Vectoren

1
20
12 COMMUTATIVITEIT VAN DE OPTELLING VAN VECTOREN
Voor niet-evenwijdige vectoren u g en v g
ontdekten we in nr. 9 met de parallello-
grammethode:
u
g
+
g
v =
g
v + u
g
Voor evenwijdige vectoren u g en v g werken we als volgt:
We nemen een puntenkoppel (A, B) dat u g voorstelt, vervolgens een puntenkoppel
(B, C) dat v g voorstelt en dan een puntenkoppel (C, D) dat opnieuw u g voorstelt.
Omdat de vectoren evenwijdig zijn, liggen A, B, C, D op één rechte.
u v u
Dan geldt:
u
(A, C) stelt u g + v g voor (B, D) stelt v g + u g voor
Maar (A, C) en (B, D) liggen op dezelfde rechte en hebben dezelfde zin.
Bovendien:
|AC| = |AB| + |BC|
= |CD| + |BC| (de koppels (A, B) en (C, D) stellen beide u g voor)
= |BC| + |CD|
= |BD|
(het optellen van lengten is commutatief)
De puntenkoppels (A, C) en (B, D) bepalen dus dezelfde vector.
Dat betekent:
Conclusie
u
g
+
g
v =
g
v + u
g
Een som van vectoren blijft gelijk als je de termen van plaats verwisselt.
We drukken dat ook als volgt uit:
De optelling in Vect is commutatief.
Met symbolen:
¡ u g , v g Ï Vect: u g + v g = v g + u g
u
v
v
u + v
v
v + u
A B C D
u + v
u v u
A B C D
v + u
u