Vectoren
Vectoren
Vectoren
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Hoofdstuk 1<br />
<strong>Vectoren</strong><br />
1 RICHTING EN ZIN<br />
In de vorige jaren zijn in de wiskunde de begrippen richting en zin al aan bod<br />
gekomen. Omdat de betekenis ervan enigszins verschilt van wat in het dagelijks<br />
leven gebruikelijk is, besteden we er nog even aandacht aan.<br />
Het vlak waarin we werken noemen we Π.<br />
Richting<br />
In het vlak Π kiezen we een rechte a. De verzameling<br />
van alle rechten evenwijdig met a noemen we<br />
richting a<br />
a<br />
Van twee rechten die tot die verzameling behoren,<br />
zeggen we dat ze dezelfde richting hebben.<br />
Neem nu een rechte b die niet tot richting a behoort.<br />
Π<br />
b<br />
De verzameling van alle rechten evenwijdig met b is dan richting b. Richting a en<br />
richting b hebben geen enkele rechte gemeenschappelijk. We noemen ze verschillende<br />
richtingen. Van a en b zelf zeggen we dat ze een verschillende richting<br />
hebben.<br />
Zin<br />
De punten van een rechte a kun je in twee bijzondere zinnen doorlopen:<br />
ofwel ofwel<br />
a a<br />
We noemen de ene zin de tegengestelde van de andere.<br />
Ook voor twee rechten van eenzelfde richting gebruiken we de uitdrukking zin:<br />
zelfde zin zelfde zin tegengestelde zin tegengestelde zin<br />
Dagelijks leven<br />
Veronderstel dat de autoweg tussen Oostende en Brussel kaarsrecht is. Op die<br />
weg rijdt Jan van Oostende naar Brussel en Sven van Brussel naar Oostende. In<br />
het dagelijks leven zeggen we dat ze in tegengestelde richtingen rijden. In de wiskunde<br />
zeggen we: ze rijden in dezelfde richting maar in tegengestelde zin.<br />
In de wiskunde bestaat er trouwens niet zoiets als tegengestelde richtingen, wél<br />
verschillende richtingen. De richting van een kaarsrechte baan tussen Gent en<br />
Kortrijk is een andere dan de richting Oostende-Brussel.<br />
7<br />
1
1<br />
8<br />
2 PUNTENKOPPEL<br />
Verzameling van twee punten<br />
B<br />
We nemen twee punten A en B van het vlak Π.<br />
Beschouwen we die samen, dan hebben we de verzame- A<br />
ling van de punten A en B; we noteren:<br />
{A, B}<br />
Je mag ook {B, A} noteren, want bij een verzameling mag je de elementen in om<br />
het even welke volgorde opschrijven.<br />
Puntenkoppel<br />
We kunnen aan de punten A en B echter ook een volgorde<br />
toekennen, bijvoorbeeld eerst A en dan B. We spreken<br />
B<br />
dan niet meer over de verzameling van die punten, maar<br />
gebruiken de naam puntenkoppel en noteren:<br />
(A, B)<br />
A<br />
Het punt A noemen we het beginpunt van het koppel, het punt B het eindpunt. Op<br />
de figuur wordt de volgorde (eerst A, dan B) getoond door een pijl te trekken van<br />
A naar B.<br />
Kiezen we eerst B en dan A, dan hebben we een ander<br />
puntenkoppel en noteren we:<br />
B<br />
(B, A)<br />
In dat geval is B het beginpunt en A het eindpunt.<br />
Je mag ook tweemaal eenzelfde punt C nemen; je krijgt<br />
dan het koppel<br />
A<br />
(C, C)<br />
Zo’n koppel noemen we een identiek koppel.<br />
In plaats van een pijl van C naar C tekenen we dan een lus.<br />
Drager van een niet-identiek puntenkoppel<br />
C<br />
Voor een niet-identiek puntenkoppel (A, B) noemen we de rechte AB de drager<br />
van het puntenkoppel. Het puntenkoppel bepaalt dan op die drager een zin, namelijk<br />
die zin waarvoor het beginpunt van het koppel vóór het eindpunt doorlopen<br />
wordt.<br />
Puntenkoppels met dezelfde richting<br />
Zijn de dragers van twee niet-identieke koppels<br />
evenwijdig, dan zeggen we dat die koppels dezelf-<br />
B<br />
C<br />
de richting hebben.<br />
Op de figuur hebben de koppels (A, B) en (C, D)<br />
A<br />
dezelfde richting; de koppels (A, B) en (E, F) hebben<br />
niet dezelfde richting.<br />
Puntenkoppels met dezelfde zin<br />
D E F<br />
Hebben twee puntenkoppels dezelfde richting, dan zeggen we dat ze dezelfde zin<br />
hebben wanneer de zinnen die ze op die dragers bepalen dezelfde zijn.<br />
Bepalen ze op die evenwijdige dragers tegengestelde zinnen, dan zeggen we dat<br />
de puntenkoppels een tegengestelde zin hebben.
