oefeningen Riemann en integralen

B1 deel 4 Hoofdstuk 6
Vragen die je moet kunnen beantwoorden:
Hiernaast zie je oppervlakte dat wordt ingesloten
2
door de x-as, de y-as en de grafiek van y = 9 − x
1. a. Bepaal netjes de Riemann-boven en -ondersom met Δ x=1
b. Bepaal met je rekenapparaat de bovensom met Δ x = 0,1
c. Bereken
3
2
(9 − )
∫ x dx netjes algebraïsch
0
d. Benader de oppervlakte met je rekenapparaat
2.
2
1
De grafieken van f ( x) = 2. x − x en g( x) = − x sluiten een vlakdeel in.
2
a. Bereken eerst netjes de snijpunten van de grafieken
b. Bereken de oppervlakte netjes algebraïsch met integraal
c. Benader de genoemde oppervlakte van dat vlakdeel met je rekenapparaat
3. Bepaal de primitieve van:
a.
2
f ( x) = (2x − 1)
b. f ( x) = cos3x
c. f ( x) = 4. 2x − 1
d.
2
f ( x)
= 2
x
e.
2
f ( x) = 3 x .( x − 1)
f.
5
f ( x)
=
2
(2x −1)
g. f ( x) = 5x − 3sin 2x
h. f ( x)
=
2
x
Aantekening:
b
f ( x) = (2x − 1)
j. f ( x) = sin x + x.cos x
i. 3
∫ f ( x). dx moet je zien als de som van alle producten f(x). Δ x met Δ x oneindig klein en dan
a
vervangen door dx. Al die producten opgeteld van x=a tot x=b.
Als f(x)

En schrijf niet op ∫ f ( x ) = want dan sommeer je zeker geen opp. van rechthoekjes.
a
Bijvoorbeeld:
De lijn y = − x , de x-as en de lijn x=3 sluiten een valkdeel in.
Als je dat vlakdeel verdeelt in rechthoekjes dan zijn die x hoog ! en Δ x breed dus:
Oppervlakte =
3
∫
0
En: de lijn y=4 en de grafiek van
1 2 3 1 1
xdx = [ x ] 0 = (4 ) − (0) = 4
2 2 2
Als je het verdeelt in smalle rechthoekjes zijn die
Oppervlakte =
4
∫
−1
2
f ( x) = x − 3x
sluiten een gebied in.
2
(4 ( x 3 x))
− − hoog dus
2 1 3 3 2 4 2 1 5
(4 − x + 3 x) dx = [4 x − x + x ] −1
= (19 ) − ( − 2 ) = 21
3 2 3 6 6
Als gevraagd wordt de oppervlakte exact, algebraïsch met integraal uit te rekenen mag je dus
zeker niet gaan benaderen!!
Antwoorden:
1a) 22 1b) 13 1c) 18,4 1d) 18 1e) 18
2a). 0 en 2,5 2b) 29
2 48 2c) 2,6
3. Bepaal de primitieve van:
a.
1
3
F( x) = .(2x − 1) + c
6
b.
1
F( x) = .sin 3x
+ c
3
c.
4
11
2
F( x) = (2x − 1) + c
3
d.
−2
F( x)
=
x
e.
3 4 3
F( x) = x − x + c
4
f.
1
−1
F( x) = −2 .(2x − 1)
2
g.
1 2 3
F( x) = 2 x + cos 2x
+ c
2 2
h. F( x) = 4 x + c
i.
3
11
3
F( x) = (2x − 1) + c
8
j. F( x) = x.sin x +
c