E U C L I D E S - Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

Zodat:
1 1
OA1 b0 2( b0 a0) 2(
a0 b0)
Dus: OA = a 1 1
En daarmee is ook, in de rechthoekige
driehoek OB C : 1 0
2
( OB1) OC0OA1 en dan:
OB1 b0a1 b1
En zo hebben we een meetkundige
constructie gevonden van de termen van
de in paragraaf 2 gedefinieerde rijen {a } en k
{b }; zie figuur 3.
k
figuur 3
In de opvolgende, als hierboven geconstrueerde,
driehoeken OA 0 B 0 , OA 1 B 1 , OA 2 B 2 ,
OA 3 B 3 , … is nu (voor k 0):
OA k = a k en OB k = b k
Opmerking 4.1. Voor de zijden A B van de
k k
AB 0 0
rij driehoeken OA B geldt: AB k k k k
2k
.
Opmerking 4.2. Stellen we in driehoek
OA B dat A OB = , dan is
0 0 0 0
AOB k k
2k
. Immers, het punt B is k + 1
steeds het midden van de zijde B C in de
k k
gelijkbenige driehoek OB C . k k
Wanneer we 2 k keer driehoek OA k B k
- samen met de gespiegelde OA k B k ’ daarvan
in de lijn OA k - naast elkaar leggen in het
punt O, dan vormen deze driehoeken
bij O een middelpuntshoek van 2 (zie
Opmerking 4.2 en figuur 4).
De zijden B k B k ’ , … zijn dan een deel van
een regelmatige veelhoek; de punten B k , B k ’,
… liggen op de omcirkel van die veelhoek,
de punten A k , … op de incirkel ervan.
figuur 4
Volgens Opmerking 4.1 is dan:
AB 0 0 BB
0 0
BB k k 2AB k k 2 2k
2k
waarbij B ’ het spiegelbeeld is van B in OA 0 0 0
(zie in dit verband weer figuur 3).
Is S de lengte van het hierboven geconstrueerde
deel van de omtrek van de
regelmatige veelhoek, dan is:
k k BB
0 0
S 2 BkB
k 2
2k
B0B
0
De lengte S is daarmee onafhankelijk van k
(en constant).
Voor de booglengtes S en S van de bijbe-
O I
horende delen van de om- en incirkel van
de regelmatige veelhoek geldt (voor iedere
k 0):
SO 2 bk, SI 2ak En dan volgt uit S < S < S dat:
I O
BB
0 0
ak 2
bk
Maar dan geldt noodzakelijkerwijs (volgens
de insluitstelling) voor de gemeenschappelijke
limiet M van de rijen {a } en {b }:
k k
BB 0 0 AB 0 0
M 2
Dus (zie opnieuw figuur 3):
arccos a
b a
M
2 2
0 0
0
b0
Voor ons uitgangspunt in paragraaf 3, te
weten a = 1 en b = 2, hebben we dan:
0 0
3
M 1,653986...
arccos 1
2
Na enig zoekwerk op internet bleek me dat
J.C. Schwab zich (omstreeks 1810?) heeft
bezig gehouden met benaderingen van het
getal (zie [1; pp. 251-252]). Hij gebruikte
daarbij de recursieformules:
1 r2n 2 ( rn Rn)
R2n r2nRn waarbij R , r de stralen zijn van de om- en
n n
incirkel van een regelmatige n-hoek en R , 2n
r de overeenkomstige stralen bij een regel-
2n
matige 2n-hoek met dezelfde omtrek als die
van de n-hoek.