Op de figuur hebben de koppels (A, B) en<br />
(C, D) dezelfde zin; de koppels (A, B) en<br />
(E, F) hebben een tegengestelde zin.<br />
B<br />
D<br />
Voor de koppels (A, B) en (G, H) kunnen<br />
we de uitdrukkingen ‘dezelfde zin’ of<br />
‘tegengestelde zin’ niet gebruiken, want<br />
de dragers zijn niet evenwijdig.<br />
A<br />
C E<br />
H<br />
Lengte van een puntenkoppel<br />
Is een puntenkoppel (A, B) niet identiek,<br />
F<br />
G<br />
dan noemen we de lengte van het lijnstuk [AB] de lengte van het puntenkoppel.<br />
Aan een identiek koppel kennen we de lengte met maatgetal 0 toe.<br />
3 HET BEGRIP VECTOR<br />
Instap<br />
Hierboven zijn enkele puntenkoppels getekend.<br />
Geef drie kenmerken die ze gemeenschappelijk hebben.<br />
Het begrip vector<br />
De drie gezochte kenmerken zijn:<br />
– ze hebben dezelfde richting<br />
– ze hebben dezelfde zin<br />
– ze hebben dezelfde lengte.<br />
Elk punt van het vlak kun je als beginpunt nemen van een puntenkoppel met die<br />
richting, die lengte en die zin. De verzameling puntenkoppels die je zo verkrijgt,<br />
noemen we een vector. De richting, zin en lengte van de puntenkoppels noemen<br />
we ook de richting, de zin en de lengte van de vector.<br />
Afzonderlijke definitie<br />
Ook de verzameling van alle identieke puntenkoppels<br />
noemen we een vector, de zogenaamde nulvector.<br />
9<br />
1
1<br />
10<br />
Vertegenwoordiger<br />
Elk van de puntenkoppels van een vector noemen we een vertegenwoordiger of<br />
representant van die vector. Om een vector weer te geven volstaat die vertegenwoordiger,<br />
dus één puntenkoppel.<br />
Conclusies<br />
Een vector is bepaald door het geven van één puntenkoppel.<br />
Een vector, verschillend van de nulvector, is bepaald door zijn richting, zijn<br />
lengte en zijn zin.<br />
Opmerkingen<br />
1 De nulvector heeft geen richting en geen zin, maar wel een lengte, namelijk de<br />
lengte met maatgetal 0.<br />
2 We zullen de pijl die het beginpunt van een vertegenwoordiger van een vector<br />
met het eindpunt verbindt zo veel mogelijk rechtlijnig tekenen. Wordt de<br />
figuur daardoor onduidelijk of vallen twee pijlen deels samen, dan zullen we<br />
de pijl kromlijnig tekenen. Een lus blijft natuurlijk een lus.<br />
4 NOTATIES EN BENAMINGEN<br />
Notaties<br />
1 De vector bepaald door het puntenkoppel (A, B) noteren we:<br />
AB f<br />
Geven we geen naam aan het beginpunt en het<br />
eindpunt van een puntenkoppel dat de vector<br />
bepaalt, dan noteren we de vector met een<br />
kleine letter met een pijltje erboven:<br />
u<br />
g<br />
of<br />
g<br />
v of w<br />
g<br />
De nulvector noteren we:<br />
AA f of o g<br />
AB<br />
A<br />
A<br />
A is dan een willekeurig punt van het vlak.<br />
2 Voor de lengte van de vector AB f noteren we:<br />
|AB f |<br />
Die notatie gebruiken we ook voor het maatgetal van die lengte. Uit de tekst<br />
blijkt wel of we de lengte van de vector of het maatgetal van die lengte bedoelen.<br />
3 De verzameling van alle vectoren noteren we:<br />
Vect<br />
u<br />
o<br />
B
Benamingen<br />
Evenwijdige vectoren<br />
Twee vectoren u g en v g , verschillend van de nulvector<br />
en met dezelfde richting, noemen we evenwijdige<br />
vectoren.<br />
We noteren:<br />
u<br />
g<br />
//<br />
g<br />
v<br />
Van de nulvector zeggen we dat hij evenwijdig is<br />
met elke vector.<br />
Tegengestelde vectoren<br />
De vector BA f noemen we de tegengestelde vector<br />
van de vector AB f ; we noteren:<br />
– AB f<br />
Zo vinden we onze eerste formule van de vectorrekening:<br />
BA f = – AB f<br />
5 GELIJKE VECTOREN<br />
Gelijke vectoren<br />
Als twee koppels (A, B) en (C, D) tot eenzelfde<br />
vector behoren, dan kunnen we die<br />
vector zo noteren:<br />
AB f of CD f<br />
We noteren dan ook:<br />
AB f = CD f<br />
en gebruiken de uitdrukking gelijke vectoren.<br />
In wezen gaat het om dezelfde vector.<br />
Verband met lengte<br />
– Gelijke vectoren hebben gelijke lengten.<br />
AB f = CD f ê |AB f | = |CD f |<br />
– Omgekeerd zijn vectoren met een gelijke lengte niet noodzakelijk gelijke vectoren.<br />
De vectoren AB f en EF<br />
f hebben een gelijke<br />
lengte maar het zijn geen gelijke vec-<br />
B<br />
toren. Ze hebben immers een verschillende<br />
richting.<br />
A<br />
E<br />
A<br />
A<br />
C<br />
u<br />
AB<br />
BA<br />
v<br />
B<br />
B<br />
11<br />
D<br />
F<br />
1
1<br />
12<br />
Verband met het parallellogram<br />
We nemen twee vectoren AB f en CD f , verschillend van de nulvector.<br />
Geval 1 AB f = CD f en AB en CD zijn verschillende rechten<br />
Omdat de vectoren gelijk zijn, zijn de lijnstukken<br />
[AB] en [CD] evenwijdig en even lang.<br />
In de vierhoek ABDC zijn dan twee overstaande<br />
zijden evenwijdig en even lang; die vierhoek is<br />
dus een parallellogram.<br />
De eigenschap geldt ook omgekeerd: is ABDC<br />
een parallellogram, dan hebben de koppels (A, B)<br />
