Taylor reeksen:

1.
Taylor reeksen:
2 3 4
f '(0). x f ''(0). x f '''(0). x f ''''(0). x
f ( x) f (0) ....
1! 2! 3! 4!
1 2 1 3 1 4
1 1 1 1
f ( x) ln(1 x) x x x x ... Gevolg: ln(2) 1 ...
2 3 4
2 3 4 5
De omgekeerde functie van f ( x) tan x wordt ook wel
met tan 1
4
en dus arctan(1)
4
2.
Omdat
3
inv
1
f ( x) arctanx tan ( x)
genoemd,
3 5 7 9
x x x x x
arctan x .... kon men nauwkeurig komen tot de benadering:
1 3 5 7 9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
. .... 4.( ....) ( 3,141592653589793284264..... )
4 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9
1 1 1 1 1
Moeilijke reeksen: 1 .... = ???
2
n 4 9 16 25
Benaderen kan met rekenapparaat: sum(seq(1/X^2,X,1,900,1))=1,644
Maar hoe exact?
Deze som is erg lastig uit te rekenen, maar met reeksen en een beetje rommelen:
x x x x x 1 1
1! 3! 5! 7! 9! 6 120
3 5 7 9
sin x .... x
3
x
5
x ....
Maar gezien de nulpunten zal ook wel een zijn zodat geldt:
sin x .( x.( x )( x )( x 2 )( x 2 )( x 3 )( x 3 )....)
2 2 2 2 2 2 2 2
. x.( x )( x 4 )( x 9 )( x 16 )(.......)

2 2 2 2
De coëfficiënt van x hierin is .( )( 4 )( 9 )( 16 ).... en dat moet dus 1 zijn
3
en de coëfficiënt van x is
1 1 1 1 1
.... ....
2 2 2 2 2 2 2 2
4 9 16 4 9 16
6
1 2 1 1 1 1
1 ....
6 4 9 16 25
Dus
4
1 1 1 1 1 1 2
1 ....
2
n 4 9 16 25 6
1 1 1 1 1
n 16 81 256 625
1 .... = ???
4
Deze som is ook erg lastig uit te rekenen, maar met reeksen en een beetje rommelen:
We gebruiken weer:
sin x .( x.( x )( x )( x 2 )( x 2 )( x 3 )( x 3 )....)
Met
2 2 2 2 2 2 2 2
. x.( x )( x 4 )( x 9 )( x 16 )(.......)
2 2 2 2
.( )( 4 )( 9 )( 16 ).... 1
en nu kijken we naar de coëfficiënt van
5
x
Bij de gewone sinus-reeksontwikkeling is die 1
120
Hier krijg je de coëfficiënt door bij het product
Je kiest er nu 2 niet dus
Maar
x x x x x x
2 2 2 2 2 2 2 2
. . . 9 . 16 .. . . . 4 . 16 ..
5
x 1 1 1
.( 4 . )
2 2 (alle producten behalve die keer zichzelf)
4
i j i
1 1 1
i 6 i j 36
2 4
( . )
2
2 dus
2
4
1 1 1 1 1 1 1 7
.( )
4 4 4
4
120 36 i i 36 120 360

Conclusie:
5
Met complexe getallen:
4
1 1 1 1 1 7.
1 ....
4
n 16 81 256 625 360
f ( x) e f '( x) i. e , f ''( x) 1. e , f '''( x) i. e , f ( x) e
dus
ix ix ix ix iv ix
2 3 4 5 6
ix i. x x i. x x i. x x
e 1 .... en
1! 2! 3! 4! 5! 6!
2 3 4 5 6
ix i. x x i. x x i. x x
e 1 ....
1! 2! 3! 4! 5! 6!
en dus
2 3 4 5 6 2 3 4 5 6
ix ix
i. x x i. x x i. x x i. x x i. x x i. x x
e e 1 .... 1 ....
1! 2! 3! 4! 5! 6! 1! 2! 3! 4! 5! 6!
2 4 6
x x x
2 2. 2. 2. ...
2! 4! 6!
2 4 6 2 4 6
ix ix
x x x x x x
e e 2 2. 2. 2. ... 2.(1 ...) 2.cos x
2! 4! 6! 2! 4! 6!
Gevolg:
1 ix ix
cos x ( e e )
2