Formulekaart Wiskunde HAVO/VWO

1
Formulekaart Wiskunde HAVO/VWO
Overzicht
• Bewegingen in het vlak
• Binomium van Newton
• Continue dynamische modellen
• Differentiëren en integreren
• Goniometrische formules
• Kansrekening
• Kegelsneden
• Ellips
• Hyperbool
• Parabool
• Limieten
• Lineaire differentievergelijkingen
• Lijnen en cirkels in het vlak
• Machten en logarithmen
• Somformules voor rijen
• Vierkantsvergelijkingen
Vierkantsvergelijking
• Vlakke meetkunde
• Cirkeleigenschappen
• Koordenvierhoek
• Stelling van Thales
• Driehoeken
• Cosinus- en sinus regel
• Gelijkbenige driehoek
• Stelling van Pythagoras
• Gelijke driehoeken
• Gelijkvormige driehoeken
• Hoeken, lijnen en afstanden
• Puntverzamelingen
• Vierhoeken
• Parallellogram
• Rechthoek
• Ruit
2
Als a ≠ 0 en b − 4ac ≥ 0 dan worden de oplossingen van de vierkantsvergelijking
gegeven door
2
ax bx c
x
1,2
+ + = 0
− ± −
=
2a
2
b b 4ac
Machten en logaritmen
p q p q
a a a +
⋅ = ( a > 0)
p q pq
( a ) = a
( a > 0)
p p p
( a ⋅ b) = a ⋅ b
( a, b > 0)
− p ⎛ 1 ⎞ 1
a = ⎜ ⎟ = p
⎝ a ⎠ a
p
1
p p
( a > 0)
b = a ⇔ a = b
( a, b > 0; p ≠ 0)
x a
y = a ⇔ x = log y
( a, y > 0; a ≠ 1)
x
y = e ⇔ x = ln y
( y > 0)
log uv = log u + logv
( a > 0; a ≠ 1; u, v > 0)
a a a
log u = v ⋅ log u
( a > 0; a ≠ 1; u > 0)
a v a
a
b
log u
log u = ( a, b > 0; a, b ≠ 1; u >
0)
b
log a

Binomium van Newton
n
n ⎛ n ⎞ k n −k
⎛n ⎞ n !
( a + b) = ∑ ⎜ ⎟a
b met ⎜ ⎟ =
k = 0 ⎝ k ⎠
⎝k ⎠ k !( n − k)!
Goniometrische formules
2 2
cos t + sin t = 1
sin( − t) = − sint
π
sin( − t) = cos t
2
cos( − t) = cost
sint
tant
=
cos t
sin 2t = 2sin t cos t
π
cos( − t) = sint
2
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2 2 2 2
t = t − t = t − = − t
sin( t + u) = sint cos u + cos t sinu
t + u t − u
sint + sinu = 2sin cos
2 2
sin( t − u) = sint cos u − cos t sinu
t − u t + u
sint − sinu = 2sin cos
2 2
cos( t + u) = cost cos u − sint sinu
t + u t − u
cos t + cos u = 2cos cos
2 2
cos( t − u) = cos t cos u + sint sinu
t + u t − u
cos t − cos u = − 2sin sin
2 2
Somformules voor rijen
Rekenkundige rij:
n
∑
k = 0
1
( a + kv ) = ( n + 1) a + n( n + 1) v
2
Meetkundige rij:
n
n + 1
k 1 − r
∑ ar = a
( r ≠ 1)
1 − r
k = 0
∞
k a
∑ ar = ( r < 1)
1 − r
k = 0
2

