buigpunt 1

Buigpunt
In de analyse is een buigpunt van een kromme een punt op de kromme waar de
kromming van teken verandert. De vorm van de kromme verandert van hol (concaaf)
in bol (convex) of omgekeerd.
Karakterisering
In een buigpunt stellen we de kromme lokaal voor door de functie f. Is de kromme de
grafiek van een functie dan geven we die ook door f aan. In het buigpunt is f in ieder
geval differentieerbaar. Afhankelijk van de verdere differentieerbaarheid van f in het
buigpunt, laat zich een buigpunt als volgt karakteriseren:
in het buigpunt kruist de raaklijn de kromme;
in het buigpunt bereikt de afgeleide van f een extremum.
Als ook de tweede afgeleide bestaat kan deze laatste voorwaarde ook geformuleerd
worden als:
in het buigpunt wisselt de tweede afgeleide van f van teken (het teken van de
tweede afgeleide geeft immers de kromming aan).
Een buigpunten kan een stationair punt op de grafiek van een functie zijn, maar in
een buigpunt is een functie nooit extreem.
De bovenstaande karakteriseringen geven de weg aan waarlangs buigpunten
opgespoord kunnen worden.
In het geval de functie voldoende vaak differentieerbaar is, is de eis dat het teken
van de tweede afgeleide rond dit punt van teken wisselt, equivalent met de eis dat
de eerste van 0 verschillende afgeleide van oneven orde moet zijn (derde, vijfde, ...).
Indien de eerste van 0 verschillende afgeleide van even orde is (tweede, vierde, ...)
dan is er geen buigpunt.

Voorbeelden
f(x) = cos(x) (rood) f'(x)= - sin(x) (groen) en f"(x) = - cos(x) (blauw)
Voorbeeld 1
We zoeken de buigpunten van de functie cos(x).
Op de figuur (rechts) is de functie samen met zijn eerste en tweede afgeleide
weergegeven.
cos(x) in het rood, cos'(x) in het groen en cos"(x) in het blauw.
We bepalen de eerste en de tweede afgeleide
We zien dat de nulpunten van cos(x) overeenkomen met de nulpunten van de
tweede afgeleide.
De eerste afgeleide bereikt er telkens een extremum en heeft er ook een
constant teken rond zodat we steeds een buigpunt hebben.
De nulpunten van de cosinus zijn dus ook de buigpunten (analoog bij de sinus,
sinus hyperbolicus en cosinus hyperbolicus).
f(x) = x 3 + 3x 2 - 3x - 1
.

Voorbeeld 2
We zoeken de buigpunten van de functie
De functie is in het blauw weergeven op de figuur (rechts)
We bepalen de eerste en tweede afgeleide
De tweede afgeleide wordt 0 voor x = -1.
Het teken van de eerste afgeleide rond dit punt is constant, namelijk
negatief, dus is het een buigpunt (rood op de figuur).
f(x) = x 3 (blauw), f'(x) = 3x 2 (rood)
Voorbeeld 3
Tenslotte bekijken we een klassiek voorbeeld, de functie f(x) = x 3 .
We bepalen opnieuw eerste en tweede afgeleide
De functie is in het blauw weergegeven op de figuur (rechts), samen
met de eerste afgeleide (in het rood).
We zien dat de tweede afgeleide 0 wordt voor x = 0. Op de grafiek is
duidelijk te zien dat het teken van de eerste afgeleide constant is rond
dit punt, namelijk positief. Bijgevolg is er in de oorsprong een buigpunt.
Merk op dat ook de eerste afgeleide in dat punt 0 is, het is dus een
stationair punt. De functie bereikt er echter geen extremum.