerālās kopassadalījums nebūtu normāls.1. Jānoformulē nulles un alternatīvās hipotēzes.H 0 : µ = 1123 (M skolas astoto klašu zēnu vidējie rezultāti fiziskās izturībastestā nav augstāki kā visas Latvijas astoto klašu zēnu vidējiem rezultātiem)5

H a : µ > 1123 (M skolas astoto klašu zēnu vidējie rezultāti fiziskās izturībastestā ir augstāki par visas Latvijas astoto klašu zēnu vidējiem rezultātiem)Alternatīvā hipotēze ir labā virziena (alternatīvajā hipotēze ir zīme >).2. Kā parasti izvēlamies nozīmīguma līmeni α = 0,05.3. Tā kā klasē ir 15 zēni (n = 15), tad brīvības pakāpju skaitsdf = 15–1 = 14. No tabulas atrodam t 0,05 = 1,761.4. Izrēėinām t no dotajiem lielumiem.x = 1344,27s = 231,00x − µt = = (1344,27–1123)/(231,00/SQRT(15)) = 3,710s / n5. Tā kā aprēėinātais t ir lielāks nekā t 0,05 , tad nulles hipotēze ir jānoraida. α = 0,05nozīmīguma līmenī M skolas astoto klašu skolēnu fiziskās izturības testu vidējierezultāti ir augstāki nekā vidēji valstī.6

Nosaka kritiskās z vērtības. Pie α = 0,05:o ja ir abpusējā alternatīvā hipotēze, tad kritiskās z vērtības ir z = ±1,96 (skat7.1. zīm);o ja ir kreisā virziena alternatīvā hipotēze, tad kritiskā z vērtība ir z = –1,645(skat 7.2. zīm);o ja ir labā virziena alternatīvā hipotēze, tad kritiskā z vērtība ir z = 1,645 (skat7.3. zīm).4. solisAtrod pētāmā datu masīva z vērtību. Ja ir zināmas populāciju standartnovirzes σ 1 unσ 2 , tad lieto tās. Tā kā parasti tās nav zināmas un izlases ir lielas, tad parasti lietotoizlašu standartnovirzes s 1 un s 2 . z vērtību atrod pēc formulas:zx− x1 2= ,22s1/ n1+ s2/ n2kur x1un x2ir vidējās vērtības, s 1 un s 2 ir izlašu standartnovirzes, n 1 un n 2 irelementu skaits izlasēs.5. solisSalīdzina aprēėināto z vērtību ar kritisko z vērtību. Izdara secinājumus.Piemērs.Tika nejauši izraudzīti 30 pasniedzēji (zinātĦu doktori) no publiskām augstskolām(parasti tās neprecīzi sauc par valsts augstskolām) un 35 pasniedzēji (zinātĦu doktori)no privātām augstskolām. ViĦu vidējā mēneša darba alga dota 7.8. tabulā. Nodotajiem datiem var izrēėināt, ka vidējā alga publisko augstskolu pasniedzējiem ir373,34 Ls, bet privāto augstskolu – 395,59 Ls. Vai atšėirība 22,24 ir statistiskinozīmīga vai tā ir mērījumu kĜūdas (izlases kĜūdas) ietvaros?7.8. tabula. Publisko un privāto augstskolu pasniedzēju vidējās darba algas mēnesī.Publisko augstskolu pasniedzēju darba algas308,33 347,55 305,65 493,37 404,00 327,538

356,50 556,93 243,90 312,68 565,03 169,20237,06 311,31 437,57 259,58 447,48 638,77257,89 694,33 342,38 242,40 172,27 458,16275,65 304,97 473,09 454,19 329,58 473,21Privāto augstskolu pasniedzēju darba algas286,66 501,08 312,58 792,02 415,02 394,01 279,68520,15 397,41 518,72 523,41 308,43 373,00 697,25247,06 313,03 366,91 286,11 368,13 274,86 194,90432,17 434,94 276,07 358,54 172,11 157,75 218,45356,87 687,67 405,66 406,33 437,40 489,27 641,98Uzdevumam var lietot iepriekšminēto algoritmu, jo izlases ir lielas (n 1 = 30 unn 2 = 35) un neatkarīgas.1. Jānoformulē nulles un alternatīvās hipotēzes.H 0 : µ 1 = µ 2 (vidējās algas neatšėiras)H a : µ 1 ≠ µ 2 (vidējās algas ir atšėirīgas)Alternatīvā hipotēze ir abpusēja (alternatīvajā hipotēze ir zīme ≠).2. Kā parasti izvēlamies nozīmīguma līmeni.3. Ja α = 0,05, tad kritiskās z vērtības ir ±z 0,05/2 =± z 0,025 = ±1.96.4. Aprēėinām testa z vērtību.x1=∑ x= AVERAGE(…) = 373,35n 1x2=∑ x=AVERAGE(…) = 395,59n 29

s 1 =n (1∑2x ) − ( ∑ x)n ( n −1)112= STDEV(…) = 131,29s 2 =n2(∑2x ) − ( ∑ x)n ( n −1)222= STDEV(…) = 149,41zx− x1 2= =22s1/ n1+ s2/ n2= (373,35–395,59)/SQRT((131,29^2/30)+(149,41^2/35)) = –0,645. Par cik testa z = –0,64 atrodas starp kritiskajām vērtībām –1,96 un +1,96, tadnulles hipotēzi nevar noraidīt (skat 7.9.zīm.). Tātad – no datiem nevar secināt, kapublisko un privāto augstskolu pasniedzēju darba algas atšėiras.7.9. zīmējums. Piemēra nulles hipotēzes noraidīšanasun nenoraidīšanas apgabali7.8. Hipotēzes pārbaude diviem vidējiem, ja izlases ir mazas10