en (C, D) dezelfde richting, dezelfde zin en dezelfde lengte en dus geldt:<br />
AB f = CD f<br />
A<br />
C<br />
Merk op: uit het feit dat ABDC een parallellogram is, volgt ook<br />
A<br />
BA f = DC f<br />
C<br />
B<br />
D<br />
A<br />
AC f = BD f<br />
C<br />
CA f = DB f<br />
C<br />
Geval 2 AB f = CD f en AB en CD zijn eenzelfde rechte a<br />
We nemen een vector EF f gelijk aan<br />
AB f en CD f , waarbij de rechte EF niet<br />
samenvalt met a.<br />
Zoals in geval 1 vind je dat ABFE en<br />
CDFE parallellogrammen zijn.<br />
Bijgevolg kunnen voor de gelijke vectoren AB f en CD f de puntenkoppels (A, B) en<br />
(C, D) verbonden worden door twee parallellogrammen.<br />
Ook die eigenschap geldt omgekeerd: als twee puntenkoppels (A, B) en (C, D)<br />
verbonden zijn door parallellogrammen ABFE en CDFE, dan zijn de vectoren<br />
AB f en CD f C<br />
B<br />
D a<br />
A<br />
F<br />
E<br />
gelijk.<br />
Conclusie<br />
Voor twee vectoren AB f en CD f , verschillend van de nulvector en met AB ≠ CD<br />
geldt:<br />
AB f = CD f ® ABDC is een parallellogram<br />
Voor twee vectoren AB f en CD f , verschillend van de nulvector en met AB = CD<br />
geldt:<br />
AB f = CD f ® (A, B) en (C, D) kunnen verbonden worden door<br />
twee parallellogrammen ABFE en CDFE<br />
B<br />
D<br />
A<br />
B<br />
B<br />
D<br />
D
6 VERBAND MET VERSCHUIVINGEN<br />
Je kent al sedert geruime tijd het begrip verschuiving.<br />
A<br />
Een verschuiving (ook translatie genoemd) is een verzameling puntenkoppels<br />
waarbij elk punt van het vlak het beginpunt van een puntenkoppel van de verschuiving<br />
is.<br />
Al die puntenkoppels hebben dezelfde richting, dezelfde zin en dezelfde lengte.<br />
Ze vormen dus een vector.<br />
Conclusie<br />
Verschuiving en vector zijn synoniemen.<br />
Het verschil zit in het taalgebruik.<br />
– We zullen bijvoorbeeld nooit spreken over het beeld van een figuur door een<br />
vector, wel over het beeld van een figuur door een verschuiving.<br />
– Iets verderop leren we de som van twee vectoren. De naam som zullen we<br />
nooit gebruiken voor twee verschuivingen.<br />
Neem het getal 1000.<br />
Tel er 40 bij.<br />
Tel er 1000 bij.<br />
Tel er 30 bij.<br />
Nog eens plus 1000.<br />
Plus 20.<br />
Plus 1000 en dan plus 10.<br />
Geef het totaal.<br />
Antwoord op blz. 14<br />
B<br />
A'<br />
C<br />
B'<br />
C'<br />
13<br />
1
1<br />
14<br />
7 VECTOREN IN DE FYSICA<br />
Krachten<br />
In de fysica worden krachten door vectoren voorgesteld. In plaats van beginpunt<br />
zeggen we daar aangrijpingspunt. In plaats van lengte zeggen we grootte.<br />
Snelheden<br />
Een kikker maakt een sprong onder een hoek van 45° en met een beginsnelheid<br />
van 5 m/s. Even later maakt hij op dezelfde plaats en in hetzelfde verticale vlak<br />
een nieuwe sprong, nu onder een hoek van 60° en met een beginsnelheid van<br />
10 m/s.<br />
Die gegevens worden met vectoren voorgesteld. De richting en zin van de vector<br />
geven de startbeweging weer. De lengte van de vectoren geeft de eigenlijke grootte<br />
van de snelheden weer; daarom tekenen we de ene vector dubbel zo lang als de<br />
andere.<br />
Opmerking<br />
Het vectorbegrip dat in de fysica gebruikt wordt, is niet helemaal hetzelfde als in<br />
de wiskunde. In de fysica mag je een andere vertegenwoordiger alleen op de drager<br />
van de vorige nemen.<br />
Antwoord op de opdracht van blz. 13<br />
Velen antwoorden 5000.<br />
De correcte som is echter 4100.<br />
5 N
8 INSTAP<br />
a De steden A, B en C zijn met rechte<br />
wegen verbonden.<br />
Jan fietst van A naar B. We stellen<br />
dat voor door de vector AB f .<br />
Dan fietst hij van B naar C; dat stellen<br />
we voor door de vector BC f .<br />
Als het zijn bedoeling is om vanuit<br />
A in C te geraken, kan hij de vorige<br />
twee verplaatsingen vervangen door<br />
rechtstreeks van A naar C te rijden;<br />
dat stellen we voor door de vector<br />
AC f .<br />
De verplaatsing voorgesteld door de vector AC f vervangt dus de opeenvolging<br />
van de verplaatsingen voorgesteld door vectoren AB f en BC f B<br />
C<br />
A<br />
C<br />
B<br />
A<br />
.<br />
We zeggen dat de vector AC f de som is van de vectoren AB f en BC f en noteren:<br />
AB f + BC f = AC f<br />
(1)<br />
Merk op: de som van de lengten van de lijnstukken [AB] en [BC] is niet gelijk<br />
aan de lengte van het lijnstuk [AC]:<br />
|AB| + |BC| ≠ |AC|<br />
We hebben in (1) dus te maken met een totaal andere soort som dan we<br />
gewoon zijn uit de getallenleer.<br />
b Resultante van twee krachten<br />
F 1<br />
F 2<br />
F<br />
De krachten waarmee de sleepboten het schip trekken, worden voorgesteld<br />
f f<br />
door de vectoren F1 en F2 . We kunnen beide sleepboten vervangen door één<br />
sleepboot die trekt met een kracht F g . Die kracht F g wordt in de fysica de resul-<br />
f f<br />
tante van F1 en F2 genoemd; we vinden ze door uitgaande van het beginpunt<br />
f f<br />