Lineaire differentievergelijkingen
De oplossing van de lineaire differentievergelijking Xt + 1 aXt b = + met 1 a ≠ is
b ⎛ b ⎞
Xt = + ⎜ X 0 − ⎟a
1 − a ⎝ 1 − a ⎠
Voor a < 1 geldt
lim X
t →∞
t
b
=
1 − a
Kansrekening
Binomiale verdeling met parameters n en p
t
Kansverdeling:
⎛n ⎞ k n −k
P( X = k) = ⎜ ⎟ p (1 − p) ( k = 0,..., n)
⎝k ⎠
Verwachting: E( X ) = np
Variantie: Var( X ) = np(1 − p)
Standaardafwijking: σ ( x) = Var( X ) = np(1 − p)
Normale verdeling met verwachting μ en standaardafwijking σ > 0
Cumulatieve verdelingsfunctie:
3
2
1⎛
t −μ
⎞
− ⎜ ⎟
2⎝
σ ⎠
x
1
P( X ≤ x) = ∫ e dt
σ 2π
−∞
Voor μ = 0 en σ = 1 is dit de zogenaamde standaardnormale verdeling met cumulatieve verdelingsfunctie:
1 2
− t
2
z
1
Φ ( z ) = ∫ e dt
2π
−∞
X − μ
Als X normaal verdeeld is met verwachting μ en standaardafwijking σ , dan is Z = standaardnormaal
σ
verdeeld. Omrekenformules:
⎛ x − μ ⎞
P( X ≤ x)
= Φ ⎜ ⎟ en Φ ( z ) = P( X ≤ μ + σ z )
⎝ σ ⎠
Voor willekeurige stochastische variabelen geldt
E( X + ... X ) = E( X ) + ... + E( X )
1 n 1
n
Voor onderling onafhankelijke stochastische variabelen geldt
Var( X + ... X ) = Var( X ) + ... +
Var( X )
1 n 1
n

Limieten
sin x
lim = 1
x →0
x
p
x
lim = 0 ( a > 1)
x →0
x
a
Differentiëren en integreren
Functie afgeleide
f ( x) + g( x)
f '( x) + g '( x)
c ⋅ f ( x)
f ( x) ⋅ g( x)
f ( x)
g( x )
f ( g( x ))
c ⋅ f '( x)
4
x
a − 1
lim = ln a ( a > 0)
x →0
x
⎛ a ⎞
lim ⎜1 + ⎟ = e
x →0
⎝ x ⎠
f '( x) g( x) + f ( x) g '( x)
(productregel)
f '( x) g( x) − f ( x) g '( x)
2
( g( x))
Differentiëren van standaardfuncties
f ( x ) f '( x )
p
x
p x −
⋅
x
x
a ln
x
e
p 1
a a
x
e
a
log x
1
x lna
ln x
1
x
sin x cos x
cos x − sin x
tan x
1
2
cos x
(quotiëntregel)
f '( g( x)) ⋅ g '( x)
(kettingregel)
2
= 1 + tan x
Lineaire benadering van f in 0 x : L( x) = f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0
)
x
a
Primitiveren van standaardfuncties
f ( x ) f ( x) dx
p
x p 1
1
x
x
a
∫
1 +
x + c ( p ≠ −1)
p + 1
ln x + c
1 x
a + c
lna
x
e
x
e + c
ln x x ln x − x + c
a
log x
1
( x ln x − x) + c
lna sin x − cos x + c
cos x sin x + c
Inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door de grafiek van de functie f op het interval [a,b] om de xas
te wentelen:
b
2
I π ( f ( x)) dx
= ∫
a
Lengte van de grafiek van f op het interval [a,b]:
b
2
L = 1 + ( f '( x)) dx
∫
a

Bewegingen in het vlak
Als ( x( t), y( t)) de positie in het Oxy-vlak geeft van een bewegend punt op het tijdstip t, dan wordt de
snelheidsvector op het tijdstip t gegeven door ( x '( t), y '( t )) .
De (scalaire) snelheid van het punt op het tijdstip t wordt gegeven door
v( t) = ( x '( t)) + ( y '( t))
2 2
en de lengte van de afgelegde weg tussen de tijdstippen t = a en t = b door
b b
2 2
v( t) dt = ( x '( t)) + ( y '( t)) dt
∫ ∫
a a
Eenparige cirkelbeweging met middelpunt (m, n), straal r en hoeksnelheid ω :
⎧x(
t) = m + r cos ω(
t − t0
)
⎨
⎩y(
t) = n + r sin ω(
t − t0
)
Harmonische trilling met evenwichtsstand c, amplitude A en periode T:
2π
h( t) = c + A sin ( t − t0
)
T
Continue dynamische modellen
Exponentiële groei of verval:
differentiaalvergelijking: dy = c ⋅ y
dt
c t t0
oplossingen: y( t) y( t ) e −
=
Logistische groei:
0
( )
dy
differentiaalvergelijking: = c ⋅ y( M − y)
met M > 0
dt
oplossingen:
y( t)
=
y( t
My( t0
)
) + ( M − y( t )) e
Lijnen en cirkels in het vlak
5
0 0
−cM ( t −t0
)
Algemene vergelijking van een lijn: ax + by = c
normaalvector: (a,b)
Voor twee lijnen ℓ 1 en ℓ 2 met normaalvectoren (a1, b1) en (a2, b2) geldt:
1 2 1 2 1 2 0
⊥ ⇔ a a + b b =
ℓ ℓ
Lijn door (p, q) met richtingscoëfficiënt m: y = q + m( x −
p)