Šis algoritms domāts, lai pārbaudītu vai atšėiras divu nelielu izlašu vidējās vērtības.To, protams, var lietot arī pie lielām izlasēm, bet tas nav ērti. Lai pielietotu sekojošoalgoritmu jābūt ievērotiem diviem nosacījumiem – izlasēm jābūt neatkarīgām un abuăenerālkopu (populāciju) sadalījumam jābūt aptuveni normālam.7.4. algoritms.Hipotēzes pārbaude, lai salīdzinātu divu izlašu vidējosNosacījumiIzlasēm jābūt neatkarīgāmAbām ăenerālkopām jābūt ar normālu sadalījumu1. solisNoformulē nulles un alternatīvo hipotēze2. solisNosaka nozīmīguma līmeni (parasti izglītības pētījumos α = 0,05)3. solisIzrēėina vai tabulās atrod kritiskās t vērtības:o ja ir abpusējā alternatīvā hipotēze, tad kritiskās vērtības ir ±t α/2 (ja α = 0,05,tad ±t 0,025 );o ja ir kreisā virziena alternatīvā hipotēze, tad kritiskā vērtība ir –t α (ja α = 0,05,tad –t 0,05 );o ja ir labā virziena alternatīvā hipotēze, tad kritiskā vērtība ir t α (ja α = 0,05, tadt 0,05 .).Kritiskās t vērtības ir atkarības no izlases lieluma. Gan izmatojot tabulas, ganaprēėinot ar MS Excel jālieto lielums “brīvības pakāpju skaits”, to apzīmē ar df. Šajāgadījumā to aprēėina pēc salīdzinoši sarežăītas formulas22 2[( s1/ n1) + ( s2/ n2)]df =,2 2 2 2( s1/ n1) ( s2/ n2)+n −1n −11211

kur n 1 un n 2 ir izlašu lielumi, bet s 1 un s 2 ir izlašu standartnovirzes.Kritiskās t vērtības t 0,025 un t 0,05 ir dotas. tabulā. Lietojot MS Excel tās var atrast arfunkciju TINV. Šai funkcijai ir divi argumenti – pirmais ir nozīmīguma līmenis, betotrais – brīvības pakāpju skaits. Tikai jāĦem vērā viena īpatnība – pirmajamargumentam jālieto reizinātājs 2, t.i. TINV(α*2;df). Piemēram, labā virzienaalternatīvai hipotēzi nozīmīguma līmenī α = 0,05 20 izlases elementiem jāraksta:TINV(0,05*2;20–1).4. solisAtrod pētāmā datu masīva t vērtību:tx− x1 2= ,22s1/ n1+ s2/ n2kur x1un x2ir vidējās vērtības, s 1 un s 2 ir izlašu standartnovirzes, n 1 un n 2 irelementu skaits izlasēs.5. solisSalīdzina datu masīva t vērtību ar kritisko t vērtību. Izdara secinājumus.Piemērs. Uz O skolas devīto klasi bija pieteikušies daudzi skolēni, starp tiem 12skolēni no P skolas un 15 skolēni no R skolas. Katra P un R skolas skolēna testarezultāti doti 7.9. tabulā. Vai ir atšėirības P un R skolu skolēnu sasniegumos testā?7.9. tabula. P un R skolu skolēnu sasniegumi testā.P skolaR skola6,9 7,3 7,8 7,4 8,7 7,0 8,7 6,7 7,87,2 6,6 6,2 8,2 8,6 6,1 7,5 7,7 7,57,6 5,7 5,5 6,9 11,2 6,1 6,3 7,0 10,7Lai atvieglotu tālāko darbu, vispirms no tabulas datiem izrēėinām vidējās vērtības(funkcija AVERAGE) un standartnovirzes (funkcija STDEV).12

P skolan 1 = 12 n 2 = 15x1= 6,94 x2= 7,84s 1 = 0,82 s 2 = 1,53R skola1. Jānoformulē nulles un alternatīvās hipotēzes.H 0 : µ 1 = µ 2 (vidējie testa rezultāti neatšėiras)H a : µ1 ≠ µ2 (vidējie testa rezultāti ir atšėirīgi)Alternatīvā hipotēze ir abpusēja (alternatīvajā hipotēze ir zīme ≠).2. Kā parasti izvēlamies nozīmīguma līmeni α = 0,05.3. Jāatrod brīvības pakāpju skaits.22 2[( s1/ n1) + ( s2/ n2)]df ==2 2 2 2( s1/ n1) ( s2/ n2)+n −1n −11222[(0,82 /12) + (1,53 /15)]=2 22(0,82 /12) (1,53 /15)+12 −115 −122== 22 (noapaĜots uz leju)Kritiskā vērtība ±t α/2 = ±t 0,05/2 =± t 0,025 = ±2,0744. Jāizrēėina t vērtība no dotajiem lielumiem.tx− x1 2= =22s1/ n1+ s2/ n2=0,826,94 − 7,842/12 + 1,532/15= –1,95413