en de eindpunten van F1 en F2 een parallellogram te construeren.<br />
f f<br />
In de wiskunde spreken we in plaats van over de resultante van F1 en F2 over<br />
f f<br />
de som van F1 en F2 ; we noteren dan ook:<br />
F g f f<br />
= F1 + F2<br />
15<br />
1
1<br />
16<br />
9 SOM VAN VECTOREN<br />
Geval 1 de vectoren u g en v g worden voorgesteld door puntenkoppels (A, B)<br />
en (B, C)<br />
Het eindpunt van het eerste puntenkoppel is<br />
dus het beginpunt van het tweede puntenkoppel.<br />
We noemen de vector voorgesteld door het<br />
puntenkoppel (A, C) de som van de vectoren<br />
u g en v g B<br />
v C<br />
.<br />
Voor die som noteren we zoals in de getal-<br />
u<br />
u + v<br />
lenleer:<br />
u<br />
g<br />
+<br />
g<br />
v<br />
De definitie is dus:<br />
AB f + BC f = AC f<br />
Geval 2 de vectoren u g en v g worden voorgesteld door puntenkoppels (P, Q)<br />
en (R, S) met Q ≠ R<br />
Het eindpunt van het eerste puntenkoppel<br />
en het beginpunt van het tweede koppel<br />
zijn dus verschillend.<br />
We kiezen een punt A van het vlak en vervangen<br />
het puntenkoppel (P, Q) dat u g<br />
voorstelt door een puntenkoppel met beginpunt<br />
A: het puntenkoppel (A, B).<br />
We vervangen ook het puntenkoppel (R, S)<br />
dat v g voorstelt door een puntenkoppel met<br />
beginpunt B: het puntenkoppel (B, C).<br />
We noemen de vector voorgesteld door het<br />
puntenkoppel (A, C) de som van de vectoren u g en v g en noteren daarvoor: u g + v g v S<br />
R<br />
u<br />
Q<br />
B<br />
v C<br />
P<br />
u<br />
u + v<br />
A<br />
.<br />
Opmerkingen<br />
1 Voor de bewerking gebruiken we zoals in<br />
de getallenleer de naam optelling.<br />
2 In geval 2 mag je het punt A in P kiezen;<br />
de constructie wordt dan iets korter.<br />
3 Een voorbeeld voor evenwijdige vectoren:<br />
u<br />
P Q<br />
S<br />
v<br />
R<br />
A<br />
A<br />
R<br />
u<br />
P = A<br />
u + v<br />
Q<br />
C<br />
v<br />
v<br />
u + v<br />
u<br />
v<br />
S<br />
C<br />
B
De parallellogrammethode<br />
Twee niet-evenwijdige vectoren u g en v g kun je<br />
ook als volgt optellen.<br />
We nemen een willekeurig punt A van het<br />
vlak.<br />
We stellen zowel u g als v g voor door puntenkoppels<br />
met beginpunt A:<br />
(A, B) en (A, C)<br />
We construeren het parallellogram CABD.<br />
Dan stelt ook (C, D) de vector u g voor en (B, D) de vector v g u<br />
B<br />
u<br />
A v<br />
.<br />
Je vindt dus:<br />
u<br />
g<br />
+<br />
g f f f<br />
v = AB + BD = AD<br />
g<br />
v + u<br />
g f f f<br />
= AC + CD = AD<br />
Die methode noemen we de parallellogrammethode; de methode van de definitie<br />
(gevallen 1 en 2) noemen we de methode van de opeenvolgende koppels.<br />
Cabri-bestand<br />
Het Cabri-bestand Somvectoren demonstreert de optelling van vectoren.<br />
Verband met lengten<br />
Voor niet-evenwijdige vectoren AB f en BC f<br />
met som AC f merkten we in nr. 8, deel a, al<br />
op dat je uit<br />
AC f = AB f + BC f<br />
niet kunt afleiden dat de lengte van AC f de<br />
som is van de lengten van AB f en BC f B<br />
C<br />
A<br />
.<br />
Voor evenwijdige vectoren is er wel een verband, maar het hangt af van de ligging<br />
van het punt C ten opzichte van [AB].<br />
Uit AC f = AB f + BC f volgt:<br />
C<br />
A B C<br />
A C B<br />
A<br />
B<br />
u + v<br />
v<br />
v<br />
v + u<br />
u<br />
C<br />
|AC f | = |AB f | + |BC f |<br />
|AC f | = |AB f | – |BC f |<br />
|AC f | = |BC f | – |AB f |<br />
17<br />
D<br />
1
1<br />
18<br />
10 NOG VOORBEELDEN UIT DE FYSICA<br />
Voorbeeld 1<br />
Op een valschermspringer werken twee krachten:<br />
– een kracht gericht naar het middelpunt van de aarde en voorgesteld door de<br />
f<br />
vector F1 f<br />
– de windkracht voorgesteld door de vector F2 .<br />
De som F g van de vectoren stelt dan de kracht voor die beide krachten kan vervangen.<br />
Voorbeeld 2<br />
Een kraan trekt een voorwerp omhoog en haalt het tegelijk naar zich toe:<br />
F 1<br />
F 1<br />
F<br />
F 2<br />
2<br />
F<br />
Voorbeeld 3<br />
Een bootje, dat een rivier wil oversteken, verplaatst zich onder invloed van de<br />
f f<br />
motorkracht F1 en de kracht F2 uitgeoefend door het stromend water:<br />
F 1<br />
F 2<br />
F<br />
F 2<br />
F<br />
F 2
11 BETREKKING VAN CHASLES-MÖBIUS<br />
Neem je drie punten A, B, C in het vlak Π, dan kun je, waar die punten ook liggen,<br />
altijd de volgende som noteren:<br />
AB f + BC f = AC f<br />
A<br />
Dus:<br />
B<br />
¡ A, B, C Ï Π: AB f + BC f = AC f<br />
Die betrekking wordt de betrekking van Chasles-Möbius genoemd.<br />
Van links naar rechts<br />
De betrekking stelt het optellen van vectoren voor. Je moet dat kunnen toepassen<br />
zonder naar een figuur te kijken. Let daarom op de volgorde van de letters:<br />
in het linkerlid: een eerste letter, een tweede letter tweemaal, een derde letter.<br />
in het rechterlid: die eerste letter gevolgd door die derde letter.<br />
Bijvoorbeeld:<br />
SZ f + ZM f = SM f<br />
