Afdeling Toegepaste Wiskunde

Afdeling Toegepaste Wiskunde
Kenmerk : TW2011/AAMP/01/avdm
Versie : 22 december 2010
Vak : Vectoranalyse voor TG
Vakcode : 19 151089 0
Ø
Universiteit Twente
Datum : maandag 3 januari 2011
Tijdstip : 8:45 - 11:45 uur
Plaats : NH 207
Alle antwoorden dienen gemotiveerd te worden.
Gebruik van de syllabus en een (grafische) rekenmachine is toegestaan.
1. Gegeven het vlak V met parametervoorstelling a + λv + µw, met
a = e x + 5e y − 2e z , v = 3e x − 2e y + e z , w = e x + e y ,
(a) Bereken een normaalvector op V ;
(b) Bereken de loodrechte afstand van V tot de oorsprong;
(c) Bepaal een (andere) parametervoorstelling van V , waarbij de steunvector en de beide
richtingsvectoren alle drie onderling loodrecht zijn.
2. Gegeven het vectorveld
F = Axsin(y)ê x + (x 2 cos(y) + Bye −z )ê y + y 2 e −z ê z
en de kromme k met parametrisering
r(t) = cos(t)e x + sin(2t)e y + sin 2 (t)e z , − π 2 ≤ t ≤ π 2 .
(a) Laat zien dat k een reguliere kromme is;
(b) Bepaal de constanten A en B zo, dat F conservatief is, en bepaal voor deze waarden
een scalaire potentiaalfunctie;
∫
(c) Bereken F · dr met de in (b) gevonden waarden van A en B.
k
3. Gegeven het scalarveld G(x, y) = (x + y) 2 Let op! er staat niet: x 2 + y 2 .
∫∫
(a) Bereken W 1 = GdA als T de driehoek is met hoekpunten (0, 0), (1, 0) en (0.1).
T
∫∫
(b) Bereken W 2 = GdA als D de kwartcirkelschijf x 2 +y 2 ≤ 1 is, met x ≥ 0, y ≥ 0.
D
∫∫
(c) Bereken W 3 = GdA als H het begrensde gebied is dat wordt ingesloten door
H
de lijn x + y = 1 en de cirkel x 2 + y 2 = 1.
Z.O.Z

4. B is een bol is met straal a en de oorsprong als middelpunt; S is het boloppervlak dat B
begrenst.
∫∫∫
(a) Bereken (3x 2 + 3y 2 )dV .
B
Het vectorveld F wordt gegeven door
F(x, y, z) = x 3 ê x + y 3 ê y + x 2 y ê z .
∫∫
(b) Beredeneer dat ○ F · dA dezelfde waarde heeft als de integraal van onderdeel (a).
S
5. Het oppervlak H ⊂ R 3 is het deel
van de cilindermantel x 2 +y 2 = 1,
waarvoor x ≥ 0, y ≥ 0 en
0 ≤ z ≤ 2.
De rand van H is de gesloten
kromme C, van buitenaf gezien
positief georiënteerd, dus tegen de
wijzers van de klok (zie de figuur).
Bereken
∮
C
F · dr
als F(x, y, z) = (xz − ye x − e y )ê x − yz ê y + z ê z
Aanwijzing: Stelling van Stokes.
Normering:
1a : 3 2a : 3 3a : 3 4a : 3 5 : 4
b : 3 b : 3 b : 3 b : 3
c : 2 c : 3 c : 3
Totaal: 36 + 4 = 40 punten