Voor twee lijnen ℓ 1 en ℓ 2 met richtingscoëfficiënten m1 en m2 geldt:
1 ⊥ 2 ⇔ m1m 2 = −1
ℓ ℓ
Vergelijking van de cirkel met middelpunt (m, n) en straal r:
( x − m) + ( y − n) = r
2 2 2
Omtrek: 2π r ; lengte boog met middelpuntshoek α (rad): α r
Oppervlakte:
2
π r ;
1
opp. sector met middelpuntshoek α (rad):
2 r α
Kegelsneden
Parabool:
Standaardvergelijking:
2
4py = x
Brandpunt F:
Richtlijn r:
(0, p)
y = − p
P op parabool ⇔ d( P, F ) = d( P, r )
Ellips:
Standaardvergelijking: 2 2
2 2 1
x y
+ =
6
2
met a > b > 0
a b
Brandpunten F1,2: ( ± c,0)
2 2 2
met c = a − b
P op ellips ⇔
Hyperbool:
d( P, F1 ) + d( P, F2 ) = 2a
Standaardvergelijking: 2 2
2 2 1
x y
− =
a b
Brandpunten F1,2: ( ± c,0)
2 2 2
met c = a + b
Asymptoten: b
b
y = x en y = − x
a
a
P op hyperbool ⇔ d( P, F1 ) − d( P, F2 ) = 2a
Raaklijneigenschappen:
1. De raaklijn in een punt P van een parabool maakt gelijke hoeken met de lijn die P verbindt met het
brandpunt en de lijn door P loodrecht op de richtlijn.
2. De raaklijn in een punt P van een ellips of hyperbool maakt gelijke hoeken met de lijnen die P verbinden
met de beide brandpunten.
Vlakke meetkunde
De cursief gedrukte termen mogen als verwijzingen in een bewijs gebruikt worden.
Hoeken, lijnen en afstanden
De overstaande hoeken bij twee snijdende lijnen zijn gelijk (overstaande hoeken).
Als twee evenwijdige lijnen gesneden worden door een derde lijn, dan zijn de F-hoeken en Z-hoeken gelijk
(F-hoeken, Z-hoeken).
Als twee lijnen in twee verschillende punten gesneden worden door een derde lijn, waarbij een paar gelijke
F-hoeken of Z-hoeken optreedt, dan zijn die twee lijnen evenwijdig (F-hoeken, Z-hoeken).

Een rechte hoek is 90 0 ; een gestrekte hoek is 180 0 .
De som van de hoeken van een driehoek is 180 0 (hoekensom driehoek).
De afstand (kortste verbinding) van een punt tot een lijn is de lengte van de loodlijn neergelaten vanuit dat punt
op die lijn (afstand punt tot lijn).
Driehoeksongelijkheid: Als drie punten A, B, C niet op één lijn liggen, dan geldt
|AB|+|BC| > |AC| .
Driehoeken
Gelijkbenige driehoek:
1. Als in een driehoek twee hoeken gelijk zijn, dan zijn de tegenoverliggende zijden ook gelijk.
2. Als in een driehoek twee zijden gelijk zijn, dan zijn de tegenoverliggende hoeken ook gelijk.
Stelling van Pythagoras: Als driehoek ABC een rechte hoek in C heeft, dan geldt
2 2 2
a + b = c
Omgekeerde stelling van Pythagoras: Als in driehoek ABC geldt
2 2 2
a + b = c
dan is hoek C recht.
Cosinusregel: In elke driehoek ABC geldt
2 2 2
c = a + b − 2ab cos γ
Sinusregel: In elke driehoek ABC geldt
a b c
= =
sinα sin β sinγ
Gelijke driehoeken
Twee driehoeken zijn gelijk (congruent) als ze gelijk hebben:
a. Een zijde en twee aanliggende hoeken. (HZH)
b. Een zijde, een aanliggende hoek en de tegenoverliggende hoek. (ZHH)
c. Twee zijden en de ingesloten hoek. (ZHZ)
d. Alle zijden. (ZZZ)
e. Twee zijden en de rechte hoek tegenover één van die zijden. (ZZR)
Gelijkvormige driehoeken
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze gelijk hebben:
a. Twee paren hoeken. (hh)
b. Een paar hoeken en de verhouding van de omliggende zijden. (zhz)
c. De verhouding van de zijden. (zzz)
d. Een paar rechte hoeken en de verhouding van twee niet-omliggende zijden. (zzr)
Vierhoeken
De som van de hoeken van een vierhoek is 360 0 (hoekensom vierhoek).
Equivalente definities en eigenschappen van een parallellogram:
a. Er zijn twee paren evenwijdige zijden.
b. Er zijn twee paren gelijke overstaande zijden.
c. Twee overstaande zijden zijn gelijk en evenwijdig,
d. De diagonalen delen elkaar middendoor.
7