PC f + CE<br />
f = PE f<br />
Van rechts naar links<br />
De betrekking laat toe een vector te splitsen in een som van vectoren met behulp<br />
van een willekeurig punt.<br />
Bijvoorbeeld:<br />
T<br />
C<br />
X<br />
B<br />
E<br />
XY f = XE<br />
f + EY f<br />
XY f = XT<br />
f + TY f<br />
C<br />
A<br />
N<br />
A B<br />
C<br />
Y<br />
XY f = XN f + NY f<br />
XY f = XG f + GY f<br />
G<br />
19<br />
1
1<br />
20<br />
12 COMMUTATIVITEIT VAN DE OPTELLING VAN VECTOREN<br />
Voor niet-evenwijdige vectoren u g en v g<br />
ontdekten we in nr. 9 met de parallello-<br />
grammethode:<br />
u<br />
g<br />
+<br />
g<br />
v =<br />
g<br />
v + u<br />
g<br />
Voor evenwijdige vectoren u g en v g werken we als volgt:<br />
We nemen een puntenkoppel (A, B) dat u g voorstelt, vervolgens een puntenkoppel<br />
(B, C) dat v g voorstelt en dan een puntenkoppel (C, D) dat opnieuw u g voorstelt.<br />
Omdat de vectoren evenwijdig zijn, liggen A, B, C, D op één rechte.<br />
u v u<br />
Dan geldt:<br />
u<br />
(A, C) stelt u g + v g voor (B, D) stelt v g + u g voor<br />
Maar (A, C) en (B, D) liggen op dezelfde rechte en hebben dezelfde zin.<br />
Bovendien:<br />
|AC| = |AB| + |BC|<br />
= |CD| + |BC| (de koppels (A, B) en (C, D) stellen beide u g voor)<br />
= |BC| + |CD|<br />
= |BD|<br />
(het optellen van lengten is commutatief)<br />
De puntenkoppels (A, C) en (B, D) bepalen dus dezelfde vector.<br />
Dat betekent:<br />
Conclusie<br />
u<br />
g<br />
+<br />
g<br />
v =<br />
g<br />
v + u<br />
g<br />
Een som van vectoren blijft gelijk als je de termen van plaats verwisselt.<br />
We drukken dat ook als volgt uit:<br />
De optelling in Vect is commutatief.<br />
Met symbolen:<br />
¡ u g , v g Ï Vect: u g + v g = v g + u g<br />
u<br />
v<br />
v<br />
u + v<br />
v<br />
v + u<br />
A B C D<br />
u + v<br />
u v u<br />
A B C D<br />
v + u<br />
u
13 ASSOCIATIVITEIT VAN DE OPTELLING VAN VECTOREN<br />
We gaan uit van drie vectoren u g , v g en w g .<br />
u<br />
We nemen een puntenkoppel (A, B) dat u g voorstelt, vervolgens een puntenkoppel<br />
(B, C) dat v g voorstelt en ten slotte een puntenkoppel (C, D) dat w g voorstelt.<br />
A<br />
B<br />
We berekenen nu afzonderlijk de sommen<br />
u<br />
g<br />
+ (v<br />
g<br />
+ w<br />
g<br />
) (u<br />
g<br />
+<br />
g<br />
v ) + w<br />
g<br />
Welnu:<br />
C<br />
v<br />
B<br />
w<br />
v + w<br />
B<br />
A<br />
u<br />
u<br />
u + (v + w)<br />
v<br />
v<br />
u<br />
g<br />
+ (v<br />
g<br />
+ w<br />
g f f f<br />
)= AB+ (BC + CD) (u<br />
g<br />
+<br />
g<br />
v ) + w<br />
g f f f<br />
= (AB + BC) + CD<br />
= AB f + BD f<br />
= AC f + CD f<br />
= AD f<br />
= AD f<br />
Dus: u g + (v g + w g ) = (u g + v g ) + w g<br />
Merk op dat je de figuren niet nodig hebt; je gebruikt de betrekking van Chasles-<br />
Möbius.<br />
Conclusie<br />
Een som van vectoren waarvan één van de termen zelf een som is, blijft gelijk<br />
als je de haken van plaats verandert.<br />
We drukken dat ook als volgt uit:<br />
De optelling in Vect is associatief.<br />
Met symbolen:<br />
¡ u g , v g , w g Ï Vect: u g + (v g + w g ) = (u g + v g ) + w g<br />
Gevolg<br />
Omdat de plaats van de haken geen belang heeft, noteren we voor die sommen:<br />
u<br />
g<br />
+<br />
g<br />
v + w<br />
g<br />
. Je mag dan zelf kiezen welke twee vectoren je het eerst optelt.<br />
C<br />
D u<br />
A<br />
w<br />
D<br />
w<br />
v<br />
u + v<br />
C<br />
(u + v) + w<br />
w<br />
D<br />
21<br />
1
1<br />
22<br />
14 OPTELLING VAN VECTOREN: EIGENSCHAPPEN<br />
In de vorige twee nummers ontdekten we al twee eigenschappen van de optelling.<br />
We hernemen ze en vullen ze aan met enkele andere.<br />
Eigenschap 1<br />
Voor elke twee vectoren bestaat er een vector die er de som van is.<br />
Die eigenschap volgt uit de definitie van de som van vectoren.<br />
Met symbolen: ¡ u g , v g Ï Vect: E w g Ï Vect: u g + v g = w g<br />
We zeggen:<br />
De optelling in Vect is overal gedefinieerd.<br />
Eigenschap 2<br />
De optelling in Vect is associatief.<br />
Met symbolen: ¡ u g , v g , w g Ï Vect: u g + (v g + w g ) = (u g + v g ) + w g<br />
Die eigenschap werd ontdekt in het vorige nummer.<br />
Eigenschap 3<br />
De som van de nulvector en een tweede vector is, ongeacht de volgorde waarin<br />
je optelt, gelijk aan de tweede vector.<br />
Met symbolen: o g Ï Vect en ¡ u g Ï Vect: u g + o g = o g + u g = u g<br />
Je kunt die eigenschap aflezen op een figuur:<br />
u<br />
o<br />
B<br />
A u + o<br />
o<br />
A<br />
Je kunt ze ook aantonen met de betrekking van Chasles-Möbius:<br />
u<br />
g<br />
+ o<br />
g f f f<br />
= AB + BB = AB = u<br />
g<br />
We zeggen kort:<br />
o<br />
g<br />
+ u<br />
g f f f<br />
= AA + AB = AB = u<br />
g<br />
De nulvector is in Vect het neutraal element voor de optelling.<br />
Eigenschap 4<br />
Elke vector van Vect bezit in Vect een tegengestelde vector; de som van die twee<br />