5. Izrēėinātā t vērtība atrodas starp kritiskām vērtībām –2,074 un +2,074, tādēĜnulles hipotēzi nevar noraidīt. Iestājeksāmena testa rezultāti nedod mumspierādījums, ka P un R skolas skolēnu sasniegumi atšėirtos.7.10. zīmējums. Piemēra nulles hipotēzes nenoraidīšanasun noraidīšanas apgabali.7.9. Uzdevumi1. uzdevums. Saules pilsētā iepriekšējā gadā skolēnu vecāki par skolas mācībugrāmatām vidēji izdeva 106,5 zedus (zeds ir naudas vienība Saules pilsētā).Standartnovirze σ = 16,7 zedi. Šogad nejauši tika izvēlēti 40 skolēnu vecāki unaptaujāti par naudas summām, kuras tika izdotas par mācību grāmatām. Aptaujasrezultāti ir doti tabulā.116 134 120 109 135 93 118 85113 102 99 83 101 100 132 9696 114 102 126 110 130 118 109138 115 102 79 48 148 107 122119 91 81 106 119 129 142 11914

Vai šogad ir mainījušies izdevumi par mācību grāmatām? (α = 0,05)2. uzdevums Vidēji Saules pilsētā astotās klases skolēni katru darba dienu mājasdarbu pilda 114 minūtes. Par mājasdarbiem veltīto laiku tika aptaujāti 50 nejaušiizvēlēti Saules pilsētas ZiemeĜu priekšpilsētas astotās klases skolēni. Aptaujasrezultāti doti tabulā.97 77 51 67 125 50 136 55 83 9154 86 100 78 93 113 111 104 96 11396 87 129 109 69 94 99 97 83 9758 101 75 111 151 139 81 55 66 90130 55 45 64 155 66 60 80 102 62Vai ZiemeĜu priekšpilsētas skolēnu mājasdarbu laiks atšėiras no visas Saules pilsētasskolēnu mājasdarbu laika? (α = 0,05)3. uzdevums Vidēji Saules pilsētā skolēni ceĜā uz skolu pavada 13 minūtes. Laiki, kouz skolu dodoties patērē 35 nejauši izvēlēti Centra rajona skolēni, ir doti tabulā.38 2 13 8 14 11 20 33 6 2 17 21 810 8 3 6 52 4 1225 21 5 4 19 2 729 40 0 12 10 6 41Vai Centra rajona bērnu ceĜā pavadītais laiks atšėiras no visas pilsētas bērnu ceĜāpavadītā laika? (α = 0,05)4. uzdevums Divus gadus atpakaĜ vidēji Saules pilsētā skolu remontam tērēja 280zedus uz vienu skolēnu. Šogad 40 nejauši izvēlētās skolās remonta izdevumi dotitabulā.158 110 185 136 167 84 437 420230 57 942 287 259 123 712 170531 347 505 148 111 442 145 3849 188 107 134 223 36 360 253321 821 89 202 759 151 1176 31Vai šogad izdevumi skolu remontiem ir mainījušies? (α = 0,05)15

5. uzdevums Vidējā atzīme centralizētajā vēstures kontroldarbā bija 6,0. Miėelīšupagasta skolas 30 skolēnu atzīmes dotas tabulā.5,3 5,1 9,6 4,6 6,0 6,06,3 3,6 6,0 5,4 6,1 3,85,1 4,1 5,8 6,4 3,4 4,82,6 6,6 5,1 6,6 8,0 3,33,8 5,4 6,2 5,1 5,3 1,5Skolēnu vacāki ir satraukušies, ka skolā vēstures stundas nav pietiekoši augstā līmenīun skolēnu atzīmes ir zemākas nekā vidēji valstī. Vai vecāku bažām ir pamats?(α = 0,05)6. uzdevums Lauvassirds pagasta skolas 80 skolēniem izmērīja IQ ar standartizētutestu (vidējā vērtība 100, standartnovirze 15). Rezultāti doti tabulā.114 124 108 80 106 113 99 88102 134 97 118 95 123 86 106113 96 81 106 113 90 101 99102 120 125 117 111 108 102 59113 111 118 108 90 99 86 115112 86 98 72 101 114 92 9778 88 107 106 106 96 65 11386 106 108 97 101 127 107 107105 136 116 120 113 82 99 125106 118 119 117 120 125 122 96Vai šīs skolas skolēnu vidējais IQ ir augstāks nekā vidēji skolēniem? (α = 0,05)16