Equivalente definities en eigenschappen van een ruit:
a. Het is een parallellogram met vier gelijke zijden.
b. Het is een parallellogram waarin een diagonaal een hoek middendoor deelt.
c. Het is een parallellogram waarin de diagonalen elkaar loodrecht snijden.
Equivalente definities en eigenschappen van een rechthoek:
a. Het is een vierhoek met vier rechte hoeken.
b. Het is een parallellogram met een rechte hoek.
c. Het is een parallellogram met gelijke diagonalen.
Puntverzamelingen
De verzameling van alle punten die dezelfde afstand hebben tot twee gegeven punten A en B, is de
middelloodlijn van het lijnstuk AB (middelloodlijn).
De verzameling van alle punten binnen een hoek die dezelfde afstand hebben tot de benen van die hoek, is de
deellijn (bissectrice) van die hoek (deellijn).
De verzameling van alle punten die afstand r tot een gegeven punt M hebben, is de cirkel met middelpunt M en
straal r (cirkel).
De verzameling van alle punten die dezelfde afstand hebben tot twee elkaar snijdende lijnen, is het
deellijnenpaar (bissectricepaar) van die twee lijnen (deellijnenpaar).
De twee deellijnen van twee elkaar snijdende lijnen snijden elkaar loodrecht in het snijpunt van die twee lijnen
(loodrechte stand deellijnenpaar).
De verzameling van alle punten die dezelfde afstand hebben tot twee evenwijdige lijnen, is de middenparallel
van dat lijnenpaar (middenparallel).
Cirkeleigenschappen
Bij gelijke bogen behoren gelijke koorden (boog en koorde).
De loodlijn vanuit het middelpunt op een koorde deelt die koorde middendoor (loodlijn op koorde).
Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de verbindingslijn van middelpunt en raakpunt (raaklijn).
Stelling van Thales: Als hoek C in driehoek ABC recht is, dan ligt C op de cirkel met middellijn AB.
Omgekeerde stelling van Thales: Als C op de cirkel met middellijn AB ligt, dan is ∠ACB recht.
Stelling van de omtrekshoek: Elke omtrekshoek is half zo groot als de bijbehorende middelpuntshoek.
De hoek tussen een raaklijn en een koorde is gelijk aan de bij die koorde behorende omtrekshoek (hoek tussen
koorde en raaklijn).
Liggen P en Q aan dezelfde kant van een lijn AB en geldt ∠ APB = ∠ AQB , dan liggen P en Q op eenzelfde
cirkelboog met A en B als eindpunten (hoeken op een cirkelboog).
Koordenvierhoekstelling: In een koordenvierhoek is de som van elk paar overstaande hoeken 180 0 .
Omgekeerde koordenvierhoekstelling:
0
Liggen P en Q aan weerszijden van een lijn AB en geldt ∠ APB + ∠ AQB = 180 , dan is APBQ een
koordenvierhoek.
8
Deze formulekaart is door Dædalus Onderwijsproducties opgemaakt in Word met behulp van de formule-editor MathType.
De kaart is volledig in overeenstemming met de originele tekst uit Uitleg, Gele Katern nr 12a, CEVO-98/257 en de formulekaart die door de
Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren gepubliceerd is op de website www.nvvw.nl.