vectoren, ongeacht de volgorde waarin je optelt, is gelijk aan de nulvector.<br />
Met symbolen: ¡ u g Ï Vect: E –u g Ï Vect: u g + (–u g ) = (–u g ) + u g = o g<br />
Je kunt die eigenschap aflezen op een figuur:<br />
u<br />
B<br />
u + (–u) –u<br />
–u<br />
A A<br />
u<br />
u<br />
o + u<br />
B<br />
(–u) + u<br />
B
Je kunt ze ook aantonen met de betrekking van Chasles-Möbius:<br />
u<br />
g<br />
+ (–u<br />
g f f f<br />
) = AB + BA = AA = o<br />
g<br />
(–u g ) + u g = BA f + AB f = BB f = o g<br />
Omdat de nulvector in Vect het neutraal element voor de optelling is, drukken we<br />
de eigenschap ook als volgt uit:<br />
Elke vector van Vect bezit in Vect een symmetrisch element voor de optelling,<br />
namelijk de tegengestelde vector.<br />
Eigenschap 5<br />
De optelling in Vect is commutatief.<br />
Met symbolen: ¡ u g , v g Ï Vect: u g + v g = v g + u g<br />
Die eigenschap werd ontdekt in nr. 12.<br />
Groep<br />
De eerste vier eigenschappen vatten we samen in de uitdrukking:<br />
Vect, + is een groep<br />
Eigenschap 5 kunnen we eraan toevoegen door te zeggen:<br />
Vect, + is een commutatieve groep<br />
15 VERSCHIL VAN TWEE VECTOREN<br />
Definitie<br />
Het verschil van de vector u g en de vector v g is de som van de vector u g en de<br />
tegengestelde vector van v g .<br />
Met symbolen:<br />
Constructie<br />
Gegeven:<br />
u<br />
¡ u g , v g Ï Vect: u g – v g = u g + (–v g )<br />
Methode 1: Methode 2:<br />
opeenvolgende koppels parallellogrammethode<br />
–v<br />
u – v<br />
u – v u<br />
u<br />
–v<br />
Voor evenwijdige vectoren moet je de methode van de opeenvolgende koppels<br />
gebruiken.<br />
v<br />
23<br />
1
1<br />
24<br />
Som en verschil in één figuur<br />
u – v<br />
–v<br />
–v v<br />
opeenvolgende koppels parallellogrammethode<br />
Opmerkingen<br />
1 Voor de bewerking gebruiken we zoals in de getallenleer de naam aftrekking.<br />
2 De definitie van dit nummer is gelijkaardig met die van de getallenleer. Ook<br />
de eigenschappen van nr. 14 zijn vergelijkbaar met eigenschappen van de<br />
getallenleer. Wat het optellen en aftrekken van vectoren betreft, mag je dus<br />
rekenen zoals in de getallenleer. In het bijzonder:<br />
– je mag de regels van de haken gebruiken<br />
– als je bij beide leden van een gelijkheid in Vect eenzelfde vector optelt, krijg<br />
je een gelijkwaardige gelijkheid.<br />
VRAGEN EN OPDRACHTEN<br />
u<br />
v<br />
u + v<br />
u – v<br />
1 Neem de volgende figuren in je schrift over.<br />
Construeer een koppel van u g + v g , van u g – v g , van v g – u g .<br />
u<br />
u<br />
u<br />
v<br />
v<br />
u v<br />
v<br />
v<br />
u<br />
v<br />
u<br />
u<br />
v<br />
u<br />
u<br />
v<br />
u<br />
u + v<br />
u v<br />
u<br />
v<br />
v<br />
v<br />
u
2 Neem de figuur tweemaal in je schrift over.<br />
Construeer op de ene figuur een koppel<br />
van (u g + v g ) + w g .<br />
Construeer op de andere figuur een koppel<br />
van u g + (v g + w g ).<br />
Welke eigenschap vind je terug?<br />
3 Neem de volgende figuren in je schrift over.<br />
Construeer telkens een koppel van<br />
u<br />
g<br />
+<br />
g<br />
v<br />
g<br />
v + w<br />
g<br />
– u g – v g<br />
u<br />
g<br />
+ w<br />
g<br />
– u g + v g<br />
u<br />
g<br />
+<br />
g<br />
v + w<br />
g<br />
g<br />
v – w<br />
g<br />
+ u<br />
g<br />
w g – u g + v g<br />
– u g + v g – w g<br />
– u g – v g – w g<br />
4 Druk de vectoren AC f , BD f , DC f uit in x g , y g , z g of hun tegengestelden.<br />
A<br />
x<br />
z<br />
u<br />
B<br />
v<br />
v<br />
w<br />
u<br />
w<br />
u w<br />
v<br />
y<br />
D<br />
C<br />
u<br />
w<br />
D<br />
z<br />
v<br />
w<br />
u<br />
A<br />
C<br />
x<br />
u<br />
u<br />
v<br />
y<br />
w<br />
B<br />
v<br />
v<br />
25<br />
w<br />
1
1<br />
26<br />
5 Neem de figuur in je schrift over.<br />
Op een steen worden drie krachten<br />
f f f<br />
, F2 en F3 uitgeoefend.<br />
F 1<br />
Blijft die steen liggen?<br />
6 Bewijs met de betrekking van Chasles-Möbius in Vect de volgende gelijkheden.<br />
a AB f = AC f + CD f + DB f<br />
c AB f + BC f + CA f = o g<br />
b AB f = AC f + CD f + DE<br />
f + EB f<br />
d AB f = OB f – OA f<br />
7 Gebruik de gegeven<br />
punten om de vector<br />
AB f te schrijven als<br />
een som van twee<br />
vectoren.<br />
8 Alle gegeven letters stellen punten van het vlak Π voor.<br />
Bereken zonder een figuur te maken.<br />
a AB f + CD f + DA f d AB f – CB f – MC f<br />
g RM f + EP<br />
f – ES<br />
f – SM f<br />
b MS<br />
f + ZM f + PZ<br />
f e SP f – SM f – RP<br />
f<br />
h CI<br />
f + CR f + IC f + RX f<br />
c RE<br />
f + GR f + EG f<br />
f –AQ f – QP<br />
f – PA f<br />
i (AC f – AB f ) – (AC f – AD f )<br />
9 Vervolledig de volgende gelijkheden in Vect.<br />
AB f + … = AD f<br />
… + MS<br />
f = KS<br />
f<br />
… = PB f + ZP<br />
f<br />
ZR f + … = ZG f<br />
AG f = AP f + … MG f = … + MA<br />
f<br />
10 Bewijs.<br />
a ¡ A, B, C, D Ï Π: AB f + CD f = AD f + CB f<br />
b ¡ A, B, C, D Ï Π: AB f – CD f = AC f – BD f<br />
c ¡ A, B, C, D Ï Π: AB f + CD f + EF<br />
f = AD f + CF<br />
f + EB f<br />
A<br />
C<br />
steen<br />
11 Bewijs:<br />
M is het midden van [AB] ® AM f = MB f ® MA f + MB f = o g<br />
F 1<br />
D<br />
F 2<br />
B<br />
F 3<br />
F<br />
E
12 Bewijs opnieuw de stelling: de diagonalen van een parallellogram snijden<br />
elkaar middendoor.<br />
Tip: neem een parallellogram ABCD; geef het midden van [AC] de naam M;<br />
bewijs dat BM f = MD f .<br />
13 Bewijs opnieuw de stelling: als de diagonalen van een vierhoek elkaar<br />
middendoor snijden, dan is die vierhoek een parallellogram.<br />
Tip: neem een vierhoek ABCD en bewijs dat AB f = DC f .<br />
VOOR WIE MEER WIL!<br />
14 Neem de figuur in je schrift over.<br />
Construeer een koppel van:<br />
a AD f + CB f<br />
h – AC f – DC f<br />
b AD f + BC f<br />
i AB f + BC f + CD f<br />
c AD f + CD f<br />
j BA f + BC f + BD f<br />
d AD f + BA f<br />
k AC f + DC f + CB f<br />
e CD f + AB f<br />
l AC f – BD f – CD f<br />
f BD f – AC f<br />
m BC f – DC f + AD f<br />
g AB f – CD f<br />
n – AB f – AC f – AD f<br />
15 De vierhoek ABCD is een parallellogram.<br />
Druk de volgende vectoren uit in u g , v g of<br />
hun tegengestelden.<br />
BC f AC f DC f BD f DA f CA f<br />
16 Bereken x g .<br />
x<br />
u<br />
v<br />
17 Construeer een DABC. Construeer vervolgens de punten D, E, F, G zó dat:<br />
a AD f = AB f + AC f<br />
c AF<br />
f = AC f + BC f<br />
b AE<br />
f = BA f + BC f<br />
d AG f = AB f + CA f<br />
A<br />
A<br />
v<br />
x<br />
u<br />
v<br />
v<br />
x x<br />
v<br />
B<br />
B<br />
u<br />
u u<br />
D<br />
27<br />
C<br />
D<br />
C<br />
1
1<br />
28<br />
18 Waaraan is in de figuur de vector w g gelijk?<br />
a u g + v g<br />
b u g – v g<br />
c v g – u g<br />
d – u g – v g<br />
u<br />
19 Neem de figuur in je schrift over.<br />
a Construeer Y zó dat XY f = AB f .<br />
b Construeer Z zó dat ZX f = AB f .<br />
20 Welke eigenschappen heeft de aftrekking in Vect?<br />
21° Bewijs: ¡ u g , v g , w g Ï Vect: u g = v g ® u g + w g = v g + w g<br />
22* a Vormen de vectoren van Vect met maatgetallen van de lengten behorend<br />
tot ~ een groep voor de optelling?<br />
b Geef een deelgroep van de groep Vect, +.<br />
Een deelgroep van Vect, + is een groep V, + met V fi Vect.<br />
23 Neem de figuur in je schrift<br />
over.<br />
Construeer w g zó dat:<br />
u<br />
g<br />
+<br />
g<br />
v + w<br />
g<br />
= o<br />
g<br />
24 Voor drie punten A, B, C Ï Π kun je zes betrekkingen van Chasles-Möbius<br />
schrijven. Doe dat en maak telkens een figuur.<br />
25 Het punt S is het snijpunt van de diagonalen van een parallellogram ABCD.<br />
Bereken:<br />
a AB f + SD f<br />
d AB f + CB f<br />
f AB f + CD f<br />
b CB f + CD f<br />
e CB f + DC f<br />
g BS<br />
f + DC f<br />
c SA f + SB f + SC f + SD f<br />
u<br />
v<br />
B<br />
A<br />
w<br />
X<br />
v
26 Zijn voor het parallellogram hiernaast de volgende vormen gelijk?<br />
a AB f en AC f + CB f e AD f + AB f en AC f<br />
b AC f en AD f + CD f f CB f + AB f en AC f<br />
c AC f en AE<br />
f + EC f g CD f en DA f + AB f + BC f<br />
d AE<br />
f en AC f + CE<br />
f h CE<br />
f en CB f + BA f + AE<br />
f<br />
A<br />
B<br />
E<br />
D<br />
27 Kan een vector evenwijdig zijn met elk van twee niet-evenwijdige vectoren?<br />
28 a Bewijs in Vect: – (u g + v g ) = – u g – v g<br />
– (u g – v g ) = – u g + v g<br />
b Bewijs dat in Vect de regels van de haken gelden.<br />
29 a Voor A, B, C, D Ï Π geven we: AB f + DC f = o g<br />
Bereken zonder een figuur te maken: CA f + BD f<br />
b Welk soort vierhoek is ABDC als de punten A, B, C, D niet op één rechte<br />
liggen?<br />
30 Vier punten A, B, C, D liggen op een rechte, zó dat AB f = CD f .<br />
Bewijs dat het midden M van [BC] ook het midden van [AD] is.<br />
31 Een rechte evenwijdig met de diagonaal<br />
BD van een parallellogram ABCD snijdt<br />
AB in E, BC in F, CD in G en DA in H.<br />
Bewijs: EF<br />
f = GH f .<br />
32 Door elk hoekpunt van een ∆ABC trekken we de evenwijdige met de overstaande<br />
zijde.<br />
Die rechten bepalen een ∆DEF. Bewijs dat A, B, C de middens zijn van de<br />
zijden van ∆DEF.<br />
33 Bewijs voor vier niet op eenzelfde rechte gelegen punten A, B, C, D:<br />
ABCD is een parallellogram ® AB f + CD f = o g<br />
34 We nemen een parallellogram ABCD en twee willekeurige punten E en F.<br />
Bereken:<br />
a AE<br />
f + CF<br />
f + EB f + FD f<br />
b FD f + EB f + AF<br />
f + AE<br />
f<br />
35 Op de zijden [AB], [CD], [BC], [DA]<br />
van een parallellogram ABCD nemen<br />
we respectievelijk punten E, G, F, H zó<br />
dat:<br />
EB f = DG f<br />
BF<br />
f = HD f<br />
Bewijs dat EFGH een parallellogram is.<br />
A<br />
E<br />
E<br />
B<br />
F<br />
C<br />
D<br />
G<br />
H<br />
B F C<br />
A H D<br />
G<br />
29<br />
1<br />
C
1<br />
30<br />
36 Voor een ∆ABC nemen we twee punten P en Q zó dat:<br />
AP<br />
f + AQ f = AB f + AC f<br />
Bewijs dat BPCQ een parallellogram is.<br />
37° Construeer voor een gegeven ∆ABC de punten D en E zó dat:<br />
AD f = AB f + AC f<br />
AE<br />
f = AB f – AC f<br />
Wat is B voor het lijnstuk [DE]? Geef een bewijs.<br />
38° Construeer voor een willekeurige vierhoek ABCD de punten E en F zó dat:<br />
AE<br />
f = AB f + AC f<br />
AF<br />
f = AC f + AD f<br />
Wat voor een figuur is BEFD? Geef een bewijs.<br />
39° Construeer voor een vierhoek ABCD<br />
a het punt P zó dat AP<br />
f + BC f = DC f – AB f<br />
b het punt Q zó dat AQ f + BQ f = AC f + DQ f<br />
c het punt R zó dat RA f – BC f = RB f + RC f – AD f<br />
40° Neem de figuur in je<br />
schrift over.<br />
Construeer A Ï a en<br />
B Ï b zó dat:<br />
PA f + PB f = u g<br />
De wondermooie tuin van de meetkunde<br />
41° We nemen een ∆ABC en een willekeurig punt P.<br />
Construeer de punten D, E, F zó dat:<br />
PD f = PA f + BC f<br />
PE<br />
f = PB f + CA f f f f<br />
PF = PC + AB<br />
a<br />
b<br />
Bewijs dat A, B, C de middens van de zijden van ∆DEF zijn.<br />
Bewijs: PA f + PB f + PC f = PD f + PE<br />
f + PF<br />
f<br />
42* We nemen een regelmatige veelhoek met O als<br />
middelpunt van de omcirkel. We beschouwen de<br />
vectoren waarvan een koppel O als beginpunt<br />
heeft en een hoekpunt als eindpunt.<br />
Bewijs dat de som van die vectoren gelijk is aan de<br />
nulvector.<br />
Zo moet je bijvoorbeeld voor nevenstaande regelmatige<br />
vijfhoek ABCDE bewijzen:<br />
OA f + OB f + OC f + OD f + OE<br />
f = o g<br />
a<br />
P<br />
E<br />
b<br />
u<br />
D<br />
O<br />
A B<br />
C
WE ONTHOUDEN<br />
Vector<br />
Een vector is bepaald door het geven<br />
van één puntenkoppel.<br />
Een vector, verschillend van de nulvector,<br />
is bepaald door zijn richting, zijn<br />
lengte en zijn zin.<br />
Nulvector: de verzameling van alle<br />
identieke koppels.<br />
Tegengestelde vector:<br />
BA f = – AB f<br />
Verband met het parallellogram<br />
A<br />
Voor twee vectoren AB f en CD f , verschillend van de nulvector en met<br />
AB ≠ CD, geldt:<br />
AB f = CD f ® ABDC is een parallellogram<br />
Voor twee vectoren AB f en CD f , verschillend van de nulvector en met<br />
AB = CD, geldt:<br />
AB f = CD f ® (A, B) en (C, D) kunnen verbonden worden<br />
door twee parallellogrammen ABFE en CDFE<br />
Som en verschil<br />
u – v<br />
C<br />
–v<br />
u<br />
Betrekking van Chasles-Möbius<br />
¡ A, B, C Ï Π: AB f + BC f = AC f<br />
B<br />
v<br />
u + v<br />
D<br />
A<br />
u – v<br />
–v<br />
A<br />
A<br />
B<br />
AB<br />
E<br />
u<br />
B<br />
C<br />
v<br />
BA<br />
o<br />
u<br />
B<br />
u + v<br />
F<br />
D<br />
a<br />
C<br />
31<br />
1
1<br />
32<br />
Eigenschappen van de optelling<br />
1 De optelling in Vect is overal gedefinieerd.<br />
¡ u g , v g Ï Vect: E w g Ï Vect: u g + v g = w g<br />
2 De optelling in Vect is associatief.<br />
¡ u g , v g , w g Ï Vect: u g + (v g + w g ) = (u g + v g ) + w g<br />
3 De nulvector is in Vect het neutraal element voor de optelling.<br />
o<br />
g<br />
Ï Vect en ¡ u<br />
g<br />
Ï Vect: u<br />
g<br />
+ o<br />
g<br />
= o<br />
g<br />
+ u<br />
g<br />
= u<br />
g<br />
4 Elke vector van Vect bezit in Vect een symmetrisch element voor de<br />
optelling, namelijk de tegengestelde vector.<br />
¡ u g Ï Vect: E –u g Ï Vect: u g + (–u g ) = (–u g ) + u g = o g<br />
5 De optelling in Vect is commutatief.<br />
¡ u g , v g Ï Vect: u g + v g = v g + u g<br />
GESCHIEDENIS<br />
Michel Chasles (1793-1880) was een Frans wiskundige, gespecialiseerd in de<br />
meetkunde. Hij was lange tijd hoogleraar aan de Sorbonne te Parijs.<br />
August Ferdinand Möbius (1790-1868) was een Duits wiskundige. Hij leverde<br />
een aanzienlijke bijdrage tot de algebraïsche behandeling van de meetkunde.
TOETS JEZELF<br />
1 ABCD is een parallellogram; M, N, P, Q zijn de middens van de zijden.<br />
Welke uitspraken zijn waar, welke niet waar?<br />
a – MB f = PD f<br />
b SA f = SC f<br />
c NP<br />
f = – DS<br />
f<br />
d BS<br />
f = NP<br />
f<br />
M<br />
A<br />
B<br />
Q<br />
S<br />
N<br />
D<br />
P<br />
C<br />
2 Construeer een koppel van u g + v g en v g – u g .<br />
3 De gegeven letters stellen punten van het vlak voor. Bereken zonder een figuur<br />
te maken:<br />
a AB f + DM f + MA f<br />
4 Waar of niet waar?<br />
a CE<br />
f = CB f + AB f<br />
b BA f = EA f + BE<br />
f<br />
c CB f = DB f + DC f<br />
d DC f = AC f – AD f<br />
5 We noemen M het midden van de zijde [BC]<br />
van een ∆ABC.<br />
Vervang door één vector:<br />
a AC f + MB f<br />
b AM f + BM f<br />
c MA f + MB f + MC f<br />
6 Op de diagonaal [BD] van een parallellogram<br />
ABCD nemen we E en F zó dat<br />
BE<br />
f = FD f .<br />
Bewijs dat AECF een parallellogram is.<br />
A<br />
u<br />
b BF<br />
f – EF<br />
f – BA f<br />
A<br />
B<br />
A<br />
C<br />
E<br />
v<br />
33<br />
D<br />
B C<br />
M<br />
B C<br />
E<br />
F<br />
D<br />
1